Jordan标准形简介

1、线性代数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目的：教学目的：通过本节的教学使学生更深刻理解方阵相 似对角矩阵的内涵,了解不能相似于对角矩阵的方阵可相似 于Jordan标准形. 教学要求教学要求：正确理解Jordan标准形的概念，掌握求一 个方阵的初等因子组和化Jordan标准形的方法. 教学重点：教学重点：求一个方阵的初等因子组和化Jordan标准 形的方法. 教学难点：教学难点：化方阵为Jordan标准形. 教学时间教学时间：2学时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *6 Jordan标准形简介标准形简介 第五章 * 6 Jordan标准形简介标准形简介 我们在讨论方阵的对角化时知

2、道,并不是所有的方阵都 能化成对角阵,那末,在普遍意义上,矩阵在相似关系下的最简 形是否存在?如果存在又取何种形式？Jordan标准形的相关 结果就完美地回答了这一问题. Jordan标准形理论的建立需要较多的其它代数知识.限 于需要和可能，我们仅从实用的角度介绍Jordan标准形理论 的主要结果及Jordan标准形的具体求法. 6.1多项式矩阵及其初等变换多项式矩阵及其初等变换 定义定义6.1 如果矩阵中每个元素都是变量的多项式，则 称该多项式为的多项式矩阵多项式矩阵，简称-矩阵. 元素是数的矩阵称为数元矩阵数元矩阵，数元矩阵是特殊的多 项式矩阵. 第五章 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、 定义定义6.2 对多项式矩阵A()的如下三种变换统称为初等 变换. i）用一个非零数k乘A()的某行（列）； ii）将A()中的某行(列)的g()倍加于另一行(列)(其中 g()是的多项式)； iii）互换A()的两行(列). 定义定义6.3 设A()和B()是两个同型的多项式矩阵，如果 A()可以经过有限次初等变换化为B()，则说A() 与B() 等价等价，记作A() B(). 对于n阶数元矩阵A，其特征矩阵E-A是一个特定的多 项式矩阵.关于特征矩阵有如下的结论. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.1 对于n阶数元矩阵A ，总有 1 2 ( ) ( ) ( ), ( ) n

4、 g g g EAG 其中g1(), g2(), gn()都是首项系数为1的多项式.并且 |E-A|= g1() g2() gn(). （*） 由于E-A经过有限次的初等变换得到G()，根据初等 变换对矩阵相应行列式的影响，可知|G()|与|E-A|最多相 差非零常数倍.再注意到|G()|与|E-A|都是首项系数为1的 多项式，便知（*）成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义6.4 对于n阶数元矩阵A ，设E-A经过初等变换 化为对角矩阵G().将g1(), g2(), gn()中的每个非常数多 项式做复数域上的标准分解，各分解式中的每一个一次因 式方幂称为矩阵A的一个初等因子，

5、初等因子的全体成为A 的初等因子组. 例如例如，对于2阶数元矩阵A，若有 2 1 1 ,(1) 1 (1) EA 则A的初等因子组为 ， -1， ，( -1)2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义6.4 及（*）知： 1）方阵A的所有初等因子的乘积就是A的特征多项式； 2）每个初等因子都和矩阵A的某个特征值相应，即如 果 是A的一个初等因子,则i一定是A的一个特征值；() i m i 3）n阶方阵A的所有初等因子幂次之和恰为n. 在此必须指出:方阵A与某一特征值相应的初等因子未 必只有一个.因此,一般不能从A的特征多项式的标准分解式 12 12 ( )() ()() t nnn t

6、直接得到初等因子组为 12 12 () ()() . t nnn t 为求给定方阵A的初等因子组，需要对特征矩阵E-A 进行适当的初等变换将其化为对角矩阵.这样的对角矩阵并 不惟一.由此会不会导致初等因子组的不同呢？可以证明， 在不计各初等因子组相互次序的意义下，给定方阵A的初 等因子组是惟一的，不会因为E-A所化成的对角矩阵不同 而有所改变. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.1 求矩阵 110 430 005 A 的初等因子组. 解解 对E-A进行初等变换如下： 110 430 005 EA 12 110 340 005 cc 12 110 (1)340 005 cc 12 1

7、(3)2 ( 1) 100 ,0(1)0 005 rr r 由此得A的初等因子为：(-1)2, -5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.2 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形 定理定理6.2 在复数域上,如果n阶矩阵A的全部初等因子为 12 12 () ,(),() . s mmm s 则 1 2 , s J J AJ J 其中 1 1 ,12 1 ii i i i i mm i= , ,s.J 定理6.2中的分块对角矩阵J称为A的Jordan标准形标准形,简称为 Jordan形. Jordan形J中的各个小块J1,J2,Js称为Jordan块. 显然,每个Jordan块Ji恰于A的

8、一个初等因子 相对应.() i m i 在例6.1中，矩阵A的初等因子组为(-1), -5,与之相应 的两个Jordan块为 12 11 ,(5). 1 JJ 于是A的Jordan标准形为 1 2 11 .1 5 J J J 亦可以写成 2 1 5 .11 1 J J J 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.2 求矩阵 111 102 111 A 的Jordan标准形. 解解对A的特征矩阵E-A进行初等变换化为对角矩阵， 111 12 111 EA 13 111 12 111 rr 12 13 (1) 2 100 113 12 c c c c 12 13 (1) 2 100 013 0

9、2 -r r r r 1 2 ( 1) ( 1) 2 100 013 02 r r 32 2 2 100 0133 02 rr 23 2 32 100 0133 002 - rr 2 23 3 (33) ( 1) 2 100 .010 00(1) cc r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与两个初等因子相应的Jordan小块分别为 对所得的对角矩阵主对角元素的非常数多项式进行复数域 上的标准分解，可得A的初等因子组为 ， (+1)2. 12 11 (0), 1 JJ 于是可得A的Jordan标准形 1 2 0 .11 1 J J J 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.3 求矩阵

10、1000 1120 0000 2021 A 的Jordan标准形. 解解 对的特征矩阵E-A进行初等变换化为对角矩阵， 1000 1120 000 2021 EA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12 1120 1000 000 2021 rr 12 14 2 (1) 2 1120 0(1)2(1)0 000 02(1)21 rr rr 12 13 42 22 (1) 2 (1) 1000 0(1)0(1) 000 02(1)21 cc cc rr 1 24 2 ( 1) 1000 0(1)00 000 02(1)2(1) c cc 2 42 2 ( 1) 2 1000 0(1)00 00

11、0 002(1) r cc 4 4 2 1 2 ( 2) 1000 0(1)00 000 0021 r c 34 2 1000 0(1)00 0011 000 rr 34 2 1000 0(1)00 0011 000(1) - rr 34 4 2 (1) ( 1) 1000 0(1)00 . 0010 000(1) cc r A的初等因子组为 ，-1， (-1)2. 于是得A的Jordan标准形 0 1 . 11 1 J 10 对于给定的方阵A，在不计各Jordan块排列次序的 意义下，A的Jordan标准形是惟一的. 20 方阵A的Jordan标准形J是上三角形矩阵，其主对角 线上的元素恰是

12、A的特征值. 30 对角矩阵本身即是Jordan形，它的每一个对角元都 是一个一阶的Jordan块. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.3 两个同阶方阵相似的充分必要条件是它们的 Jordan形一致（这里“一致”的含义是可以经过Jordan块排列 次序的调整而得到的相同的Jordan形）. 证明证明 必要性.设AB，则有可逆矩阵P使P-1AP=B.于是 P-1(E-A)P= P-1P- P-1AP= E-B. 这说明E-A与E-B等价,它们可以经初等变换化为同一对角 矩阵G().因此A与B的初等因子组一致，进而Jordan形一致. 充分性.不妨设A与B的Jordan形同为J，则A

13、、B同于J 相似，因而AB. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.4 矩阵A能与对角矩阵相似的充分必要条件是 它的初等因子全为一次式. 证明证明 若A相似于对角矩阵 1 2 , n 则已是A的Jordan标准形.可见A的初等因子组为 -1， -2， -n . 它们全为一次式. 反之,若A的初等因子全为一次式,则A的所有的Jordan 块全为一阶，A的Jordan形显然为对角矩阵.它当然与A相 似. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.4 证明:如果n阶矩阵A的全部特征值是1, 2, ,n, 则矩阵Am的全部特征值恰是1m, 2m, ,nm(这里1, 2, ,n 中可以有一些相同的数 ). 证明证明 不妨设特征值1, 2, ,n中相同的都顺序相邻,并 设A的Jordan形为 1 1 2 2 . s n * * * J J J J 由AJ可知AmJm.利用上三角形矩阵幂运算的结果可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 2 . m m m m n * * * * J Jm是上三角形矩阵,它的全部特征值就是全部主对角元1m, 2