函数的最大值和最小值1

1、函数的最大值和最小值(1)教学目标：1使学生掌握可导函数f(x)在闭区间!a,b 1上所有点(包括端点a,b )处的函数中的最大(或最小)值；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点： 提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力一、课题引入前面已经明确了函数极值的概念，并掌握了求函数极值的步骤和方法. 在社 会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常会遇到如何能使用料最省、产量最高、效 益最大等问题，这样的问题有时就可以化为求一个函数的最大值和最小值的问 题.二、新课在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小1

2、. 闭区间上连续函数的性质课本中结合函数图像，研究了连续函数的一个重要性质，即在闭区间a, b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值和最小值。此性质包括两个条件：(1) 给定函数的区间必须是闭区间，也就是说函数f(x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值与最小值.例如函数f(x)二1在(0，+x)内连续，但没有最x 大值与最小值.(2) 在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值与最小值.如f(x) =x (兰xuj，有最小值0,无最大值.0 (x=1)另外，函数f(x)在闭区间a, b上连续是使得f(x)有最大值与最小值的充分条 件而非必要条件.因为函数的

3、最大值与最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。例如：函数y=|x|在-1x 0,考虑其单调性，另解： 令一 3x0， 1 ：2y 2x - x ，2xy 二 1 x 2x - x22x 02 解得0VXW 22xx -0设何4 当 0vxv2 时，f（x） X（3 二2x）2yl2x-x2令 f (x)=0 ,得 x = 3 或 x=0(舍去)2当x在(0 , 2)内变化时，yy有如下变化情况:Jt(0冷)(春2)19y+0y极大值攀0由上表可知，当x二3时，f(x)最大值为出，亦即xy的最大值为3卫.2 8 82例 4 设 a(,1)， f (x) =x33-ax2 b，x -1，

4、1的最大值为1,最小2值为-于，求常数a、b的值.分析 闭区间上连续，开区间上可导的函数的最大值、 最小值问题的解法应 该先出极大值、极小值，然后再与端点处的函数值进行比较，分类讨论确定 a、 b的值.解 f(x) = 3x2-3ax = 3x(x-a)令 f (x)=0，解得 = 0， X2 二 a当x变化时，f (x)、f(x)的变化情况如下表:X-1(-1,0)0(03a100+/(a)极大值白极小值1 -ya-r/j由表可知，最大值应为f(0)或f(1)33 2又 f(0)=b ， f (1) = 1 _ _ a b ： 1 _ b = b，故当 x=0 时，f(x)有最大值22 33

5、b。由已知 b=1，此时 f (x) = x3ax21 o2由表可知，最小值应为f(-1)或f(a) o若 x=a 时，f(x)有最小值，则6 = f (a) = 1 -丄a3，从而 a3 = 2 6 1，2 2a1，与已知条件矛盾.若 x=-1 时，f(x)有最小值，则，6 二 f(-1) = -3a 得 a = C2,1).此时2233g3亠于o故当时，f(x)的最小值为f(_l)综上所述，a , b=1.3点拨 列出表格，由表格观察分析，进行分类讨论，是解决本题的关键，最后的检验不可少，因为满足条件的 a、b可能是不存在的.四、小结：1、 闭区间b,b 1上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数 不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值 可能不止一个，也可能没有一个。3、，函数f(x)在闭区间a，b上连续是使得f(x)有最大值与最小值的充分条件而 非必要条件.因为函数的最大值与