泰勒公式及其应用数学毕业论文

1、 ( 学 校 名 )题 目 泰勒公式及其应用 学 生 指导教师 教授 年 级 专 业 数学与应用数学 系 别 学校名和日期 郑重声明本人的毕业论文是在指导教师刘丽梅的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任；并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文作者（签名）：年 月 日 目 录中文摘要、关键词 （ii）1、前 言 （1）2、预备知识 （1）2.1 泰勒多项式 （1）2.2 taylor公式的各种余项 （2）3、泰勒公式的应用 （7）3.1泰勒公式在近似计算上应用 （7）3.2利用泰勒公式求

2、极限 （9）3.3初等函数幂级数的展开式 （11）3.4利用泰勒公式证明不等式 （11）3.5判断级数的敛散性 （13）3.6证明根的唯一性存在性 （15） 3.7判断函数的极值 （15）3.8求高阶导数在某点的数值 （16）3.9求行列式的值 （18）3.10判断函数凹凸性及拐点 （19）结束语 （22）参考文献 （23）英文摘要、关键词 （iii） 泰勒公式及其应用 自己名字摘 要 泰勒公式作为数学分析这门课程是最基础和最重要的内容，作为一种研究将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数的有效工具，是应该牢固掌握的，也是我们学习数学分析中所必须具备的知识.本文介绍了泰勒多项式并引出了泰勒公

3、式和其函数的展开式，针对泰勒公式讨论了10个问题，即用泰勒公式进行近似运算、利用泰勒公式求函数的极限、利用泰勒公式将初等函数展开成幂级数、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一性存在性、判断函数的极值、求高阶导数在某点的数值、求行列式的值以及泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用.在解决这些问题时采用了我们所熟悉的有关泰勒公式的定义和介值定理，利用相应的例题让我们更深地理解泰勒公式的应用以及它所起的作用.关键词 泰勒公式，极限，敛散性，极值 1引言随着计算机和通信技术的迅速发展，在自然科学和工程技术等众多领域中，利用计算进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节，也就是

4、说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法，泰勒公式是一个多项式的拟合问题，而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松地，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便，如果将所研究的对象转化为多项式，那么问题就会比较简单了.这就使我们想到可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此有很多的科学家和学者对此做出了重要的贡献.首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的.泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到戈里-牛顿插值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式，随后后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式，现代也有很多期刊和教材对这部分

5、内容进行了介绍，对近似计算上的应用介绍也比较全面，较系统.但是其它领域的应用则显简单，不系统，不全面，为了方便以后的学习，有必要对此部分内容进行归纳总结.2预备知识2.1 泰勒多项式我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在可导，则有即在点附近，用一次多项式逼近时，其误差为的高阶无穷小量.然而在很多场合，取一次多项式逼近时是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式取逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数.为此，我们考察任一次多项式 (1)逐次求它在点处的各阶导数，得到，即由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定.对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多

6、项式,（2）称为函数在点处的泰勒（taylor）多项式，的各项系数称为泰勒系数. 2.2 taylor公式的各种余项 带有佩亚诺型余项的泰勒公式由上节对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即 （3）下面将要证明，即以（2）式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量.定理2.1 若函数在点存在直至阶导数，则有，即 （4）证 设 现在只要证 由关系式（3）可知，并易知因为.存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数.于是，当且时，允许连接使用洛必达法则次，得到 定理所证得（4）式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺（pean

7、o）型余项.所以（4）式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注1 若在点附近满足 ， （5）其中为（1）式所示的阶多项式，这时并不意味着必定就是的泰勒多项式.例如 ，其中为狄利克雷函数.不难知道，在处除了外不再存在其他任何阶导数.因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式，但因 ，即，所以若取 时，（5）式对任何恒成立.注2 满足（5）式要求（即带有佩亚诺型误差）的次逼近多项式是唯一的.带有佩亚诺型的麦克劳林公式综合定理2.1和上述注2，若函数满足定理2.1的条件时，满足（5）式要求的逼近多项式只可能是的泰勒多项式以后用得较多的是泰勒公式（4）在点时的特殊形式：. （6）它也称为（带有佩亚诺余项的）

8、麦克劳林（maclaurin）.例1 验证下列函数的麦克劳林公式; ； .证 这里只验证其中一个公式 设，由于，因此 把它们代入公式（6），便得到的麦克劳林公式.需要说明的是：由于这里有，因此公式中得余项可以写作，也可以写作.关于公式中的余项可作同样说明.带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式（4）.它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差式较高阶的无穷小量.现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.定理2.2 （泰勒定理） 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少

9、存在一点，使得 （7） 证 作辅助函数， .所要证明的（7）式即为 或.不妨设，则与在上连续，在内可导，且 ， .又因，所以由柯西中值定理证得 ，其中.（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为 ， ，称为拉格朗日（lagrange）型余项.所以（7）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意到时，（7）式即为拉格朗日中值公式所以泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广 （8）（8）式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.例2 把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式 解，由，得到 ， ， ，由，得到 类似于，可得， ，由，得到 ,由，得到 . ，由，得到 3泰勒公式的应用3.1泰勒

10、公式在近似计算上应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为 ，其误差式余项.例3 （1）计算的值，使其误差不超过； （2）证明数为无理数. 解 （1）由例2公式，当时有 （9）故，当时，便有 .从而略去而求得的近似值为 （2）由（9）式得 （10）倘若（p,q为正整数），则当时，为正整数，从而（10）式左边为整数.因为，所以当时右边为非整数，矛盾.从而只能是无理数.例4 用泰勒多项式逼近正弦函数（例2中得式），要求误差不超过.试以和两种情形分别讨论的取值范围（i）时，使其误差满足 . 只须（弧度），即大约在原点左右范围内以近似，其误差

11、不超过.（ii）时，使其误差满足：只需（弧度），即大约在原点左右范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过.3.2 利用泰勒公式求极限极限概念是微分学的基础，可以说整个微积分学都是在研究形形色色的极限，比如说定积分和微分，它们都是由极限定义讨论的，由此只有正确地理解极限的概念以及求极限的方法，才能真正地学好微积分，在解决极限的求法中比较有效的方法是利用泰勒公式求极限，它实质上已经包含了洛必达法则.但有时用洛必达法则求极限时会比较复杂，而利用泰勒公式求极限就显得简单很多.例5 求极限解 本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子

12、（取）因而求得例6 求 = 3.3 初等函数幂级数的展开式利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例7 将在展开成幂级数 我们已经知道： 将两式相乘得 例8 试将函数 按的幂级数展开，并指明其收敛范围解 3.4 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们已经学了很多种方法，如利用lagrange中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，taylor公式也是证明不等式的一个重要方法.例9 设.证明：当时成立 ，且等号仅当时成立.证： 在上二阶可导，且

13、有以及.于是，对应用在处的带lagrange余项的taylor公式，得到 ，.注意到上式中最后一项是非负的，且仅当时为零.所以 ， ，且等号仅当时成立.例10 设在上具有二阶导数，且上成立，.证明 ，.证 对于任意，在处的带lagrange余项的taylor公式为 ，其中在与之间，因此.特别地有 ， ，其中.将以上两式相减得 于是由已知条件得 .注意到在上成立，因此 .由在上得任意性，即得结论.3.5 判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则. 例11 在附近有二阶连续导，在取最大值，则绝对收敛 证明：在上

14、有二阶连续导，且 时，在附近有二阶连续导， 也存在二阶连续导 在上连续故 收敛 绝对收敛例12 函数的二阶导数在的一个邻域内连续则绝对收敛证明：在上连续， 在点连续 在上连续 点连续与同敛散绝对收敛3.6 证明根的唯一性存在性例13 设在上二阶可导，且，对，证明：在内存在唯一实根证明 因为，所以单调减少，又，因此时，故在上严格单调减少，在点展开一阶泰勒公式有由题设，于是有，从而必存在，使得，又因为，在上应用连续函数的介值定理，存在，使，由的严格单调性知唯一，因此方程在内存在唯一实根.3.7判断函数的极值在自然科学、生产技术、经济管理等领域，经常需要研究如何花费最小代价取获取最大收益的问题，这在

15、许多情况下，可以归结为求一个函数在某一范围内的最大值或最小值.根据连续函数的性质，闭区间的连续函数必定能取到最大值与最小值.需要注意的是，如果去掉函数的连续性或者将闭区间改为开区间，函数有可能取不到最大值或是最小值函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取到最大值（或最小值）的点称为函数的最大值点（或最小值点），也称为函数的最值点.函数的极大值与极小值反映的是函数的一种局部性质，而函数的最大值与最小值反映的是函数的某一范围内的一种整体性质.例14（极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且.（i）若，则在取得极大值.（ii）若，则在取得极小值证明：因为，由taylor公式

16、 得到 因为当时上式右侧第二项趋于0，所以当时，由极限的性质可知在点附近成立 所以 从而在取最大值.同理，当时，由极限的性质可知在点附近成立 所以 从而在取极小值3.8求高阶导数在某点的数值如果泰勒公式已知，其通项中的加项的系数正是，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例15 求函数在处的高阶导数 解 设，则 在的泰勒公式为 ，从而而中的泰勒展开式中含的项应为，从的展开式知 的项为 ，因此例16 写出的麦克劳林公式，并求与解 用替换例1中的，使得 根据定理2.1注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为 由此得到3.9 求行列式的

17、值若一个行列式可看做的函数（一般是的次多项式），记作，按泰勒公式在某处展开，用这一方法可求得一些行列式的值例17求阶行列式 （1）解 记，泰勒公式在处展开：， （2）易知 （3）由（3）得，时都成立根据行列式求导的规则，有 （因为），于是在处的各阶导数为 ， ， 把以上各导数代入（2）式中，有 若，有，若，有3.10 判断函数凹凸性及拐点 泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个邻域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性及拐点.定理3.1 设在上连续，在上具有一阶和二阶导数，若在 内，则在上的图形是凹的 证明：设为

18、内任意两点，且足够小，为中的任意两点，记由定理条件得泰勒公式，由此 因为余项为的高阶无穷小，又为足够小，所以泰勒公式的符号与相同，又因，所以，可得： 即，得由得任意性，可得在足够小的区间上是凹的，再由得任意性，得在内任意一个足够小的区间内部都是凹向的.定理3.2 若在某个内阶可导，且满足，且若（1）为奇数，则为拐点； （2）为偶数，则不是拐点证明： 写出在处的泰勒公式 因为 则，同样余项时的高阶无穷小 .所以的符号在的心邻域内与相同 当为奇数时，显然在的两边，符号相异，即的符号相异，所以为拐点.当为偶数时，则的符号相同，所以不是拐点例18 判断是否是的拐点 解： 因为，所以不是的拐点参考文献1

19、 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）上册m.北京：高等教育出版社，2001.2 陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版) 上册m.北京:高等教育出版社，2004.5 . 3 钱吉林等主.数学分析题解精粹（第二版）m.北京：湖北长江出版社2009.9.致谢本论文是在我的恩师刘丽梅教授的深切关怀和精心指导下完成的，论文的选题、开题以及写作、修改和完稿无不渗透了刘老师的精力和心血。在论文写作及学习期间时常被刘老师诲人不倦的教育态度，严谨求实的治学作风，平静宽容的为人风范所感动。刘老师不仅是学生学业上的导师，也是学生生活中的尊长，使我在整个求学期间，获益良多。在此，我特别向我的恩师刘丽梅教授致以诚

20、挚的谢意!感谢学院，特别是数记系所有对我的学习、生活给予帮助、关心和教导的老师们!谢谢你们的细心教导!感谢我的同学和朋友们，她们在我学习期间给了我许多帮助，为我本科论文的完成提供了一些好的建议。因为有了她们，我才能顺利完成我的论文，在此对她们表示深深的感谢!在大学生活中，我得到了诸多同学、朋友们的真诚帮助，感激之情无以表达，谨借此文一并致谢。最后，还要感谢我的父母，是他们一直在默默地支持着我、鼓励着我，在此对他们的养育之恩表示忠心的感谢!taylor formula and its applicationabstract taylor formula is the most basic and

21、 important content in the course of “mathematical analysis” ,as a kind of research will be some complex functions are approximated with a simple polynomial function of effective tools, should firmly grasp, and we learn” mathematical analysis” must have knowledge of it. this paper introduces the taylor polynomial and its function expansion, from this paper discussed 10 issues, namely the taylor formula for approximate calculation, using the taylo