与圆有关的最值问题求解策略

1、共享知识分享快乐 盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 与圆有关的最值问题的求解策略 江苏省苏州中学江小娟 圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质.由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有 关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解当然，根据教学要求的说 明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的 思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等本文将就 与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助. 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径 例1已知P

2、为直线y=x+1上任一点，Q为圆C： (x 3)2 y2 1上任一点，则PQ的最小 值为. 【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆 心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用. 解：如图1，圆心C到直线y=x+l的距离d，圆半径r 1，故PQ PC r 2/2 1 变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x 3)2 y2 1上任一点，则S/qab的最小值为 . 【分析】本题要求 S/qab的最大值，因为线段 AB为定长，由三角形面积公式可知，只需求 “Q到Iab的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即

3、例1 1 解：如图2,设hQ为Q到*的距离，则S/qab -|AB hQ J2佗 血(2逅 1) 4 图2 卑微如蝼蚁、坚强似大象 1引切线，则切线长的最小值为 变题2：由直线y=x+1上一点向圆C： (x 3)2 y 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解.因为 PA2 PC2 r2，故即求PC的最小值，即例1. 解：如图 3, PA2 PC2 r2 PC2 1 , PCmin 2 2 , PAmin弓 变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过 P作圆C: (x 3)2 y2 1的切线PA, PB,A、 B为切点，则当PC= 【分析】 APB 最小值，即

4、例1. 时, APC，故即求角 解：如图4,T APB APC , sin APC APC最大，即 APB最大. x 1 . PC ,. PCmin 2血, y z / / O B* 图4 x PC 2 2 时， 2 变题4:已知P为直线y=x+1上一动点，过 P作圆C: (x 3)2 1的切线PA，PB,A、 B为切点，则四边形 PACB面积的最小值为. 【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为 转化为求切线段的最小值问题. PA的最小值，问题又 解：如图 4 , S四边形 PACB S pac S pab 2S PAB 2 1 PA AC 2 PA，由变式2可知, AP

5、B最大. APC的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC的 PAnin7，故四边形PACB面积的最小值为 我们可以总结一句万变不离其宗” 【解题回顾】 在上面例i及几个变试题的解题过程中, 般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直 线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在 解题时可直接应用.另：和切线段有关的问题常利用 “连接圆心和切点，构造直销三角形“进 行求解也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”如下例. 例2已知圆C： x2 y2 2x 4y 3 0 ,从圆C外一点P(Xi,yJ向该 圆引一条切线，切点为

6、 M, 0为坐标原点，且有 PM=PO ,求使得PM取得 最小值的点P坐标. 【分析】本题中，由于点P和点M均在动，故直接做很难求解联系到 PM是切线段，因此可利用 PM 2 PC2 r2将条件PM=PO转化为只含 有一个变量P的式子即可求解. 解：由题意，令 P(x, y)，: pm 2 PC22，二 PC22 PO2 , 即(x 1)2 (y 2)22 x2 y2，化简得：2x 4y 30 . PM=PO ,即求直线2x 4y 30到原点O(0,0)的最小距离. 33 10、5，易得pM的最小值为I。，5 类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值 例3若实数x、y满足x2 y2 2x

7、4y 0 ,求x-2y的最大值. 【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型, 函数求最值，利用辅助角公式即得最大值. 利用圆的参数方程将所求式转化为三角 解：(x 1)2 (y 2)2 x 1.5 cos 5，令( y 25sin R)， 贝U x 2y 515cos 2、5sin 5cos( )5 (其中 cosF，sin晋) 当 cos( )1 时，(X 2y)max 5 50，故x-2y的最大值为0. 【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值. 5 , x 类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值 若所求式子具有较明显的几何意义，可以转化

8、为线性规划问题求最 直 比如例2,除了用圆的参数方程求解，还可以联想到在线性规划问题 中，这类题通常转化为直线方程的纵截距求解. 1 1 5_z 5 解法二：令x 2y 乙则y -x z，由题意，当直线的纵截距最 小时，Z最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离 故z 0或 10，由题意，Zmax 0，即x-2y的最大值为0 . 除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距 离、点到直线的距离等比如在上例中，改为求丄丄,(x 2)2 (y 1)2, x y 1的取 x 2 值范围，则可以分别用如下方法求解： 对 匕，转化为圆上任意一点P到点A(2,1)连线斜率

9、的最大值，可设过点A(2,1)的直线 x 2 3k 1 为y 1 k(x 2)，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d 5，可得 1 1 k2或 -，故 k 2,)(,-. 对(x 2)2 (y 1)2，转化为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方的取值范围，由例1 易得 PA CA 、.5,CA 、5，即 PA2 (x 2)2 (y 1)2 50 1 2,50 10、2 联想到点到直线的距离公式中有类似的元素. 可将问题转化为圆上任意一点P 共享知识分享快乐 到直线x y 1 0的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为2 2，故圆上任一点 P(x,y) 到直线x y 1 0的距离* I 1 2

10、血 J5,2运 J5， V2 即 |x y 1| 4 皿4 7T0. 【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求 解可将问题简单化和直观化. 类型四：向函数问题转化 平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思 想.有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解.此时应考虑如何利用代数思想将问题转化 为函数问题. 例4 ( 2010年高考全国卷I理科11)已知圆O： x2 y2 1 , PA、 urn uuu “冃 PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，贝y PA PB的取小值为 【分析】本题中，由于 A、B都是动点，故将 LUM

11、UUU PA pb转化为坐标形 P 式较难求解.此时考虑到向量数量积的定义, ULLL ULLL 令 APB 2 , PA PB uuu uuu PA PB B cos2 而切线段PA=PB也可用 表示，故所求式可转化为关于 的三角函数求解. 解：令 APB 2 (%) uuu uuu uuu uuu ,PA PB PA PB cos 2 , PA PB uuu 二 PA uuu PB cos 2 tan2 coscos2 2 sin (1 sin2 )(1 2sin2 ) sin2 令 sin2 t(t 0), uuu PA UJU PB (1 t)(1 2t) 1 _ 2t - 3 2.2

12、 3 t (当且仅当 sin2 时取等号) 2 卑微如蝼蚁、坚强似大象 【解题回顾】 本题以向量定义为载体， 巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为 三角函数的问题求解将几何问题代数化，利用函数思想求解同时运用了换元思想，基本 不等式思想等解题方法，是一道综合题. 类型五：向基本不等式问题转化 例5已知圆C： (x+2)2 y2 4 ,过点A( 1,0)做两条互相垂直的直线 h、I2, h交圆C 与E、F两点，I?交圆C与G、H两点, (1) EF+GH的最大值. 求四边形EGFH面积的最大值. 【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用 半径2二半弦长2+弦心距2将EF+GH转化，难点是转化后要利 用基本不等式的相关知识点. 解：（1）令圆心C到弦EF的距离为di，到弦GH的距离为d2，则 EF+GH 2( 4 dj . 4 d22)，又 di2 d22 CA2 1, 由:4 di2 .4 d,8 (di2 d22)87 _J4 2 v 2 (当且仅当di d2丄2取等号) 1 2 2 故 EF+GH 2再 ,T4 GH , S四边形EFGH 1 EF 2 GH 2,4 d/.4 d22 (di2 d/) 2 （当且仅当di d2 于取等号） 【解题回顾】本题（ I）是利用王上9b 2 V 2 ,（2）是利