勾股定理培优讲义

1、勾股定理知识点汇总 一、基础知识点： 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； A B 0C 2222 ，那么表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为ca?bbca.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 122SS?4S?，化简可证方法一： ，c?a)4?ab?(b? ?ABCDEFGH正方形正方形2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与

2、小正方形面122222 大正方形面积为积的和为 b2)ab?a?bS?(a?c?c?2abS?4?ab? 2222 所以cba?1112222 ，化简得证方法三：，ca?b)a?ba?b)?(S?cab?22S?S?S ABE?ADE?梯形梯形222.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 .勾股定理的应用 222222b?c?c?aac?bab 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，?90?ABC?C知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题

3、.勾股定理的逆定理 222，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。如果三角形三边长，满足 cb?a?bcac 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三222作比较，若它们相等角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方cba?时，以，为三边的三角形是直角三角形； bca222222，时，以为三边的三角形是钝角三角形；若 若，时，以，为三边ca?ba?cb?bbcaca 的三角形是锐角三角形； 222只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足 定理中，及c?ba?bbccaa222，那么以，为三边的三角形

4、是直角三角形，但是为斜边 b?cabbca 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度. 满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. 得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. 如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 .勾股数 2 22 的三个正整数，称为勾股数。 满足a+ b= c 注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。 一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： ，15 ) 17 8，15，)(9，12，8，12，13 ) ( 6，10 ) ( 7，2425 ) ( (54（3，5 ）2

5、2 为正整数）用含字母的代数式表示组勾股数：；（1,nnn?1,22,n?nn222222,?nm ，为正整数）（为正整数）（n?m?nmn,2,?2n2n,2n?n1m?1,2n2?nnm 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行 计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在

6、具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判 定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：、互逆命题的概念10 如果把其中一如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。 个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 经过证明被确认正确的命题叫做定理 如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两

7、个定理互为逆定理 考点剖析考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆 2. 如图，以RtABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、S，则它们之间的关系是321（ ） A. S- S= SB. S+ S= SC. S+S1）21?n2、1 DB 、n+1 C、n A、2n 7、在RtABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ） 222222222a?b?ca?c?bc?b?a D. B. 以上都有可能A. C

8、. 8、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（ ） 2222mccmcmcm DC、48、 A、2436 B、60 2229、已知x、y为正数，且x-4+（y-3）=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） 15 、D 7 5 A、C 25 、B 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 .1所示，等腰中，是底边上的高，若例、如图 的面积的长；ABC求 AD 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角

9、三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ） A、234 B、346 C、51213 D、467 、下面的三角形中：3 ：5； ABC中，a：b：c=3：4：中，ABC中，C=AB； ABCA：B：C=1：23 ）ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（ 个2个 C3个 D4A1个 B 21:1，则这个三角形一定是（、若三角形的三边之比为 ） 4 22A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形 22222 0，则它的形状为（ ）cABCa

10、，b，c为三边，且满足(ab)(a+b)5、已知 等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形A.直角三角形 B.等腰三角形 C.6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 222a?b?c?200?12a?16b?20c，试判断ABC满足的三边长、若7ABCa,b,c的形状。 8、ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形 为 。 3：求例 度。 1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是（ 3 。：2（2）已知三角形三边的比为1，

11、则其最小角为： :应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题考点五AB段楼梯所铺地毯的长度应所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在某楼梯的侧面视图如图3 ,面积为 为 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想） 、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 A米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他米，当他把绳子的下端拉开5 算出来吗？ CB mmm，那么的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底，如果梯子的顶端沿墙下滑（如图）2、一架长 米梯子底端将向左滑动 1米，如果梯子的顶端下滑米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为83、如图，一个长为10 ，或“小于”）米，（填

12、“大于”，“等于” 1米，那么，梯子底端的滑动距离 处后另外一只爬到树顶?D处；处的池塘处，有两只猴子，一只爬下树走到离树高的、在一棵树410 mB20mA A直接跃到外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ B和mm）计算两圆孔中心A5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位： .的距离为 60 1 06 140 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8 梢，至少飞了 米 A，遇到障碍后又往西走2km3km处登陆后，往东走8km，又往北走7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在

13、BA处）的直线距离处往东一拐，仅1km?就找到了宝藏，问：登陆点（处）到宝藏埋藏点（再折向北方走到5km 是多少？ 考点七：折叠问题 ，折痕为E落在A边上上的点ABC1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将折叠，使点C 等于（ ）AD，连接DE，则CD72522 B. C. A. 434 AB的长MB=2MC，交BC?的垂直平分线交于M，AB于N若AC=4，求ABC=90ABC2、如图所示，已知中， CF AB=8CM,BC=10CM,FBCDAD,ABCD3、折叠矩形的一边点落在边上的点处已知求和EC。 4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直

14、线AE把ABC折叠，D A 的面积，若ABF的面积为30，求折叠的AED使点D恰好在BC边上，设此点为F E B C F 的长是多少？与点F重合，那么折叠后DED的长5、如图，矩形纸片ABCDAD=9，宽AB=3，将其折叠，使点 ? 。交于点、如图，在长方形6ABCD中，将FABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD 的长2（1）试说明：AF=FC；（）如果AB=3，BC=4，求AF ，则图CE=3cm，AB=8cm边上折叠，顶点AED正好落在BCF点处，已知所示，将长方形7、如图2ABCD沿直线 _中阴影部分面积为 的面，重合部分BC=7EBD的位置上，已知向上折叠，使点、如图，把矩形8ABC

15、D沿直线BDC落在CAB=?3， _积为 折叠后与BCAB于F，边，交于重合，折痕交边上的点与折叠，使顶点，将正方形、如图95ABCDACDMADE 。5：4：EM=3：DM：DE边的中点，求证：CD为M。如果G边交于点BC 的长为EF?则折叠后痕迹，若将该矩形折叠，使BC=4C点与A点重合，10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3， ）（ DA B C 2-5 的直角，将你手中足够大的直角三角板 PHF ，长为ABCD10cm，宽为4cm11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板 P：重合），在AD上适当移动三角板顶点顶点P落在AD边上（不与A、D 的长；若不能，请说明理由.C？若能，请

16、你求出这时 AP 能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点的延DC另一直角边PF与上移动，直角边PH 始终通过点B，使三角板顶点再次移动三角板位置，P在AD .AP的长；若不能，请你说明理由交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时Q长线交于点，与BC DE、AC边上的点，且EBC的中点，、F分别是ABDABC12、如图所示，是等腰直角三角形，AB=AC，是斜边 EF求线段的长。DF，若BE=12，CF=5 。假设拖拉机行驶160m处有一所中学，AAP，点处交汇，且在点和公路、如图，公路13MNPQPQPN30方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？PN上沿MN以内会受到噪音的影响，那么拖拉

17、机在公路100m时，周围 ，那么学校受影响的时间为多少秒？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题 、1如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的5，则正方形A，B，C，正方形的边长为D的面积的和为 ABCABCACACD，再以Rt为直角边，画第二个等腰的等腰直角三角形，以是边长为1RtRt的斜边2、已知ACDADADEn个等腰直角三角形的斜边长是 第Rt ，依此类推，的斜边为直角边，画第三个等腰 考点九、图形问题 1、如图1，求该四边形的面积 ABCA AC AB = 3+1，则边BC的长为 = 45，= 2，

18、、如图22，已知，在中， 3、某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为,宽为,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . ，h的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为12，高为5的筷子置于地面直径为24、将一根长4 。则h的取值范围 ，BC=10km已知AD=15km，ABA，CB垂直于B，DA?B5、如图，铁路上A、两点相距25km，C、D为两村庄，垂直AB于 站建在距A站多少千米处？D两村到E站的距离相等，则E、现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C 考点十：其他图形与直角三角形 ，求这块地的面积。，BC=2

19、4m，D=90，AB=26mCD=6m如图是一块地，已知AD=8m， 考点十一：与展开图有关的计算 1、如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD的表面上，求从顶点A到顶点C的最短距离 2、 如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点， 则最少要爬行 cm 3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方 案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 考点十二、航海问题港向西北方向航A/时的速度从A港向

20、东北方向航行，另一艘船同时以12海里、一轮船以116海里/时的速度从 海里行，经过小时后，它们相距_在北偏处测得某岛CM处，在点A2、如图，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的9C岛周围处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在东60的方向上。该货船航行30分钟到达B 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。 15km/h方向以B处有一台风中心，沿BC3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的点？如果在距台DB点移到到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从的速度向D移动，已知城市A点休闲的游人在

21、接到台风警报后的几小时内撤的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在30kmD风中心 离才可脱离危险？ 考点十三、网格问题 1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ） A0 B1 C2 D3 2、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 ( )的面积是ABCD则四边形,的正方形1、如图，小方格都是边长为3A 25 B. C. 9 D. （图1） （图2） （图3） 4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶

22、点分别按下列要求画三角形： 58（在图甲中画一个即可）、； 使三角形的三边长分别为3、使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可） 培优题 一、选择题 1 ( )，则腰上的高为，腰长为13cm.一等腰三角形底边长为10cmA. 12cm B. C. D. 2已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） 5 33?3 D.C.+2 A. 22 3、下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）222cba =、三条边满足、三个角的比为A1:2:3 B B=、三条边的比为1:2:3 D、三个角满足关系CA C 、下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（）4

23、12,16,209,12,14 、13,12,6 、9,12,15 、 D、 B、 C、A、的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长，高8cm、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm5 ）h的取值范围是（ 度为hcm，则 16cm7cmhh16cm D17cm h Bh8cm C15cmA ）BC的长为（ AD=12,、ABC中，AB=13,AC=15，高则6 8或4 C. 8 D. 4和A. 14 B. 14222BCACAB +）中，、ABCC=90，若AB5，则=（+7 10 A ）8、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长（ 12312

24、1 C、132 D、120 B1 A、22 ）则此三角形是（ 9、一个三角形的三边分别是m+1,2m,m-1, D. 等腰三角形A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 ）3、已知一个Rt的两边长分别为和4，则第三边长的平方是（ 10 257 CD7或 A25 B14 二、解答题 1、如图（8），水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，求水池的深度AC. 1，那么DEFAB是上一点，且是直角三角形吗？ABCD，正方形中，E是BC边上的中点，F2、如图3AB?FB4 为什么？ 边上的点D折叠使点恰好落在BCADE，上取一点

25、在边中已知长方形4、3如图，ABCDAB=8cm,BC=10cm,CDE将 CEF。求的长；求折痕AEF的长和重叠部分AE的面积 4、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 23,PC=4,求ABC的边长.是等边三角形5、如图，PABC内一点，PA=2,PB= 6、变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45， 222EF、BE、CF . 试探究间的关系，并说明理由 边上B恰好落在CD，BC=6cmE为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点的边7、如图

26、，矩形纸片ABCDAB=10cm， 的长.的点G处，求BE 求BC=4,C沿直线AD翻折，点落在点C的位置，ADCADC=45ABCAD8、变式：如图，是的中线，把 BC的长. 处，它发现在自己的正上方油罐4米的油罐的下底边沿A2119，壁虎在一座底面半径为米，高为9、如右图处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿上边缘的B一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬 1位小数，可以用计算器计算）行多少路程才能捕到害虫?（取，结果保留 ，假设一只蚂蚁每秒1cm3cm的正方体，把所有面都分为9个小正

27、方形，其边长都是、变式：如图为一棱长为10 A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？2cm爬行，则它从下地面 . :11.已知如图13,ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高 87东A位于他的南处，他想把他的马牵到小km12.如下图，一个牧童在小河的南4km的处牧马，而他的小屋km 河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 小河 北 A 牧童 东 小屋B 22上任意一点，求证：ABC13 、如图，在中，AB=AC,P为BCPC?PB?AP?AB A C B P DF2 =，是E中，、在正方形14ABCDAD的三等分点，EF与BE垂直吗？请说明理由。

28、7FC 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为BC=6m,AC=8m,15 备用）8m分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。（图2，图3 、请阅读下列材料：16的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画个边长为1问题：现有5 出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形2，解得x=5（x0），依题意，割补前后图形的面积相等，有 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x 5画出如图所示的分割线，于是，x= 由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长，。

29、拼出如图所示的新正方形 请你参考小东同学的做法，解决如下问题：的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图中画出110现有个边长为（说明：）中用实线画出拼接成的新正方形分割线，并在图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1 ）直接画出图形，不要求写分析过程 。AB=9为折痕。若，BC=3,CABCD17、如图，把长方形纸片折叠，使顶点A与顶点重合在一起，EF 的长2（）求EF BF1（）求的长 的长度MN ，AC=12，BC=5，AN=AC，BM=BC，求18、如图ABC中，ACB=90 的长DAE=45，且BD=3，CE=4，求DEBAC=9019、如图所示，在RtABC中，AC=AB， 222BCAPBP?CMAM?90?C?ABMP? 求证：于，、如图，已知：20P ， 、探索与研究21ACFD所以BAE=90，且四边形）如图：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90所得，1（方法根BFE的面积之和RtRt面积相等，是一个正方形，它的面积和四边形ABFE而四边形ABFE面积等于BAE和 据图示写出证明勾股定理的过程； 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定ACDRtBEARt2（方法）