2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《曲线与方程》

1、2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练曲线与方程【题型一】：曲线和方程的关系【题型二】：定义法求轨迹【题型三】：直接法求轨迹【题型四】：待定系数法【题型五】： 相关点代入法”【题型六】：参数法【题型一】：曲线和方程的关系例1.如果坐标满足方程f(x,y)0的点都在曲线C上，那么下列命题正确 的是().f A)曲线C上点的坐标都满足方程f(x,y)0f B)坐标不满足方程f(x, y)0的点都不在曲线C上(C)不在曲线C上的点，其坐标必不满足方程f(x,y)二0f D)不在曲线C上的点，其坐标有些满足方程f(x,y)二0，有些不满足方 程 f(x,y)二 0 .【思路点拨】由曲线与方程

2、的定义，fA)、f B)不一定正确，(C)命题是原 命题的逆否命题，它们是等价命题，故选【答案】C【变式训练】：【变式1】如果命题坐标满足方程F(x, y)=0的点都在曲线C上”不正确，那 么下列命题中正确的是f).f A)曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)=O;f B)坐标满足方程F(x,y)=O的点都不在曲线C上；(C)坐标满足方程F(x,y)=O的点有些在曲线C上，有些不在曲线C 上;f D)一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程 F(x,y)=O.【答案】D【变式2】曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y) =0的解”是曲线C的方程f（x,y） =0 ”的（）条件.A .充分 B

3、.必要 C.充要D .既不充分又不必要【答案】B【例2】.证明圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点Mi（3,-4）,M2（2.5,2）是否在这个圆上【证明】（1）设M（xo, yo）是圆上任意一点，因为点M到原点的距离为5，所以, x2 y2 =5，即 X： y2 25，所以（xo，yo）是方程x2+y2=25的解.（2）设（xo，yo）是方程 x2+y2=25 的解，那么 x； y： = 25,所以x： yo 5，也就是说，点M到原点的距离为5， 所以点M在这个圆上.由（1） （2）知，x2+y2=25是圆心在坐标原点，半径为 5的圆的方程. 把Mi（3, -4）代

4、入x2+y2=25,等号成立，所以点Mi在圆上， 把皿2（-2.5,2）代入x2+y2=25，等号不成立，所以点 M:不在圆上【题型二】：定义法求轨迹【例3】.已知MBC中，N A、B、Z C所对应的边为a、b、c （ acb）, 且a、c、b成等差数列，|AB| = 2,求顶点C的轨迹方程【思路点拨】建立恰当的坐标系，找到顶点满足的几何条件结合圆锥曲线的 定义解决问题。【解析】由题知：|BC | |CA2| AB4 2,由椭圆的定义可知：点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为2a=4，焦距为2c=2,短 轴长为2b =2、3,椭圆方程为2 243,L 7又a cb, .点C在y轴左侧，必

5、有xc0,/B而C点在X轴上时不能构成三角形，故x2.2 2因此点C的轨迹方程是：”（2*。）【总结升华】本题考查 定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数 学问题的能力，通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来 求解.正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关 键。注意在求出了方程以后讨论 x的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性【变式训练】：【变式1】某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱， 检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准 圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【答案】设直径为3,2,1

6、的三圆圆心分别为0、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与。0相内切，与。A、O B相外切建立如图所示的坐标系，并设。P的半径为r,则| PA| = 1 r，|P0 | = 1.5 -r/. | PA| | P0|=(1 r) (1.5-r) =2.5，点P在以A、0为焦点，长轴长2.5的椭圆上,1 2其方程为16(X 1)2y2 1253同理P也在以0、B为焦点，长轴长为2的椭圆上,其方程为（x-1）2上=123由、可解得P（挣、Q（討挣(14)故所求圆柱的直径为cm o7【题型三】：直接法求轨迹例4.已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么

7、曲线【思路点拨】依据题中已知条件直接列出几何关系式子，再将其翻译”成数 学语言即可。【解析】建立坐标系如图所示,设|AB|=2a,则 A(_a,O)、B(a,O)，则由题设，得曙坐标代入,得 J(x+a+y；(x -a)2 y2设M (x, y)是轨迹上任意一点,化简得：(1 - 2)x2 ( 2)y2 2a(仆 i2)x (1 -，2)a2 二 0当-1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是当 =1时，点M的轨迹方程是2222a(1 )2x y2 x a 0，1 -九点M的轨直线x =0 (即y轴)7迹是以(a(1 J ,0)为圆心，r 为半径的圆。1 _ 扎|1

8、_ & I【总结升华】注意在求出了方程以后确定轨迹是什么曲线时必须对的取值进行讨论。【变式训练】：【变式】已知两个定点A、B，且|AB3 ，动点P满足N PBA = 2PAB式0,求点P的轨迹方程。【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则 A(0,0)、B(3,0)，设 P(x, y)，T PBA =2 PAB = 0， PBA PAB，二 PA PB 即 x -, kAB 二.2x当宀时，匕，PBA =2 PAB=0,二 tan PBA=tan2 PAB，y321x21 y_2x3即 3x2 _6x 一 y2 = 0( x 且 x = 3)2 x=3时，PB

9、 _x轴，.PAB ，此时 P(3,3),4点 P(3,3)也在曲线 3x2 - 6x-y2 =0 上点P的轨迹方程：3皿.|)【题型四】：待定系数法例5.如图所示，直线1(2相交于点M, h 12,点h,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到12的距离与到点N的距离相等，若 AMN为锐角三角形，【思路点拨】由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当AM =訥7, AN =3, BN =6,建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。又AN十34Xa z的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要 标注x、y的取值范围。【解析】以MN中点为原点,MN所在直线方程为x

10、轴建立直角坐标系，设曲线方程为 y2 = 2px (p 0,xA _ x _ xB, y 0)由 AM| = Jl7, AN| =3X十号)2 +yA =仃.2(xa _P)2 +yA =9L.2解得p =2或4由 AAMN 锐角为三角形，二I? P , 8 c p2 v 26,二 p = 4p +9a17又 BN =Xb +卫=6,二 Xb =42故所求曲线方程为：y2 = 8x （1乞x乞4, y 0）【总结升华】本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求 曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。建立恰当的坐标 系是解决本题的关键。【变式训练】：【变式1】某电厂

11、冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分， 绕其中轴(即 双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔 上口直径的两个端点，B、B 是下底直径的两个端点，已知AA14m ,CC18m,BB -22m，塔高20m，建立坐标系并写出该双曲线方程。如图，建立直角坐标系 x0y使AA 在 x轴上中点为坐标原点O, CC 与 BB 平行于x轴.112b2=192b272=1【解析】2 2设双曲线方程为笃-与=1 (a 0 , ba ba = AA = 7 2又设B(11,y),C(9, y2)，因为点B、C在双曲线上，所以有由题意，知y2 - y1 = 20,由以上三式得： =

12、T2， y2 = 8， b = 7.2112 2故双曲线方程为1.4998【题型五】： 相关点代入法”例6.如图所示，已知P(4, 0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点, 且满足/ APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程【思路点拨】欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方 程，利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段 AB中点的轨迹方程。【解析】设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在 RtAABP 中，|AR|=|PR|,又因为R是弦AB的中点，依垂径定理，在 Rt OAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36 (x2+y2)又 |AR|=|PR|=.(xl4

13、)2y2所以有(x 4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y2 4x 10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运 动。设Q(x,y)，R(X1,y”，因为R是PQ的中点，所以1=二丄卫，2 2代入方程 x2+y2 4x 10=0，得 (宁)2 (舟)2 -4 宁10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程。【总结升华】对某些较复杂的探求轨迹方程的问题， 可先确定一个较易于求 得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨 迹方程。【变式训练】：【变式】已知抛物线C:y2=4x.(1) 若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C的

14、焦点F及准线I分别重合，试求 椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；(2) 若 M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无 最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由【答案】由抛物线y2=4x ,彳得焦丿F(1,0),准线 I :x= 1,设 P(x,y)，则 B(2x 1,2y),椭圆中心 0则|F0：|BF|=e, 又设点B到I的距离为d,则|BF| : d=e,；|F0 ：|BF|=|BF|： d,即(2x 2)2+(2y)2=2x(2x 2),化简得 P 点轨迹方程为 y2=x 1(x 1). 设Q(x,y),则|MQ|= . (x -m)2 y2=

15、J(x _m)2 +x_(m_1)2 +m_* (x a1)(i )当 m - 1,即m -时，函数t=x (m - ) +m 在x=m -处有2 2242最小值m 5,4I |MQ|min= Jm -【题型六】：参数法2【例7】.已知椭圆y2 =1.求斜率k = 2时的平行弦中点的轨迹；【思路点拨】弦的中点坐标是受两端点坐标影响，因此设直线方程联立先表 示出两端点坐标.【解析】设直线为y =x b，贝U 222 y = 9x2 8bx 2b2 - 2 = 0y = 2x b根据判别式解得-3 ： b ： 3.又设弦的端点分别为M(xyj, Ng,祠，中点P(x, y)x! x2 4by1 y

16、2b则x二h 2，所以y二 2 ：2929所以y _ _x又b : 3 且 x 少，所以- -:：:x ：-933故平行弦中点的轨迹方程是y - - X （ x ：.）433轨迹为一条线段【总结升华】1.将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些 量，从而就建立了关于x、y的关系。2在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数，即“参数”此时要考虑直线的斜率不存在这一特殊情况； 处理涉及直线和二次曲线交点问题时， 一般设出交点坐标，但不求交点坐 标，而是用韦达定理作整体运算（把 X1+X2或X1X2看作一个整体），即所谓 设而 不求” 处理涉及直线和二次曲线交

17、点问题时，要注意相交条件（ 0）.3参数的选择多种多样，应视具体情况而定.常见的参数有k参数、点参数, 也可以选有几何意义的量如角参数、参数 a,b,c等（在物理学中，研究物体的运动 轨迹时，还可以选择时间作参数，如平抛物体的轨迹等都是利用参数求轨迹的实 例），恰当选择参数，可以简化解题过程。 解题时应先对动点的形成过程进行分析， 确定参数，探求几何关系，建立 参数方程。 处理涉及直线和二次曲线交点问题时， 重视 设点不求”用韦达定理进行 整体运算的方法和策略。 对参数方程化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围。【变式训练】：【变式1】设点A和B为抛物线y2=4px（p0）上原点以外的两个动

18、点，已 知OA丄OB，OM丄AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。【解析】解法一：设 A(xi,yi),B(x2,y2),M(x,y) (x工0 直线AB的方程为x=my+a由 OM 丄 AB，得 m= 1x由 y =4px 及 x=my+a，消去 x,得 y 4pmy4pa=0所以 yiy2= 4pa, xix2= （ 2 a2（4p）所以，由 OA 丄 OB，得 X1X2 = yiy2所以 a2 = 4 pa= a = 4p故 x=my+4p,用 m=代入，得 x2+y2 4px=0（x 工 0）x故动点M的轨迹方程为x2+y2 4px=0（x工0）它表示以（2p,0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点。解法二：设0A的方程为y = kx，代入y2=4px得A（，却）k k则0B的方程为y -，代入y2=4px得B（2pk2,-2pk）kk AB 的方程为 y J（x-2p），过定点 N（2p,0），1 -k由OM丄AB，得M在以ON为直径的圆上（0点除外）故动点M的轨迹方