2020高一数学新教材必修1教案学案-专题3.2-函数的基本性质(第一课时)(解析版)(总25页

1、 3.2 函数的性质（第一课时）运用一 性质法判断单调性【例1】函数的单调递减区间为ABCD【答案】A【解析】函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 故选：A【触类旁通】1下列函数在区间(，0)上为增函数的是()A. y1 B. y 2 C. yx22x1 D. y1x2【答案】B【解析】y=1 在区间（,0）上不增不减; y=+2在区间（,0）上单调递增; y=x22x1在区间（,0）上有增有减; y=1+x2在区间（,0）上单调递减;所以选B.2函数yx26x10在区间(2，4)上是()A. 递减函数 B. 递增函数C. 先递减再递增 D. 先

2、递增再递减【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.运用二 定义法判断单调性【例2】已知函数f(x)=x+1x，证明f（x）在1，+）上是增函数；【思路分析】用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号【答案】证明：在1，+）上任取x1，x2，且x1x2（2分）f(x1)-f(x2)=x1+1x1-(x2+1x2)（1分）=(x1-x2)x1x2-1x1x2（1分）x1x2x1x20x11，+），x21，+）x1x210f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）故f（x）在1，+）上是增函数（2分）【思路总结】【触类旁

3、通】1.求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数【证明】见解析【解析】对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2)x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数2.用定义法证明函数f（x）=1-xx-2在（2，+）上是增函数；【答案】见解析【解析】f（x）=1-xx-2=1-2-(x-2)x-2=-1+1-2x-2任意设2x1x

4、2，则f（x1）f（x2）=1-2x1-2-1-2x2-2=（2-1）1x2-2-1x1-2（2-1）x1-x2(x2-2)(x1-2)，2x1x2，x1x20，x1-20，x2-20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在（2，+）上是增函数；运用三 图像法判断单调性【例3】(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|；(3)f(x)x22|x|3【答案】见解析【解析】(1)f(x)3|x|图象如图所示函数f(x)的单调递减区间为(，0，单调递增区间为0，)(2)令g(x)x22x3(x1)24先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下

5、方的图象翻到x轴上方就得到函数f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数f(x)的递增区间是3，1，1，)；函数f(x)的递减区间是(，3，1,1(3)f(x)x22|x|3图象如图所示由图象可知，函数f(x)的单调区间为(，1，(1,0，(0,1，(1，)，其中单调减区间为(1,0和(1，)，单调增区间为(，1和(0,1【触类旁通】1函数的单调递增区间是()AB和C和D和【答案】B【解析】，当或时，；当时，如图所示，函数的单调递增区间是和.故选B.2（2019邗江区赤岸中学高二月考（文）函数的单调减区间为_.【答案】【解析】当时，由二次函数图象可知，此时函数在上单调递减当时，由二

6、次函数图象可知，此时函数单调递增综上所述，的单调减区间为本题正确结果：3（2018重庆南开中学高一期中）函数的单调减区间为_【答案】【解析】当x2时，f（x）x22x，当x2时，f（x）x2+2x，故函数f（x）f（x）x22x的对称轴为：x1，开口向上，x2时是增函数；f（x）x2+2x，开口向下，对称轴为x1，则x1时函数是增函数，1x2时函数是减函数即有函数的单调减区间是1，2故答案为：1，2运用四 复合函数求单调区间【例4】（1）（2019安徽高一期末）函数的单调递增区间为_（2）（2018辽宁高一期中）函数的单调增区间为_【答案】（1），（2）-1，1【解析】（1）由题意，令，解得或

7、，所以函数的定义域为；因为在上单调递减，在上单调递增，故函数的单调递增区间为 ，（2）由x2+2x+30，得1x3，所以函数f（x）的定义域为1，3函数可看作由y，tx2+2x+3复合而成的，y单调递增，要求函数的单调增区间，只需求tx2+2x+3的增区间即可，tx2+2x+3在1，3的单调增区间为1，1，所以函数的单调增区间为1，1，故答案为：1，1【触类旁通】1（2019河南高一期中）函数f(x)=x2+3x-4的单调增加区间是_.【答案】1,+)【解析】函数f(x)=x2+3x-4，设t=x2+3x4，由t0，可得（，41，+），则函数y=t，由t=x2+3x4在1，+）递增，故答案为:

8、（1，+）（或写成1，+）运用五 利用单调性求参数【例5】（1）设函数是R上的减函数，则有 （ ）A. B. C. D.（2）已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6)上单调递减，则a的取值范围是（ ）A.3,+)B.(-,3C.(-,-3)D.(-,-3（3）设，函数在区间上是增函数，则（ ）ABCD（4）（2017商丘市第一高级中学高一月考）函数的单调增区间为，则为 ( ）A1B1CD（5）若函数为R上的减函数，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】（1）C（2）D （3）C（4）D（5）C【解析】（1）函数要为减函数需满足，即.（2）由于二次函数fx=x2+4ax+2的二次

9、项系数为正数，对称轴为直线x=-2a，其对称轴左侧的图像是下降的，-2a6，故a-3，因此，实数a的取值范围是-,-3，故选：D（3）因为，函数在区间上是增函数，所以.故选C.（4）令，解得，所以当时，在上单调递增，故，解得，故选D.（5）因为函数f(x)=x2-a2x+8,x1ax,x1为R上的减函数，所以y=x2-a2x+8,x1,y=ax,x1,是减函数，且当x=1时，9-a2a，故只需满足1a4a09-a2a，解得4a6，故选C.【触类旁通】1（2019贵州凯里一中高一期中）已知函数的定义域为R，且对任意的且都有成立，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由，则

10、函数在R上为增函数，由对恒成立，故，即解得，故选A.2已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是()A. (，1 B. (，1C. 1，) D. 1，)【答案】A【解析】由题意知 ，解得 ，故选A.3若函数yx2bxc在区间0，)上是单调函数，则b的取值范围是()A. b0 B. b0 C. b0 D. b0，则有()A. f(a)f(b)f(a)f(b) B. f(a)f(b)f(a)f(b) D. f(a)f(b)0，ab，ba.f(a)f(b)，f(b)f(a).f(a)f(b)f(a)f(b),故选A.5已知函数f(x)2x2ax5在区间1，)上是单调递增函数，则

11、实数a的取值范围是()A. (，4 B. (，4)C. 4，) D. (4，)【答案】A【解析】若使函数f(x)2x2ax5在区间1，)上是单调递增函数，则对称轴满足1，所以a4，选A.6函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()A. (，3) B. (0，)C. (3，) D. (，3)(3，)【答案】C【解析】因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.故选C.7若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（）Af（a）f（2a）Bf（a2）f（a）Cf（a2+2）f（2a）Df（a2+1）f（a）【答案】C【解析

12、】因为a和2a，a2和a无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A、B错误；因为a2+22a（a1）2+10，所以a2+22a，又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+2）f（2a），故C正确；因为a2+1a=(a-12)2+340，所以a2+1a，又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+1）f（a），故D错误故选：C8若f（x）x2+2（a1）x+2在区间（4，+）上是增函数，那么实数a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca3Da5【答案】B【解析】二次函数f（x）x2+2（a1）x+2是开口向上的二次函数，对称轴为x1a，二次函数f（x）x2+2（a1）x+2在1a，+

13、）上是增函数，在区间（4，+）上是增函数，1a4，解得：a3故选：B9下列函数中，在区间(0,+)上不是增函数的是_（1）y=2x+1 （2）y=x2+1 （3）y=3x （4）y=2x2+2x+1【答案】（3）【解析】（1）y=2x+1是一次函数，因为20，所以一次函数是R上的增函数，故在区间(0,+)上也是增函数，故不符合题意；（2）y=x2+1是二次函数，开口向上，对称轴是x=0，显然区间(0,+)上单调递增，不符合题意；（3）y=3x是反比例函数，因为30，所以在x0,x0时，函数都是递减的，故符合题意；（4）y=2x2+2x+1是二次函数，开口向上，对称轴是x=-12，显然区间(0,

14、+)上单调递增，不符合题意，综上所述；（3）符合题意.10函数yx|1x|的单调递增区间为_【答案】(，1【解析】yx|1x|1,x12x-1,xx21，f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2) =(1x1-1x2)+(x1-x2)=x2-x1x1x2+(x1-x2)=(x1-x2)(x1x2-1x1x2) x1x21，x1-x20,x1x21，x1x2-10x1x2-1x1x20， (x1-x2)(x1x2-1x1x2)0f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2),函数f(x)=x+1x在1,+)上是单调增函数15已知f（x）（xa）（1）若a2，试证f（x）在（，2

15、）上单调递减；（2）若 且f（x）在（1，）上单调递减，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：当a2时，f（x） （x2）设x1x22，则f（x1）f（x2）.（x12）（x22）0，x2x10，f（x1）f（x2）f（x）在（，2）内单调递减（2）设1x1x2，则f（x1）f（x2）.x2x1 0，要使f（x1）f（x2）0，只需恒成立，a1.即a的取值范围为考点：函数单调性的定义.16按要求求下列函数的值域：（1）y3x-1（观察法）；（2）y=-2x2+3x+2（配方法）；（3）y2x+3x-1（换元法）；（4）y=-2x+1x-1（分离常数法）（5）y8（x24

16、x+5）（判别式法）（6）y=x2-5x+6x2+x-6；（7）y=2x2+4x-7x2+2x+3；（8）f（x）x+2x-1；【答案】见解析【解析】（1）函数y=3x-1的值域为1，+）；（2）y=-2x2+3x+2=-2(x-34)2+258，该函数的值域为0，2580，524；（3）令3x-1=t，t0，则x=t2+13，所以：y=2-t2+13+t=-13(t-32)2+29122912；原函数的值域为（，2912；（4）y=-2x+1x-1=-2(x-1)-1x-1=-2-1x-1；1x-10，-2-1x-1-2；该函数的值域为y|y2（5）y=8x2-4x+5，定义域为R，当y0时，不成立；当y0时，原函数可化为yx24yx+5y80，判别式16y24y（5