数字建模讲义教学PPT数学建模简介

1、数学建模讲义数学建模讲义 第第1章章 数学建模简介数学建模简介 黄慧青黄慧青 嘉应学院嘉应学院 rx dt dx 本课程的内容和要求本课程的内容和要求 预备知识预备知识 必备：数学分析（高等数学）、高等代数（线性代必备：数学分析（高等数学）、高等代数（线性代 数）、概率统计。数）、概率统计。 扩展：图论、偏微分方程、组合数学、随机过程、扩展：图论、偏微分方程、组合数学、随机过程、 数值分析、计算机程序设计数值分析、计算机程序设计. 课程设制：课程设制：1/21/2理论课和理论课和1/21/2上机课。上机课。 要求同学自由组合，三人一组完成作业、论文和要求同学自由组合，三人一组完成作业、论文和

2、实验报告。大部分作业上机完成，但是交打印版实验报告。大部分作业上机完成，但是交打印版 或手写版或手写版 考试分开考。考试分开考。 教材：数学模型教材：数学模型( (第三版第三版) ) 姜启源等姜启源等, ,高等教育出版社高等教育出版社,2003,2003年年 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型 第二章第二章 初等模型初等模型 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 第六章第六章 稳定性模型稳定性模型 第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 第八章第八章 离散模型离散模型 第九章第九章 概率模型概率模型 第十

3、章第十章 统计回归模型统计回归模型 第十一章第十一章 马氏链模型马氏链模型 第十二章第十二章 动态优化模型动态优化模型 第十三章第十三章 其它模型其它模型 数学软件 matlab ,matlab ,matlabmatlab程序设计与应用程序设计与应用, , 有有 电子版教程。电子版教程。 lingo,lingo,有电子版教程。有电子版教程。 数学建模只要求知道实际问题与某些数学数学建模只要求知道实际问题与某些数学 知识之间的对应关系（如哪些问题可用线知识之间的对应关系（如哪些问题可用线 性规划求解，或线性规划可解决哪些问性规划求解，或线性规划可解决哪些问 题），以及用它们建立模型的方法，模型题

4、），以及用它们建立模型的方法，模型 的求解可交给数学软件求解。的求解可交给数学软件求解。 可在黄可坤老师的主页可在黄可坤老师的主页 http:/ 主要内容主要内容 1 1 什么是数学模型？什么是数学模型？ 2 2 数学建模有什么意义？数学建模有什么意义？ 3 3 全国大学生数学建模竞赛。全国大学生数学建模竞赛。 4 4 建模示例建模示例1 1：椅子能在不平的地面上放稳吗？：椅子能在不平的地面上放稳吗？ 5 5 建模示例建模示例2 2：商人们怎样度河？：商人们怎样度河？ 6 6 建模示例建模示例3 3：人口增长模型。：人口增长模型。 7 7 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 8 matl

5、ab8 matlab曲线拟合。曲线拟合。 数学精微何处寻，纷纭世界有模型。数学精微何处寻，纷纭世界有模型。 描摹万象得神韵，识破玄机算古今。描摹万象得神韵，识破玄机算古今。 岂是空文无实效，能生妙策济苍生。岂是空文无实效，能生妙策济苍生。 经天纬地展身手，七十二行任纵横。经天纬地展身手，七十二行任纵横。 1 1 什么是数学模型什么是数学模型 从小学、中学到大学数学，都有数学应用 题，让学生体会数学的应用，体会数学与 现实世界的关系。 是不是凡是应用数学知识来解决现实世界 的问题都是数学应用题？比如，下面的问题 是数学应用题吗？ 问题问题 一艘船从港口o出发，航行了100千 米到港口a。又航行了

6、160千米，遇到意外 情况需要派直升飞机援救。直升飞机应到 何处寻找该船？ 一艘船从港口o出发向南偏东75o，方向沿 直线航行了100千米到港口a。然后向北偏 东60o方向沿在线航行了160千米到达点b， 遇到意外情况需要从港口o派直升飞机援救。 直升飞机应向北偏东多少度的方向飞行、 飞行多少千米才能到达点b？ 模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部是为了一定目的，对客观事物的一部 分进行简缩、抽象、提炼出来的分进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替的替 代物。代物。 模型可分为模型可分为物质模型（形像模型）物质模型（形像模型）和和理想理想 模型（抽像模型），模型（抽像模型），包括：直观模型

7、、物包括：直观模型、物 理模型、思维模型、符号模型等。理模型、思维模型、符号模型等。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部模型集中反映了原型中人们需要的那一部 分特征。分特征。 甲乙两地相距甲乙两地相距750km750km，船从甲到乙顺水航，船从甲到乙顺水航 行需要行需要30h30h，从乙到甲逆水航行需要，从乙到甲逆水航行需要50h50h， 问船速、水速各若干？问船速、水速各若干？ (x+y)(x+y)* *30=750, (x-y)30=750, (x-y)* *50=75050=750 事实上，所有的数学都是某种模型。事实上，所有的数学都是某种模型。 数学模型：数学模型：对于现实世界的一个

8、特定对对于现实世界的一个特定对 象，为了一个特定目的，根据特有的内象，为了一个特定目的，根据特有的内 在规律，做出一些必要的简化假设，运在规律，做出一些必要的简化假设，运 用适当的数学工具，得到的用适当的数学工具，得到的数学结构数学结构。 2 2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 分析与设计。分析与设计。 预报与决策。预报与决策。 控制与优化。控制与优化。 规划与管理。规划与管理。 “高技术本质上是一种数学技术高技术本质上是一种数学技术”。 马克思说过：马克思说过：“一门科学只有成功地运用一门科学只有成功地运用 数学时，才算达到了完善的地步。数学时，才算达到了完善的地步。” 计算机在数学建

9、模中起的重要作用。计算机在数学建模中起的重要作用。 3 3 全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 时间：每年时间：每年9 9月中下旬。月中下旬。 内容：题目由工程技术、管理科学中的实际内容：题目由工程技术、管理科学中的实际 问题简化而成，没有标准答案。问题简化而成，没有标准答案。 对象：全国本专科学生，专业不限，甲乙组对象：全国本专科学生，专业不限，甲乙组 形式：形式：3 3人一组，三天三夜，自由完成人一组，三天三夜，自由完成 目的：培养学生独立进行研究的能力，运用目的：培养学生独立进行研究的能力，运用 数学和计算机的能力，团结合作精神和进行数学和计算机的能力，团结合作精神和进行 协调

10、的组织能力等。协调的组织能力等。 评奖：大概评奖：大概1/21/2能得到省奖，能得到省奖，1/101/10有全国奖。有全国奖。 全国大学生数学建模竞赛题目全国大学生数学建模竞赛题目 2009a 2009a 制动器试验台的控制方法分析。制动器试验台的控制方法分析。 2009b 2009b 罗立兵罗立兵_ _眼科病床安排的数学模型。眼科病床安排的数学模型。 2010a 2010a 储油罐的变位识别。储油罐的变位识别。 2010b 2010b 上海世博会影响力的定量评估。上海世博会影响力的定量评估。 2011a 2011a 城市表层土壤的重金属污染分析。城市表层土壤的重金属污染分析。 2011b 2

11、011b 交巡警服务平台的设置与调试。交巡警服务平台的设置与调试。 2012a 2012a 葡萄酒的评价葡萄酒的评价 2012b 2012b 太阳能小屋的设计太阳能小屋的设计 竞赛准备竞赛准备 成功获奖成功获奖 = 一本好的教材一本好的教材 + 获奖范文获奖范文 + 实战演练实战演练 = 数学高手数学高手 + 计算机高手计算机高手 + 写作高手写作高手 4 数学建模示例数学建模示例 1. 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析问题分析 模模 型型 假假 设设 通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，

12、椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。只脚同时着地。 模型构成模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性 x b a d c o d c b a 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地 距离是距离是 的函数的函数 四个距离四个

13、距离 (四只脚四只脚) a,c 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( ) b,d 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( ) 两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 正方形正方形abcd 绕绕o点旋转点旋转 正方形正方形 对称性对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f( ) , g( )是是连续函数连续函数 对任意对任意 , f( ), g( )至少至少 一个为一个为0 数学数学 问题问题 已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g

14、(0)=0， f(0) 0. 需证明：存在需证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0. 模型构成模型构成 地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只脚着地至少三只脚着地 模型求解模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线ac和和bd互换。互换。 由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0. 令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2) x=1,2,3,4,5; y=2,3,5,2,1; cftool(x,y) 弹出拟合工具箱 如

15、图： 点击fitting按钮弹出 fitting窗口，点击 newfit按钮, type of fit 栏中选择polynomial(多 项式拟合)，再在 polynomial栏中选择 linear polynomial 点击apply曲线拟合窗口 生成拟合直线如图： 并且在“fitting”窗口的 results栏中显示结果： 直线的系数（斜率和截距直线的系数（斜率和截距 ）保留在）保留在p1和和p2中，其中中，其中 p10.3，p23.5，它，它 们在们在95%置信度下的置信置信度下的置信 区间分别为区间分别为(-1.974, 1.374) 和和(-2.052, 9.052) 对于非线性曲线拟合，可用lsqcurvefit命令来实现 ，但有些可转换成线性拟合。 例如指数增长模型 ， 可令y(t)=ln(x(t) ，则 。 rt extx 0 )( 0 ( )lny trtx 作业：人口增长模型作业：人口增长模型 某地区人口数据如上，建立模型估计出该地区某地区人口数据如上，建立模型估计出该地区2010 年的人口年的人口 ，画出拟合效果的图形，画出拟合效果的图形 。按照数学建模论。按照数学建模论 文的要求写，特别是要有摘要，参数估计。文的要求写，特别是要有