集合问题中常见易错点归类分析答案

1、集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变初学时，由于未能真正 理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全， 而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1代表元素意义不清致误错解：由X+2y=5x 2y = 3例 1 设集合 A = ( X, y) I x + 2 y = 5, B =( X, y) I x 2 y=- 3求 AB得丿乂二1 从而 aCb=1 , 2. 訶=2分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集,所以 A B = (1 , 2)APB.例 2 设集合 A = y I y = x2 + 1, x R , B = x I

2、y= . x + 2，求错解： 显然A= y I ylB= x I y2.所以 A P B=B .分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,从而A = yI y 1，但集合B中的元素为x,所以B = x I x 0，故A P B=A .变式：已知集合 A = y I y = x2 1，集合B=y|x二y2，求A B解：A 二 y | y = x2 1 = y | y _ 1 , B 二y|x二y2=RA B =y |y -1、22例3设集合A=xx-6 = 0,B=x|xx-6=0，判断A与B的关系。错解：A 二 B 二-2,3分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其

3、中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A中的元素属性是方程，集合B中的元素属性是数，故A与B不具包含关系。例4设B = 1,2，A = x|x? B，则A与B的关系是()A . A? B B . B? A C. A B D . B A 错解：B分析：选 D. / B 的子集为1，2，1,2，?， A = x|x? B = 1，2，1,2，?，从集合与集合的角度来看待A与B，集合A的元素属性是集合，集合 B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来 看待B与A，. B A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，

4、解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 a= 1，3，a，b= 1， a2 a + 1 ，且 A=B，求 a 的值.错解：经过分析知，若a2 a 3,则a2 -a-2=0,即a -1或a = 2 .若a2 -a 1 二 a,则 a2 -2a 7=0,即 a =1 .从而 a =1，1，2.分析 当a =1时，A中有两个相同的元素 1,与元素的互异性矛盾，应舍去，故 1,2 .例6 设A=xl x2 +(b + 2)x + b+1 = 0,b= R,求A中所有元素之和.错解：由 x2 +(b + 2)x + b+1 = 0得(x+1) (x + b + 1)=0

5、(1) 当b = 0时，x i = X2 1,此时A中的元素之和为一2.(2) 当b =0时，x i + X2 = b 2.分析 上述解法错在(1)上，当b = 0时，方程有二重根一1,集合A=1,故元素之和为一1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” .评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。3 .忽视空集的特殊性致误例 7 若集合 A= x|x2 + x 6= 0, B=

6、 x|mx+ 1 = 0，且 B= A,求实数 m 的值.错解：A= x|x2 + x 6= 0 = 3,2./ B = A,(1) B=mx+ 1 = 0的解为一3,1由 m ( 3) + 1 = 0,得 m= 3;(2) B =2 mx+ 1 = 0的解为2,1由 m2 + 1= 0,得 m= ；11综上所述，m=或m =-一32分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了B =-的情况。正解：A= xlx2 + x 6= 0 = 3,2./ B = A,(1) B =，此时方程 mx 1 = 0无解，.m = 0(2) B = -3mx+ 1 = 0的解为一3,1由 m ( 3) + 1 =

7、0,得 m = 3；(3) B 二2mx+ 1 = 0的解为2,1由 m2 + 1= 0,得 m= ；综上所述,112(a1)x a2 -1 =0，若 B - A，求m 或m 或m = 0 32例 8 已知 A =x | x2 4x = 0 , B =x | x2a的取值范围。解：A=x|x2 4x=0=-4,0(1) B = ，： =4(a 1)2 -4(a2 -1) 8(a 1) ： 0，即 a ： -1(2) B = /，方程 X 2(a - 1)x a2 -1 = 0有两等根4，所以无解人=0得；a = -10|a-1由4 +0 = 2(a +1)得 4 , B=x|2a 兰xWa+3

8、，若 BGA，求a的 取值范围。解：(1) B =, 2a a 3得 a - 3(2) B ，则 a 乞3严3或a + 3 c -10(2) B式，则1 a兰一1= 0兰a兰2J + a 4综上所述，a乞2变式：已知集合 A =x|x ： -1或x 4 , B =x|1 - a乞x乞1 a，若A B “：，求 a的取值范围。解：当A B = ：时，a乞2所以当A B “：时，a 2评注：对于任何集合A,皆有A =, AU =AA4，或 XV5 , B=xl a +1WxW a + 3, 若AUB = A，求a得取值范围.错解：由AUB = A得B A. a + 3W5,或 a +14，解得 a

9、 w8，或 a 3.分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a =8时，不符合题意；当 a =3时，符合题意，故正确结果应为a v8，或a 3.评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号, 否则会导致解题结果错误.5 忽视隐含条件致误,2 , Cu A = 5，例 12 设全集u= 2, 3, a2 + 2 a 3 , A=I2 a 1求实数a的值.错解： CU A =5 ,5 - s 且 5 .-A，从而，a2 +2 a 3 = 5，解得 a = 2, 或 a = 4.分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为u是全集，所以Au.当a =2 时，12

10、a 11=3 - s,符合题意；当 a = 4 时，12 a 11=9 一 s,不符合 题意；故a = 2.评注：在解有关含参数的集合时， 需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件.6、忽视补集的含义致错1例13已知全集I二R，集合M二x|x2 -x : 0，集合N二x|1,则下列关x系正确的是()AbM?CjNC M - CtN DCZM JN-R11错解：N -x | - 1的补集为CiN =x| 1，故选Coxx剖析：本题错误地认为A二x|f(x)0的补集为C|A二x| f(x) .0。事实上对 于全集|=R，由补集的定义有A C|A = R,但C!l- x|f(x)M x| f

11、(x) 0 =x| 使 f (x)有意义，x R，即为 f (x)的定义域。所 以只有当f(x)的定义域为R时才有A=x|f(x)0的补集为C|A=x|f(x)0，否则先求 A,再求 C| A o1x 1正解：N 二x|1=x|0=x|x ：0或x 一1,所以 CiN 二x|0x ： 1,xx而 M 二x 10 : x : 1，应选 A7、考虑问题不周导致错误例14已知集合A =x lax2 4x 4 = 0, x R,a R只有一个元素，求 a的值和这个元 素。解：(1)a =0，由4x 4 =0得x二-1，此时A二一1符合题意a =# 0(2)丿得a=1，此时A =2符合题意 =16 16

12、a = 0综上所述，a = 0或a =1一、对代表元素理解不清致错。例 1.已知集合 A =y|y =X2 2x,x R, B =y |y =x2 +6x +16,XW R，求 A ClB。错解 1 ：令 x 2x =x26x16,得x=-2，所以 y =8, A B=8。错解 2：令 x2 -2x=x26x16，得x=_2，所以 y =8,AB 二-2,8。剖析：用描述法表示的集合 x|xp中，x表示元素的形式，p表示元素所具有的 性质，集合(x,y)y =f(x),x R表示函数f (x)的图象上全体点组成的集合，而本题 y|y=f(x),xR表示函数f(x)的值域，因此求 A B实际上是

13、求两个函数值域的交集。2 _ 2正解：由 A=y|y=x 2x,x R二y |y =(x-1) 1=y|y _1,B 二y |y =x2 6x 16, x R二y |y =(x 3)27二y |y 一7,得A B 二y|y 一7。二、遗漏空集致错。例2.已知集合A =x| 2兰x兰5，B =x |m +1兰x W2m -1，若A：B，求实数m的取值范围。错解：解不等式 -2乞m 7乞2m-1乞5,得2乞m乞3。剖析：空集 门是特殊集合，它有很多特殊性质，如 A G =,A 门二A,空集是任何 一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。 本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究A = B时，首先

14、要考虑 B -:的情况。正解：若 B = -时，则m 12m -1,即m ： 2。2 兰m +1,若B式时，则m+1m1,即m2。由T兰5得3兰m兰3。所以2兰m3。由知m的取值范围是(-：，3。三、忽视元素的互异性致错。例 3.已知集合x,xy,lg(xy) =O,|x|,y,求x +y 的值。x=-1,错解：由xy 0，根据集合的相等，只有lg(xy)=O,xy =1。所以可得|x|=1或|y| = 1。殳=1卡 或y =i所以 x - y =2或 x y - -2。剖析：当x =y二1时，题中的两个集合均有两个相等的元素1,这与集合中元素的互异性相悖。其实，当xy J时，集合x,1,0二

15、O,|x|,y，这时容易求解了。正解：舍去x =y二1，故x y =-2。四、混淆相关概念致错。2 _ 2 2 例 4已知全集 U=R，集合 A=x|x +4ax4a+3 = 0,x R, B =x |x (a1)x+a_ 2 _= 0,x R, C二x |x - 2ax -2a = 0,x R，若a、B、C中至少有一个不是空集，求实数 a 的取值范围。231错解：对于集合A，当,W)一4m得ar或r时，A不是空 集。1 _a -同理当3时，b不是空集；当a-2或a 0时，c不是空集。求得不等式解集的交集是空集，知a的取值范围为门。剖析：题中“ A、B、C中至少有一个不是空集”的意义是“ A不是空集或B不是空集或C不是空集”，故应求不等式解集的并集，得a （-二,-刍T,二）2五、忽视补集的含义致错。12N =x |1例5.已知全集I二R，集合M二x|x -x :0，集合 1 X，则下列关系正确的是( )A.M =CiNB.M WONC. M =C|ND. C|M UN =R1 1N =x I 1错解：i x的补集为1，故选C o剖析：本题错误地认为A二x|f(x)乞0的补集为CiA =x|f(x) V 事实上对于全集I二R，由补集的定义有A CiA =R，但x|f(x)岂0 x|f(x) 0 x |使f(x)有意义,xR，即为f(x)的定义域。所以只有当f(x)的定义域为