大学解析几何

1、第一章第一章 向量与坐标向量与坐标 1.1 向量的概念向量的概念1.3 数乘向量数乘向量1.2 向量的加法向量的加法 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影 1.5 标架与坐标标架与坐标 1.7 向量的数量积向量的数量积 1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量的向量积两向量的向量积 1.10 三向量的双重向量积三向量的双重向量积 量的分类 ：标量、向量（矢量）、张量等 1.1 1.1 向量的概念向量的概念 定义 集合 相互关系 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量， 或称或称矢量

2、矢量. 向量的几何表示：向量的几何表示： |a 21m m | |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .或或 以以 1 m为起点，为起点， 2 m为终点的有向线段为终点的有向线段.a 21m m或或 有向线段有向线段 有向线段的方向表示向量的方向有向线段的方向表示向量的方向. 有向线段的长度表示向量的大小有向线段的长度表示向量的大小, 1 m 2 m a 1.1 1.1 向量的概念向量的概念 返回 下一页 所有的零向量都相等所有的零向量都相等. . a b 模为模为1 1的向量的向量. . 零向量：零向量： 模为模为0 0的向量的向量. .0 单位向量：单位向量： 12 0 m m e

3、a a e 或或 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量. .记为记为 ba 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向两个模相等，方向相反的向 量叫做互为量叫做互为反向量反向量. . ba.ab 与互为反向量 aa 的反向量记为 a a 上一页下一页 返回 自由向量自由向量. 固定向量固定向量 零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线. . 定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量平行于同一直线的一组向量 叫做叫做共线向量共线向量. . 定义定义1.1.5 1.

4、1.5 平行于同一平面的一组向量平行于同一平面的一组向量 叫做叫做共面向量共面向量. . 零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面. . 上一页 返回 注：并不是所有的有向线段都表注：并不是所有的有向线段都表 示向量，如刚体的有限转动。示向量，如刚体的有限转动。 注：在不作声明的前提下注：在不作声明的前提下, 所说的向量都是所说的向量都是 自由向量自由向量. /a b x z y x z y o间点为点以以空空任任意意一一始始, , oaaabboab 连，线，接接作作向向量量得得一一折折 a a b ab 设，义、已已知知向向量量定定1.2.11.2.1 .abcab 两记叫

5、叫做做向向量量的的和和，做做与 ,oobc 从线点点折折的的端端到到另另一一端端b的b的向向量量 b c 1.2 1.2 向量的加法向量的加法 为什么是这 样定义，而 不是其它的？ .abba cbacba )().(cba . 0)( aa a+0 = a. a b a b a b c abcabc 12 , n a aa 个则广有有限限向向量量相相加加可可由由向向量量的的三三角角形形求求和和法法推推: : o点开自自任任意意始始， 111221 , nnn oaaa aaaaa 依依次次引引, 12 n oa aa线由此得一折, 12 , n n oaan a aa 个于于是是向向量量就就

6、是是向向量量 的的和和， 1121 . nn oaoaa aaa 即即 1 a 4 a 2 a 1n a c 3 a 义定定1.2.21.2.2 bca bca 当 时 向向量量与与向向量量的的和和等等于于向向量量，即即 ， cab 们我我把把向向量量叫叫做做向向量量与与的的差差， .cab 记并并做做 )( baba a b a -b obbaoa abab ，已已知知向向量量，如如何何作作出出？ ooaa obb 间点， 自 自空空任任意意引引向向量量 baoaob a b baab 为那那么么向向量量即即所所作作. . . ab ababab 对两，于于任任意意的的向向量量，有有下下列列

7、不不等等式式 a b b b c ba bac )( ba ba a b 上一页下一页 返回 这个不等式还这个不等式还可以推广到任意这个不等式还这个不等式还可以推广到任意 有限多个向量的情况：有限多个向量的情况： 1212 . nn aaaaaa . ab ababab 对两，于于任任意意的的向向量量，有有下下列列不不等等式式 1, . a bc 例设互不共线的三矢量与 ，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量 , ,0,0 a b c abcaba bcb cacab bc ca aaa b c 证 必要性 设三矢量 ，可以 构成三角形，即有 ，那么即

8、 0, ,0, . abcaba bcb acabacccac c caa b cabc 充分性 设，作 那么所以从而 是的反矢量， 因此 ，所以 ，可构成一个三角形 ab c 上一页 返回 , 0)1( a 与与a 同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反向，反向， |aa a a 2a 2 1 1.3.1, 00 . 定义实数 与向量 的乘积是一个向量，记做它的 模是； 的方向，当时与 相同，当时与 相反我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘 aa aaaaa 1.3 1.3 数乘向量数乘向量 下一页 返回 定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运

9、算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律： （2 2）结合律：）结合律：)()(aa a )( （3 3）第一分配律：）第一分配律：aaa )( baba )( 0 . aba ba 设向量，那么向量平行于的充 分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 定定理理 两个向量的平行关系两个向量的平行关系 （4 4）第二分配律：）第二分配律： 上一页下一页 返回 1 aa 证证 充分性显然；充分性显然； 必要性必要性a b 设设, a b 取取 取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab 取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab .ab 即即有有 .同同向向与与此此时时ab aa 且且a a b .b .的唯

10、一性的唯一性 ，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a ，故故0 . 即即 上一页下一页 返回 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aea 按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， a eaa | . | a e a a 上式表明：一个非零向量除以它的模的结上式表明：一个非零向量除以它的模的结 果是一个与原向量同方向的单位向量果是一个与原向量同方向的单位向量. 上一页下一页 返回 0. aaa 单单记与与 同同方方向向的的位位向向量量叫叫做做 的的位位向向量量，做做 证明方法证明方法, 是根据可能出现的

11、情况是根据可能出现的情况, 证明等式两边的向证明等式两边的向 量长度相等与方向相同量长度相等与方向相同. 1)设设a与与b为共线向量：为共线向量： 2)设设a与与b不共线不共线.空间解析几何空间解析几何 090610.pdf 我们对规律我们对规律4 给出证明给出证明.baba )( 例例1 1 设设am是三角形是三角形abc的中线，求证的中线，求证: 证证 1 () 2 amabac 如图如图 因为 ,amabbm amaccm 2()(),amabacbmcm 所以 但 0,bmcmbmmb 因而 2amabac 即 1 () 2 amabac a b c m (图1.11) 上一页下一页

12、返回 例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点用向量方法证明：联结三角形两边中点 的线段平行于第三边且等于第三边的一半的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证证 设设abc两边两边ab，ac之中点分别为之中点分别为m，n， 那么那么 mnanam 11 22 acab 1 () 2 acab 1 2 bc 所以所以/mnbc 且且 1 2 mnbc 上一页 返回 b c m n a 12 , n a aa m 12 0; n mamama o 12n oaoaoanom 1、对于任意取定的点组、对于任意取定的点组 证明：（证明：（1）存在唯一的点）存在唯一的点 ，使得，使得 （2）对于

13、任意的点）对于任意的点 有有， . 1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 1 e 2 e r 3 e 2 e 1 e r 0 1 0 1 oaboa= a ob=bmn oaobom = a on = banbmpop= p ab 、 别，两边点 设试 、线组 已 已知知三三角角形形，其其中中 ,而 ,而 分分是是三三角角形形上上的的，且且有有 ， ， ，与与相相交交于于 ，把把向向量量 分分解解成成的的 例例 性性 1 1 合合. . , o n b p a m a p b b a 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且证明四面体对边中点的连线交于一点，

14、且 互相平分互相平分. a b c d e f p1 e1 e2 e3 . , . , , , , 3211 321 321 32 1 关系式关系式 线性表示的线性表示的，用用先求先求 取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了 三点重合三点重合下只需证下只需证 两组对边中点分别为两组对边中点分别为 其余其余它的中点为它的中点为线为线为 的连的连的中点的中点对边对边 一组一组设四面体设四面体证证 eeeap eadeaceab ppp pp pef fecdab abcd 上一页 下一页 返回 ),( 2 1 1 afaeap 连接连接af，因为，因为ap1是是aef aef 的中线，所

15、以有的中线，所以有 又因为又因为af1是是acd acd 的中线，所以又有的中线，所以又有 ),( 2 1 )( 2 1 32 eeadacaf , 2 1 2 1 1 eabae 而而 ),( 4 1 )( 2 1 2 1 2 1 3213211 eeeeeeap 从而得从而得 )3 , 2(),( 4 1 321 ieeeapi同理可得同理可得 321 apapap所以所以 ., 321 三点重合，命题得证三点重合，命题得证从而知从而知ppp 上一页 下一页 返回 例例4 4 设设 为两不共线向量，证明为两不共线向量，证明 , a b bbaau 11 bbaav 22 共线的充要条件是共

16、线的充要条件是 0 21 21 bb aa 上一页下一页 返回 证证 共线 vu , vu , 线性相关，即存在不全为0 的实数 ,使 0vu 即 0)()( 2121 bbbaaa 又因为 不共线 , a b , a b 线性无关 0 0 21 21 bb aa 有唯一零解 0 21 21 bb aa 上一页 返回 例例3 3 123 123 1 12 23 3 123 1,2,3 , , 0, =0. 设试证三点共线的充 要条件是存在不全为零的实数使得 且 ii opr ip p p rrr 上一页下一页 返回 1 r o 2 p 3 p 1 p 2 r 3 r 定理定理 设设a, b是不

17、同的两点是不同的两点, 则点则点c在直线在直线ab上的充要上的充要 条件是对空间中任取不在直线上的点条件是对空间中任取不在直线上的点o, 存在惟一的一对存在惟一的一对 实数实数m, n, 使得使得 且且m + n = 1. 而而c在线段在线段ab上的充要条件是上的充要条件是 且上述关系成立且上述关系成立.空间解析几何空间解析几何090610.pdf ocmoanob 0,0,mn 3 e 2 e 1 e 3 e 2 e 1 e r 3 e 2 e 1 e 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标 1 e 3 e 2 e 1 e 3 e 2 e 3 e 2 e 1 e r k j o i x 3 e

18、 2 e o 1 e y z x yo z xoy面面 yoz面面 zox面面 坐标系共分坐标系共分八个卦限八个卦限 x yo z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标

19、x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 卦限 坐标 x y z 空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11 ),(zyxm x y z o )0 , 0 ,(xp )0 , 0(yq ), 0 , 0(zr )0 ,(yxa ), 0(zyb 0c(x, ,z) 点点m 的坐标，记为的坐标，记为 ( , , )m x y z x y z o )0 , 0 ,(xp )0 , 0(yq ), 0 , 0(zr ),(zyxm x y z o i j k r omr kzj yi xr 称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标

20、分解式. .r n .,kzorj yoqi xop 设设 nmpnoporoqop ),( zyx aaaa ),( zyx bbbb ),( zzyyxx babababa ),( zzyyxx babababa ),( zyx aaaa ;)()()(kbajbaiba zzyyxx ;)()()(kbajbaiba zzyyxx .)()()(kajaia zyx 上一页下一页 返回 定理定理1.5.4 已知两个非零向量 111 ,a x y z 222 ,b xyz 则则 , a b 共线的充要条件是共线的充要条件是 111 222 xyz xyz 定理定理1.5.5 已知三个非零向

21、量 111 ,a x y z 222 ,b xyz ，则，则 , ,a b c 共面的充要条件是共面的充要条件是 333 ,c xy z 111 222 333 0 xyz xyz xyz 上一页 返回 三点共线的充要条件是三点共线的充要条件是 ？ 四点共面的充要条件是四点共面的充要条件是 ？空间解析几何空间解析几何 090610.pdf 解解 ),( 111 zzyyxx oaomam ),( 222 zzyyxx omobmb 设设),(zyxm为直线上的点，为直线上的点， a b m x y z o 线段的定比分点坐标线段的定比分点坐标 上一页下一页 返回 由题意知：由题意知： mbam

22、 ),( 111 zzyyxx ),( 222 zzyyxx 1 xx )( 2 xx 1 yy )( 2 yy 1 zz )( 2 zz , 1 21 xx x , 1 21 yy y , 1 21 zz z m为为有有向向线线段段ab的的定定比比分分点点.m为中点时，为中点时， , 2 21 xx x , 2 21 yy y . 2 21 zz z 上一页下一页 返回 1 e z x y 1 p 3 p 2 p 2 e 3 e 2 m 1 m 3 m g 123 ,1,2,3 iiii p x y zi pp p 顶点为， 条线点标 已 已知知三三角角形形三三 求求的的重重心心（即即三三角

23、角形形三三中中的的公公共共 ）的的坐坐 例例 . . a a 1.6 1.6 向量在轴上的射（投）影向量在轴上的射（投）影 a b a b e pr l xj ab 或 l a b a b 1 b 向量间夹角向量间夹角 的规定的规定 定理定理1.6.11.6.1的说明：的说明： 射影为正；射影为正； 射影为负；射影为负； 射影为零；射影为零； u a b c (4) 相等向量在同一轴上射影相等；相等向量在同一轴上射影相等； (1) 0 , 2 (2) 2 , (3) , 2 上一页下一页 返回 a a b b c c l a b 解解pnma 34 )853(4kji )742(3kji )4

24、5(kji ,15713kji 在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j 7. 上一页 返回 x y z o p a n i j k 一一物物体体在在常常力力f 作作用用下下沿沿直直线线从从点点 1 m移移动动 到到点点 2 m，以以s 表表示示位位移移，则则力力f 所所作作的的功功为为 cos|sfw (其中其中 为为f 与与s 的夹角的夹角) 启示启示 实例实例 两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量. f m1 m2 s 1.7 1.7 两矢量的数量（性）积两矢量的数量（性）积 下一页 返回 a b ,prcos|bjb a ,prcos|aja b ajbba

25、 b pr| .pr|bja a 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”. 结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积乘积. . 向量向量a 与与b 的的数量积数量积记记为为ba cos|baba 定义定义 上一页下一页 返回 关于数量积的说明：关于数量积的说明： 0)2( ba .ba )(, 0 ba , 0| a , 0| b , 0cos .ba .|)1( 2 aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba , 0 .|cos| 2 aaaaa

26、证证 证证 , 2 , 2 )0, 0( ba 上一页下一页 返回 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律： （1 1）交换律）交换律： ;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba （3 3）若）若 为数为数： 上一页下一页 返回 p39-40 例例1、2、3空间解析几何空间解析几何090610.pdf ,kajaiaa zyx kbjbibb zyx 设设 ba )(kajaia zyx )(kbjbib zyx ,kji , 0 ikkjji , 1| kji . 1 kkjjii zzyyx

27、x babababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 上一页下一页 返回 cos|baba , | cos ba ba 222222 cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba 0 zzyyxx bababa 由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为： 上一页下一页 返回 解解 ba )1(2)4()2(111 . 9 222222 cos)2( zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa , 2 1 ajbba b pr|)3( . 3 | pr b ba ajb . 4

28、3 上一页下一页 返回 证证 cacbbca )()( )()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()( 上一页下一页 返回 x y z o )0 , 0 ,(xp )0 , 0(yq ), 0 , 0(zr ),(zyxm r n omr 由勾股定理由勾股定理 rom 222 oroqop .,kzorj yoqi xop 由由 ,zoryoqxop 有有 222 zyxr 向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式 oroqop 向量的模与空间两点间距离公向量的模与空间两点间距离公 式式 上一页 下一页 返回 x y z o ),( 222 zyxb ),( 111 zy

29、xa ),( 111 zyxa设设),( 222 zyxb 为空间两点为空间两点. . ? abd oaobab 由由 ),(),( 111222 zyxzyx ),( 121212 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 zzyyxxab 空间两点间距离公式空间两点间距离公式 abd 上一页下一页 返回 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念： , 0 a, 0 b a b ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊地，当两个向量中有一个零向量时， 规定它们的夹角可在规定它们

30、的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 方向角与方向余弦的坐标表示式 上一页下一页 返回 非零向量非零向量 的的方向角方向角： r 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 x y z o m 上一页下一页 返回 由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 向量的方向余弦向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. . ),(zyxomr 设设 x y z o ),(zyxm 上一页下一页 返回 0 222 zyx当当 时，时， ,cos 222

31、zyx x ,cos 222 zyx y .cos 222 zyx z 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式 上一页下一页 返回 1coscoscos 222 方向余弦的特征方向余弦的特征 r e |r r ).cos,cos,(cos 上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向的方向余弦为坐标的向 量就是与量就是与 同方向的单位向量同方向的单位向量 r r . r e r z r y r x , 上一页 返回 有向角的概念有向角的概念p35, （ p32 ）空间解析几何空间解析几何090610.pdf 例例5,p45 (p19)空间解析几何空间解析几何090610.p

32、df o f d p 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积 下一页 返回 b a c=a b 上一页 下一页 返回 a b a b 上一页下一页 返回 p21空间解析几何空间解析几何090610.pdf c a 1 a c0 a2 c 0 ca b a a+b 1 b 11 ba 0 cb 0 )(cba (a+b) c a c 1 a 11 ba 1 a 1 b c0 . . b c 上一页下一页 返回 例例2 证明证明 22 22 a ba bab 上一页 返回 1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积 b c a b a s=|a b| h h a c a b b . h a c a b b . 其混合积（其混合积（abc） = 0 三矢三矢 a, b, c共面共面因此，因此， p25空间解析几何空间解析几何090610.pdf 已知已知2 cba ， 计算计算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()( acbaacaaba )(0)()( 0 0 0 0 cba )( cba )(2 2cba . 4 例例 上一页下一页 返回 解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量ab、 ac、ad为为棱棱