第二章X射线衍射方向

1、第二章 X射线衍射方向【教学内容】1晶体几何学基础。2X射线衍射的概念与布拉格方程 （布拉格定律、衍射矢量方程、爱瓦德图解、劳埃方程）。3布拉格方程的应用与衍射方法。【重点掌握内容】1晶体几何学的基本概念，包括布拉菲点阵，晶面和晶向指数等。2布拉格方程，这是本章的重中之重。3关于反射级数，X射线衍射与可见光反射的区别，以及衍射产生的条件及其在实际分析工作应用。【了解内容】1复习晶体几何学的某些概念，如晶体、空间格子、晶带、晶带定律和晶面间距和晶面夹角的计算。2布拉格方程的应用和主要的衍射分析方法。【教学难点】1倒易点阵。2衍射矢量方程、爱瓦德图解。【教学目标】1熟练掌握X射线衍射的基本原理，尤

2、其是布拉格方程。2培养学生善于利用这些理论去指导实际分析工作的能力。【教学方法】1以课堂教学为主，通过多媒体教学手段，使学生掌握较抽象的几何结晶学的概念和布拉格方程。2通过做习题加深对X射线衍射理论的理解。一、X射线衍射的发现上章已经X射线的波动本质。我们对X射线的应用很大程度依赖于它的波动性。第一个成功对X射线波动性进行的研究是德国物理学家劳厄（M. V. Laue）(照片)。1912年，劳厄是德国慕尼黑大学非正式聘请的教授。在此之前，人们对光的波动性已经进行了很多的研究，有关的理论已相当成熟。比如，光的衍射作用。人们知道，当光通过与其波长相当的光栅时会发生衍射作用。另一方面，人们对晶体的研

3、究也达到相当的水平， 认为晶体内部的质点是规则排列的，且质点间距在1-10A之间。当时，同校的一名博士研究生厄瓦耳（P. P. Eward）正在研究关于“各向同性共振体按各向异排列时的光学散射性质”。一天，他去向劳厄请教问题。劳厄问他，如果波长比晶体的原子间距小，而不象可见光波那样比原子间距大很多会发生什么样的情形？厄瓦耳说他的公式应当包括这样的情况，即也应当会发生衍射作用， 因为他在推导有关的公式并未使用任何近似法，还将公式抄了一份给劳厄。劳厄不再说什么，但厄瓦耳发现劳厄“若有所思”。不久，厄瓦尔就听到发现X射线衍射的消息。因为当时X射线已发现17年，对它性质已有一些解。劳厄想，如果X射线是

4、一种波长比可见光短的电磁波，波长与晶体内部质点的间距相当，就满足光衍射的条件。那么，用X射线照射线晶体时，就会产生衍射作用。他想用实验证明这一点。在伦琴的两名研究生弗里德里希（W. Friedrich）和克尼(Knipping)的帮助下，进行了实验，并取得了成功（照片仪器，衍射花样）。图中可见X射线通过晶体时产生的衍射斑点。爱因期坦称劳厄的实验是“物理学最美的实验”。它一箭双雕地解决了X射线的波动性和晶体的结构的周期性。第一个实验所用的晶体是硫酸铜。后来又作了对称性较高的闪锌矿。根据这些实验结果，劳厄进一步进行了一些理论分析，导出了著名的劳厄方程，解释的这些衍射斑点的产生。成为X射线衍射学的基

5、础。劳厄的工作引起了英国物理学家布拉格父子 (W.H. Bragg and W.L.Bragg) 的兴趣（照片）。他们分析了劳厄的实验，于同一年推导了比劳厄方程更为简单的衍射公式布拉格方程。它成为X射线分析中最常用的公式。X射线及衍射发现的过程告诉我们，要在科学上取得成就，1）要有广泛的兴趣，注意了解一些看似与自己所学领域无关的事情。2）要仔细认真，对关注那些看似偶然的事情。我们下面就来学习劳厄和布拉格有关X射线衍射的理论。在解释X射线衍射图谱时，有两个问题需要解决。一是这些衍射点的在空间上的分布规律及成因，也就是衍射线方向问题。另一个是衍射点的强度。这些衍射花样主要与晶体内部的原子种类及排列

6、规律有关。X射线衍射分析的过程就是根据这些衍射花样反推晶体结构的。它是目前测定晶体结构的唯一方法。也就是说，现在的晶体结构不是人亲眼看到的，而是通过X射线衍射推测的。当然今后大型电子显微镜的出现使人或许有办法亲眼“看到”晶体结构。本章主要解决X射线的衍射方向问题。这个问题主要与晶体中质点的排列规律有关。因此，在此之前，需要简单回顾一下几何结晶学的知识。下一章解决衍射强度问题。它主要与晶体中原子的种类有关。对我们来说，第一个问题更为重要。在说明这二个问题之前，让我们先回顾一下几何结晶学的一些知识。二、晶体几何学基础（一）晶体与空间点阵（空间格子）1、晶体晶体是内部质点在三维空间作规则排列的物质。

7、也叫具有长程有序。如水晶，NaCl。否则就是非晶体。如玻璃。（见结构图，矿物学）。应当注意的是用X射线分析都基于所分析的物质是晶体。因此它只对晶体才有效，而对非晶质体是无效的。2、空间点阵空间点阵是一种表示晶体内部质点排列规律的几何图形。它是按晶体中相同质点的排列规律从晶体结构中抽象出来的。空间点阵的要素：A、结点：空间点阵中的点，它代表晶体结构中的原子、分子等相同点。B、行列：结点在直线上的排列。它相当晶体上的晶棱或晶向。C、面网：结点在平面上的排列。它相当于晶体上的晶面D、单位点阵（平行六面体）：空间点阵中的一个最小重复单元。它相当于晶体结构中的单位晶胞（单胞）。用它们沿三维空间进行重复就

8、可得到整个空间点阵或晶体结构。因此这个单位点阵的一些参数也就反映了整个空间点阵的特点。E、点阵参数或晶体常数：为了表示单位点阵的特点，应先在单位点阵中建立一个坐标系统：选定单位点阵中的某个结点为原点，并向三个方向上引三条向量即晶轴A、B、C。一般A轴前后、B轴左右、C轴直立。三个晶轴上的结点间距（点阵周期）a, b , c可作为它们的度量单位。a, b, c和三条晶轴之间的夹角,就组成了决定这个空间点阵特点的点阵参数，相对于具体的晶体结构就是晶体常数。（二）、晶系与布拉菲点阵不同晶体的点阵参数是不同的。尽管自然界的晶体有千种，但根据这些点阵参数的特点，可以把空间点阵归类为七个晶系。这七个晶系及

9、其点阵参数的特点见表2-1。上述考虑的是单位点阵最简单的情况，即结点均在六面体的角顶上。实际上，单位点阵中除了角顶外，有些面中央或六面体中央也可能有结点。根据结点在六面体中的分布，单位点阵有简单（原始）点阵： 结点均在角顶上 面心点阵： 除角顶外每个面上均还有一个结点 底心点阵： 除角顶外每一对面上各有一个结点 体心点阵： 除角顶外中央有一个结点归纳起来，点阵参数的特点和结点的分析，所有晶体空间点阵的种类有14种。它们是法国晶体学家布拉菲总结出来的，故亦称为布拉菲点阵。点阵中结点的空间位置可用它在三个晶轴上的截距并用a,b,c 来度量。如1,1,1 ; 1/2,1/2,1/2 .等（三）、晶面

10、指数和晶向指数为表示晶面和晶向空间点阵中的相对位置，人们设计了晶面指数和晶向指数。较常用的是由英国晶体学家米勒1839年设计的。1、晶面指数晶面指数用于表示一组晶面（面）的方向。晶面指数确定的方法：A、量出待定晶面在三个晶轴的截距，并用点阵周期a, b, c度量它们。B、取三个截距系数的倒数C、把它约简化为最简的整数h, k, l, 并用小括号括起来，就构成该晶面的晶面指数（h k l）。举列说明（李树堂1990，图2-19，2-20），（632）（100）（110）（111）注意：A、当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就是负的，并将负号标在数字的上面。B、晶面指数中第一、二、三位分别代表与A

11、、B、C轴的关系，它们之间不能随意变换。C、一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组面网，而不是一个面。D、当晶面指数中某个位置上的指数为0时，表示该晶面与对应的晶轴平行。如（100）（）（001）。2、晶向指数晶向指数表示某一晶向（线）的方向。晶向指数的确定方法：A、过坐标原点找一条平行于待定晶向的行列。B、在该行列中任选一个结点，量出它在三个坐标轴上的坐标值（用a, b, c度量）C、将它们化为简单的整数u, v, w，并用方括号括起来，便构成晶向指数uvw。例如，图2-6。（四）倒易点阵1. 倒易点阵的概念倒易点阵是由晶体点阵（正点阵）按一定对应关系建立的与其相联系的另外一个假想空间点阵

12、。倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间（倒易空间）点阵，它的真面目只有从客观存在的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。2. 倒易点阵中单位矢量的定义设正点阵的原点为O，基矢为a、b、c，倒易点阵的原点为O*，基矢为a*、b*、c*，（图2-7），则有a* = bc/V，b* = ca/V，c* = ab/V 式中V为正点阵中单胞的体积：V = a*（bc）= b*（ca）= c*（ab）图2-7 倒易基矢和正空间基矢之间的关系表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢所成平面。3. 倒易点阵的性质根据式a* = bc/V，b* = ca/V，c* = ab/V 可得出

13、 a*b = a*c = b*a = b*c = c*b = 0 a*a = b*b = c*c = 1 即正倒易点阵异名基矢点乘为O，同名基矢点乘为1。在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为（h,k,l）的阵点的矢量度g h k l （倒易矢量）为g h k l = h a* + k b* + l c* 式中（h,k,l）为正点阵的晶面指数，上式表明：倒易矢量g h k l垂直于正点阵中相应的（h,k,l）晶面，或平行于它的法向N h k l 。图2-8 正点阵和倒易点阵的几何对应关系倒易点阵中的一点代表的是正点阵中的一组晶面（图2-8）。倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即g

14、h k l = 1/ d h k l 对正交点阵，有 a*a ，b*b ，c*c ，a*=1/ a ，b*= 1/b ，c*= 1/c 只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量g h k l是与相应指数的晶向hkl平行的。（五）晶带、晶面间距和晶面夹角有了晶面指数和晶向指数根据解析几何的原理，就可以计算这些面、线之间的关系。1、晶带在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为一个晶带。或者说交线相互平行的一组晶面的组合称为一个晶带。这一直线就称为晶带轴，它用晶向指数来表示。已知一个晶面 (hkl) 和它所属的晶带(uvw)，根据解析几何中直线与平面的关系，从

15、很容易得到二者之间的关系：hu+kv+lw=0通常把这个关系式称为晶带定律。晶带定律给出了晶面与晶向之间的关系，有了这个关系，我们就可以根据已知的晶面或晶带来求得另外一些晶面或晶带。如已知两晶面求两晶面相交的晶带轴(教材p24例1)已知两晶带求它们决定的晶面(教材p24例2)2、晶面间距的计算晶面间距(严格地讲是面网间距)指两个相邻晶面间的垂直距离。一般用d(hkl)来表示，意义是晶面(hkl)在空间点阵中的间距。一般的规律是，在空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶面的结点密度越大，它的X射线衍射强度越大，(在晶体中越容易出现),它的重要性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的

16、。若已知某个晶面的晶面指数，根据解析几何原理，很容易推导出计算晶面间距的公式。教材中给出了立方晶系、正方晶系和六方晶系的晶面间距计算公式。立方晶系 正方晶系 斜方晶系 其它晶系晶面间距计算公式很容易可从一些参考文献中查得。(如参考文献2、4等)。对称程度越低，晶面间距的计算的公式越复杂。实际中这些晶面间距可以通过X射线的仪器分析测得。并通过这些公式计算晶体的晶格常数。3、晶面夹角的计算同理可以得到晶面夹角的计算的计算公式。(见教材)。立方晶系的晶面夹角的计算公式：三、X射线衍射的概念与布拉格方程(一)波的干涉与衍射波的干涉与衍射在自然界上常见的。如水波和光波。因此。它们是波的一种特性。当两个波

17、的振动方向相同、波长(频率)相同，并存在一定的位相差时它们就会产生干涉作用。当位相差为波长的整数倍n时，两个波相互加强，当位相差为半波长(n+1/2)时，二者刚好相互抵消。其它情况处于中间状态。(画图说明)水波的干涉现象(肉眼可见)(英参，p276,fig9-1)：光波的杨氏干涉：(英参，p282,fig9.5 ，和光盘照片)产生干涉的波应当满足振动方向相同，波长相同、位相差恒定的条件，即它们是相干的。(二) X射线衍射与布拉格方程X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果。将上述波干涉的基本原理应用到X射线衍射中，我们就很容易理解X射线的衍射并导出计算X射线衍射方向的布拉格

18、方程。假定有一晶体结构(见图2-11)，它的晶面间距是d。当波长为的X射线以的入射角(注意这里的入射角与一般光学上的入射角不同，后者是入射线与法线之间的夹角，而这里是入射线与晶面之间的夹角)照射该晶体上时，如上章所述，X射线与晶体中的原子会产生相干散射，产生波长与入射X射线波长相同的相干的X射线。这时每个原子都是产生相干X射线的源。因此，这些散射产生的X射线可以产生干涉作用。我们先来考察一下在反射线方向上产生衍射的情况。先看一下射线1和2的情况。它们的波前在X位置时具有相同的位相，经质点散射后到达Y。由于二者所经过的路程不同，就会产生一定的波程差。这个波程差可以计算出来。图中可见，射线2比射线

19、1多走了M-L-N的距离。=ML+NL=dsin+dsin=2dsinX射线在该方向产生衍射，即X射线通过干涉得到加强的条件是为波长的整倍数，即=n 或 2dsin=n (n=1,2,3,)这就是著名的布拉格方程，或布拉格公式或布拉格定律。它是由布拉格父子在1912年提出。其中，n叫反射级数。角称掠过角或布拉格角。布拉格方程是X射线衍射分析中最基本的公式。布拉格方程的简明扼要地给出了X射线的衍射方向。即，当入射X射线与晶体中的某个晶面(hkl) 之间的夹角满足布拉格方程时，在其反射线的方向上就会产生衍射线。否则就不行。由于n是不连续的，所以扫射(三) 关于布拉格方程的几点讨论1、X射线的“反射

20、”布拉格方程及其推导过程在形式上与光的镜面反射相似。因此，人们也经常把X射线的衍射习惯地称作晶面对X射线的反射。实际上，这是X射线在晶体产生衍射的结果，但布拉格方程借助了镜面反射的规律来描述X射线的方向，这给X射线衍射分析中的计算带来了极大的方便。实际上，正如我们上面提到的，也在1912年，劳厄先于布拉格就提出了劳厄方程(p30,式2-21)，来描述X射线的衍射，并且该方程的物理模型更清楚。但该方程较为复杂，在一般的X射线分析中较少用。当然二者是实际上是一致的。尽管如此，我们还是应当注意这里所说X射线的“反射”与光的镜面反射的区别。1) 在本质上是晶体中各原子散射波干涉，即衍射的结果，而不是象

21、可见光那样是晶面对X射线反射的结果。因此，X射线的衍射线强度较其入射线的强度要弱得多。这是因为散射光的强度很弱。而可见光的镜面反射中的入射光与反射光的强度几乎相同。 2) X射线的反射只在满足布拉格方程的若干个特殊的角度上才能产生反射，其它角度上则不发生反射。因此，有人将X射线的反射称为选择反射。而可见光的反射在任意角度上均可发生。3) 在布拉格方程中入射角是入射线与晶面的夹角，而可见光的反射定律中是入射线与法线的夹角。因此，我们将X射线衍射中的入射角称为掠过角或布拉格角，而不叫入射角或反射角。2、反射级数与干涉指数布拉格方程中的反射级数反映相邻两条衍射线之间光程差的倍数，其物理意义可用图2-

22、12来说明。实际中，这个反射级数是不易测定的。并且我们关心的主要是衍射线的方向。因此，可将布拉格方程作如下的转换：2dsin=n2（d/n）sin=也就是说，间距为d 的晶面对X射线的n级反射可以看作是间距为d/n的晶面的一级反射。如图2-13所示。当然这样一组间距为d/n的晶面实际上有些是不存在的。我们把它们称之为干涉面。也用一组晶面指数HKL来表示，并称之为干涉指数。假设原来的晶面间距为d的晶面的晶面指数为(hkl)，根据晶面指数的定义可以得出，这个晶面间距为d/n的干涉面的干涉指数为nh nk nl即 H=nh K=nk L=nl例如，如果原有的晶面是(100)，它的二级反射的的干涉面在

23、a轴上的截距是1/2，由于晶面指数是截距的倒数比，所以干涉指数是(200)。若原来的晶面是(110)。二级反射的干涉指数是(220)。可见，干涉指数与晶面指数的最大区别是它们之间具有公约数，而不是互质的。如200。在X射线分析中，并不严格区分干涉指数和晶面指数，有了干涉面这个概念之后，布拉格方程就可以进一步简化。设d=d/n，布拉格方程就成为：2dsin= 或 2dHKLsin=这样一来，布拉格方程变成永远是一级反射的形式，变得更简单了。同时规定，用产生第一级反射的那个干涉面的指数来标记相应的反射线。如(110)面产生的反射线标记为110反射线，而220反射则表示(110)面的二级反射，因为它

24、可看作是(220)面的一级反射。3、衍射产生的极限条件从布拉格方程可知 n/2d=sin sin1 n2dn=1,2,3. 最小值为1 /2，也就是说，只有晶面间距大于入射X射线波长的一半时，这些晶面才能产生衍射。当入射X射线的波长一定时，利用这个关系，我们可以判断哪些晶面能产生衍射以及产生衍射晶面的数目。同样，X射线的波长越短，能产生衍射的晶面越多。但波长太小，掠过角就很小，这对仪器测量来说是困难的。（四）衍射矢量方程由“反射定律+布拉格方程”表达的衍射必要条件，可用一个统一的矢量方程式即衍射矢量方程表达。图2-10 反射定律的数学表达设S0与S分别为入射线与反射线方向单位矢量，SS0称为衍

25、射矢量，则反射定律可表达为：S0与S分居反射面（HKL）法线（N）两侧且S0、S与N共面，S0及S与（HKL）面夹角相等（均为）。据此可推知SS0N（此可称为反射定律的数学表达式），如图2-10所示。由图2-13亦可知SS0 = 2sin。故布拉格方程可写为SS0=/d。综上所述，“反射定律+布拉格方程”可用衍射矢量（SS0）表示为（2-4）由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对应的倒易矢量r*HKLN且r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则式（24 ）可写为（SS0）/=r*HKL （r*HKL=1/dHKL） （2-5）式（2-5）即称为衍射矢量方程，由导出过程可知，衍射矢量方程等到效

26、于“反射定律+布拉格方程”，是衍射必要条件的矢量表达式。若设R*HKL=r*HKL（为入射线波长，可视为比例系数），则式（2-5）可写为SS0 = R*HKL （R*HKL=/ dHKL） （2-6）式（2-6）亦为衍射矢量方程。（五）爱瓦尔德图解讨论衍射矢量方程的几何图解形式。图2-11 衍射矢量三角形衍射矢量方程的几何图形衍射矢量方程的几何图解如图2-11所示，入射线单位矢量S0与反射晶面（HKL）倒易矢量R*HKL及该晶面反射线单位矢量S构成矢量三角形（称衍射矢量三解形）。该三角形为等腰三角形（S0=S）；S0终点是倒易（点阵）原点（O*），而S终点是R*HKL的终点，即晶面对应的倒易点

27、，S与S0之夹角为2，称为衍射角，2表达了入射线与反射线的方向。晶体中有各种不同方位、不同晶面间距的（HKL）晶面。当一束波长为的X射线以一定方向照射晶体时，哪些晶面可能产生反射？反射方向如何？解决此问题的几何图形解即为爱瓦尔德图解。图2-12 同一晶体各晶面衍射矢量三角形关系脚标1、2、3分别代表晶面指数H1K1L1、H2K2L2和H3K3L3图2-13 爱瓦尔德图解按衍射矢量方程，晶体中每一个可能产生反射的（HKL）晶面均有各自的衍射矢量三角形。各衍射矢量三角形的关系如图2-12所示，S0为各三角形之公共边；若以S0矢量起点（O）为圆心，S0为半径作球面（此球称为反射球或爱瓦尔德球），则各

28、三角形之另一腰即S的终点在此球面上；因S的终点为R*HKL之终点，即反射晶面（HKL）之倒易点也落在此球面上。由上述分析可知，可能产生反射的晶面，其倒易点必落在反射球上，据此，厄瓦尔德作出了表达晶体各晶面衍射产生必要条件的几何图解，如图2-13所示，爱瓦尔德图解步骤为：1、作OO*=S0；2、作反射球（以O为圆心、OO*为半径作球）；3、以O*为倒易原点，作晶体的倒易点阵；4、若倒易点阵与反射球（面）相交，即倒易点落在反射球（面）上（例如图2-16中之P点），则该倒易点相应之（HKL）面满足衍射矢量方程；反射球心O与倒易点的连接矢量（如OP）即为该（HKL）面之反射线单位矢量S，而S与S0之夹

29、角（2）表达了该（HKL）面可能产生的反射线方位。2. 爱瓦尔德球图解法在了解了倒易点阵的基础上，我们便可以通过爱瓦尔德球图解法将布拉格定律用几何图形直观地表达出来，即爱瓦尔德球图解法是布拉格定律的几何表达形式。在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易点阵原点O*为端点作入射波的波矢量k（即图2-14中的矢量OO*），该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即 k = 1/以O为中心，1/为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球（或称反射球）。此时，若有倒易阵点G（指数为hkl）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是OG，或者写成

30、衍射波的波矢量k，其长度也等于反射球的半径1/。图2-14 爱瓦尔德球作图法根据倒易矢量的定义，O*G = g ，于是我们得到kk = g （27）由图2-14的简单分析即可证明，式（27）与布拉格定律是完全相等的。由O向O*G作垂线，垂足为D，因为g平行与（hkl）晶面的法向N hkl，所以OD就是正空间中（hkl）晶面的方位，若它与入射束方向的夹角为，则有O*D = OO*sin即 g/2 = k sin由于 g = 1/d ，k = 1/故有 2dsin = 同时，由图可知，k与k的夹角（即衍射束与透射束的夹角）等于2，这与布拉格定律的结果也是一致的。图2-14中应注意矢量g h k l

31、 的方向，它和衍射晶面的法线方向一致因为已经设定g h k l矢量的模是衍射晶面面网间距的倒数，因此位于倒易空间中的g h k l矢量具有代表正空间中的（hkl）衍射晶面的特性，所以它又叫做衍射晶面矢量。爱瓦尔德球内的三个矢量k、k和g h k l清楚地描绘了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系，在以后的电子衍射分析中我们将常常应用爱瓦尔德球图解法这个有效工具。在作图过程中，我们首先规定爱瓦尔德球的半径为1/，又因g h k l = 1/ d h k l，由于这两个条件，使爱瓦尔德球本身已置于倒易空间中去了，在倒易空间中任一g h k l矢量就是正空间中（hkl）晶面代表，如果我们能记录互各

32、g h k l矢量的排列方式，就可以通过坐标变换，推测出正空间中各衍射晶面间的相对方位，这就是电子衍射分析要解决的主要问题。（六）劳埃方程由于晶体原子呈周期性排列，劳埃设想晶体为光栅（点阵常数为光栅常数），晶体中原子受X射线照射产生球面散射波并在一定方向上相互干涉，形成衍射光束。1、一维劳埃方程图2-15 一维劳埃方程的导出考虑单一原子列（一维点阵）的衍射方向，如图2-15所示，设S0及S分别为入射线及任意方向上原子散射线单位矢量，a为点阵基矢，0及分别为S0与a及S与a之夹角，则原子列中任意两相邻原子（A与B）散射线间光程差（）为 =AMBN=acosacos0散射线干涉一致加强的条件为=H

33、，即acosacos0= H （2-8）式中：H任意整数。此式表达了单一原子列衍射线方向（a）与入射线波长（）及方向（a0）和点阵常数（a）的相互关系，称为一维劳埃方程。式（2-8）亦可写为a（SS0）= H （2-9）2、二维劳埃方程考虑单一原子平面（二维点阵）的衍射方向，设a与b为二维点阵基矢，分别列出沿a方向与沿b方向之一维劳埃方程，即（2-10）式中；H与K任意整数；0及0S0与a及b的夹角；及S与a及b的夹角。式（2-10）称为二维劳埃方程。可以证明（证明从略），单一原子平面受X射线照射必须同时满足式（2-10）中之两个方程，才可能产生衍射。式（2-10）亦可写为（2-11）3、三维

34、劳埃方程考虑三维晶体的衍射方向，分别列出沿点阵基矢a、b、c方向上的一维劳埃方程，即（2-12）式中：H、K及 L任意整数；0、0及0S0与a、b及c的夹角；、及S与a、b及c的夹角。式（2-12）称为三维劳埃方程。三维晶体若要产生衍射，必须满足此式，式（2-12）亦写为（2-13）由解析几何可知，0、0与0及、与必须满足几何条件（2-14）式（2-14）称为劳埃方程的约束性或协调性方程。四、布拉格方程的应用与衍射方法(一)布拉格方程的应用布拉格方程中，有三个参数，、d和。其中是通过仪器测量的。因此，如果知道其中的一个可以用布拉格方程计算出另一个参数。因此，布拉格方程主要有二个用途：1、已知晶体的d值。通过测量，求特征X射线的，并通过判断产生特征X射线的元素。这主要应用于X射线荧光光谱仪和电子探针中。2、已知入射X射线的波长， 通过测量，求晶面间距。并通过晶面间距，测定晶体结构或进行物相分析。这是本课程要讲的主要内容。(二) 获得晶体衍射花样的三种基本方法晶体的衍射只有在、和d三者都满足布拉格方程时才能产生，这个条件是很苛刻的。因此，简单地在X射线光路上放置一个单晶，运气好的话，恰好有一个晶面满足布拉格方程，观察个可到一