数学物理教学PPT波动方程

1、数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 第二章第二章 波动方程波动方程 1 方程的导出及其定解条件方程的导出及其定解条件 2 一维波动方程的初值问题一维波动方程的初值问题 3 半无界弦的自由振动问题半无界弦的自由振动问题 4 高维波动方程的初值问题高维波动方程的初值问题 5 混合问题的分离变量法混合问题的分离变量法 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 一、弦的一、弦的自由自由振动方程的建立振动方程的建立 问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。 1、方程的导出及其定解条件、方程的导出及其定解条件 分析与假设： 1)柔

2、软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。 4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即 1 u x 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 cos1cos1 gds m m ds x t y xdx x t 用微元法及牛顿运动定律推导： 0 sinsinttgdsf dsma 横向： coscostt 纵向： ( , ) sintan (d , ) sintan u x t x u xx t x 其中： 2 2 ( , ) mds u x t a t

3、 得： ttx，与 位置无关 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 0 (d , )( , )u xx tu x t tgdsf dsma xx 2 0 2 (d , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x t tg xf dxx xxt 2 2 (d , )( , )( , )( , ) dd u xx tu x tu x tu x t xx xxxxx 22 0 22 ( , )( , ) dd ux tu x t tgfxx xt 其中： ddsx 由： t 常数 得：弦线无伸长，t不随时间变化，即 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动

4、方程 22 0 22 ( , )( , ) dd ux tu x t tgfxx xt 22 0 22 ( , )( , )ftux tu x t g xt 22 2 22 uu agf tx 一维弦振动方程或 一维波动方程 2 0 , ft af 令： -非齐次方程非齐次方程 自由项 22 2 22 uu a tx -齐次方程齐次方程 忽略重力和外力作用： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 若在平面上放一个框架，其上一块均匀的紧张的薄膜， 离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，则用类似 的方法可导出其运动规律满足 222 2 222 ( , , ) uuu af

5、x y t txy 2222 2 2222 ( , , , ) uuuu af x y z t txyz 称为二维波动方程或膜振动方程 其中： u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在 (x,y) 点处的位移 f (x,y,t)表示单位质量所受的外力 a2=t/ ： t表示张力、 为线密度 对三维波动方程或声波方程可写出为 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 1、初始条件及柯西问题、初始条件及柯西问题 22 2 22 ,0 ( ,0)( ), ( ,0)( ), t uu axt tx u xx x u xx 边界条件是弦在两个端点的状态或受到的约束情况，一般有 三种 2、边

6、界条件及边值问题、边界条件及边值问题 其中函数 分别表示弦振动的初始位置和初始速度 ),( )xx（ 二、定解条件二、定解条件 主要有初始条件和边界条件 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 12 (0, )( ),( , )( )utg tu l tg t 第一类边界条件：已知端点处弦的位移（运动规律） sin( )(0) x ax a u ttg t aal x 即或 第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力， 11 22 (0, )(0, )( ) ( , )( , )( ) x x tututg t tu l tu l tg t 即： 第三类边界条件：已知具

7、有弹性支承的端点处弦的位移和 所受的垂直于弦线的外力 ( )0 i t 当g时，表示该端点处弦是固定的 ( )0t 当g时，表示弦在该端点处可自由滑动 0( )(0) x ax a uu g t aal xx 具体为：或或 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 式中 分别代表两端支撑的弹性系数， 表示两端受到的外 力,当外力为零时，表明弦固结在弹性支承上，有： )0(0,) i x a u uaal xt （或 i g i 3、混合、混合问题问题 22 2 22 ,0,0 (0, )( , )0,0 ( ,0), 0 ( ,0)( ), t uu axl t tx utu l

8、 tt u x xl u xx （x) 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 xx t xu xxu tx x u a t u ),( )0 ,( ),()0 ,( 0, 2 2 2 2 2 22 ()0 dx a dt 0 2 uu ( ) u f )()( 21 ffu atx atx 2、一维波动方程的初值问题一维波动方程的初值问题 其特征方程为： 222 ()()0dxa dtdxadt dxadt即： 得特征曲线： 12 ,xatc xatc 作变换： 代入原方程可化为： 从而： 一、达朗贝尔公式 无界弦的自 由振动问题： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动

9、方程波动方程 )()( 21 atxfatxfu )()()()0 ,( 21 xxfxfxu )()()( )0 ,( 21 xxf axf a t xu c a xfxf x 0 21 d)( 1 )()( 2 d)( 2 1 )( 2 1 )( 0 1 c a xxf x 2 d)( 2 1 )( 2 1 )( 0 2 c a xxf x 2 d)( 2 1 )( 2 1 2 d)( 2 1 )( 2 1 00 c a atx c a atxu atxatx 11 ()()( )d 22 x at x at uxatxat a 一维波动方程的达朗贝尔公式 代回原变量： 利用初始条件： 积

10、分得： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 22 2|,| , 0 00 2 x tt x t xxtt axeueu xuau atx atx s a atxatx dsaseeexu 222 2)( 2 1 )()( 2 1 解：将初始条件代入达朗贝尔公式 atx atx satxatx dseee 2 2 1 )()( 2 1 222 atx atx satxatx eee 222 2 1 )()( 2 1 2 )(atx e 例1：解定解问题 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 例2、 求解cauchy问题 222 22 2 230 ( ,0)3

11、,( ,0)0 y uuu xx yy u xx ux 解：原方程的特征方程为 22 (d )2d d3(d )0yx yx (d3d )(dd )0yxyx 1 2 3xyc xyc 令： 3xy xy 2 0 u 12 ( , )( )( )uff 12 ( , )(3)()u x yfxyfxy 故两特征 线是： 原方程化为： 其通解为： 带回原变量得： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 利用初值条件得： 2 12 (3 )( )3fxfxx 12 (3 )( )0fxfx 12 1 (3 )( ) 3 fxfxc 22 1121 93 (3 ),( ) 44 fx

12、xcfxxc 22 1122 13 ( ),( ) 44 f xxcfxxc 2222 13 ( , )(3)()3 44 u x yxyxyxy 积分得： 联立求解得： 即： 带回u得： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 结论：达朗贝尔解表示结论：达朗贝尔解表示 沿沿x 轴正、反向传播的轴正、反向传播的 两列波速为两列波速为 a 波的叠波的叠加加， 故称为行波法。故称为行波法。 代表以速度a 沿x 轴 正向传播的波，称为正行波 代表以速度a 沿x 轴 负向传播的波，称为反行波 2(

13、)fxat 1( )f xat 二、 解的物理意义 )()( 21 atxfatxfu 1 t 2 t 1 f 2 f 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 1 x x 2 x t 2+ xxat 影响区域 1- xx at x 1 xxat t 1 x 决定区域 2 x 2 xxat x xatxat 依赖区间 t ( , )p x t xatc特征线 特征变换 行波法又叫特征线法 atx atx 几个相关概念 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 一点的影响区域 数学

14、物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 22 2 22 ( , ),0 ( ,0) ( ,0)( ),( ), uu af x txt tx u x u xxxx t 三、非齐次问题的处理 22 2 11 22 1 1 ,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ), uu axt tx u x u xxxx t 22 2 22 22 2 2 ( , ),0 ( ,0) ( ,0)0,0, uu af x txt tx ux uxx t 利用叠加原理将问题进行分解： 12 uuu 1 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 数学物理方程数

15、学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 22 2 22 , ( , ) ( , )0,( , ), axt tx x xf xx t 齐次化原理：若 是满足下述定解问题的解： 则： 对u2可利用齐次化原理求解 2 0 ( , )( , , )d t ux tx t 是下述定解问题的解 22 2 22 22 2 2 ( , ),0 ( ,0) ( ,0)0,0, uu af x txt tx ux uxx t 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 1 1 () 1 () 11 ( , )( , , )( , )d( , )d 22 x atx a t x atx a t x

16、tx tff aa () 2 00() 1 ( , )( , , )d( , )d d 2 ttx a t x a t ux tx tf a 从而原问题的解为 () 0() 11 ( , )()()( )d 22 1 ( , )d d 2 x at x at tx a t x a t u x txatxat a f a 22 2 1 22 1 1 ,0 ( ,0) ( ,0)0,( , ), axt tx x xf xx t 令：1tt 为求解定解问题化为： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 3、半无界弦的自由振动问题半无界弦的自由振动问题 一、一端固定 定解问题为 22

17、 2 22 ,0 (0, )0,0 ( ,0), 0 ( ,0)( ), t uu ax tx utt u xx x u xx （ 11 (0, )()()( )d0 22 at at utatat a ()()0,( )0 at at atatd ( ),0( ),0 1(),01(),0 , x xx x x xx x 将边界条件代入达朗贝尔公式，得 由初速度和初始位移的独立性，得 故两函数应为奇函数，可作奇延拓如下 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 22 2 22 11 ,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ), uu axt tx u x u xxxx t 11

18、1 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题 1 111 00 0000 0()() ( ) ()( ) x atx atx at x at x atx atx atat xx at at x x xattxatatx a ddd ddddd 即： 有 由达朗贝尔公式得 11 ()()( ), 22 11 ()()( ), 22 ( , ) x at x at x at at x x x atx att aa x x atat xt aa u x t d d 所以得解： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章

19、 波动方程波动方程 二、一端自由 定解问题为 22 2 22 ,0 (0, )0,0 ( ,0), 0 ( ,0)( ), x t uu ax tx utt u xx x u xx （ 11 (0, )()()()()0 22 x utatatatat a ()()0,()()0atatatat ( ),0( ),0 2(),01(),0 , x xx x x xx x 类似的，将边界条件代入达朗贝尔公式，得 由初速度和初始位移的独立性，得 故两函数应为偶函数，可作偶延拓如下 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 22 2 22 22 ,0 ( ,0) ( ,0)( ),(

20、), uu axt tx u x u xxxx t 111 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat a 于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题 1 111 00 0000 0()() ( ) () x atx atx at x at x atx atx atat x x xattxatatx a ddd dddd 即： 有： （ ）（ ） 由达朗贝尔公式得 00 11 ()()( ), 22 11 ()()( )( ), 22 ( , ) x at x at x atat x x x atx att aa x x atat xdt aa u x t

21、 （ d d 所以得解： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 4 高维波动方程的初值问题 一、三维波动方程的球平均法 ( , )( )( )d 22 x atx at x atx at tt u x td tatat 2222 2 32222 3 , , ,0 ( ,0)( ), , , ( ,0)( ), t uuuu a px y zr ttxyz u pp px y zr u pp 考虑柯西问题 改写一维达朗贝尔公式 上两式恰是两函数在以x为中心，以at为半径的区域 上的算术平均值。 11 ( , )()()( )d 22 x at x at u x txatxat

22、a 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 在以p为中心，以at为半径的球面上作初始函数 和 的平均值，分别为： 2 22 2 11 , , , 44 atat pp ss dsds a ta t 和 2 22 2 ( , )( , , , ), , , 44 , , ,11 44 atat pp atat pp ss ss tt u p tu x y z tdsds ta ta t dsds a trar 于是问题的形式解就应该是： 其中s代表以p为中心，以r=at为半径的球面，上式称为三维 波动方程柯西问题的泊松公式，此法也称为球面平均法 p r 数学物理方程数学物理方程第

23、二章第二章 波动方程波动方程 为计算方便，可将公式化为球坐标下的累次积分，球面的方程为 2 ()xyzat 222 ( - ) +( - ) +( - ) 设m为球面上的点，则有 2 2 sincos sinsin cos sin xat yat zat dsa td d p r 2 22 2 22 2 22 2 2 22 2 0000 0 ( , , , ), , , 44 , ,sin( , , )sin 44 sincos ,sincos ,cossin 4 atat pp ss tt u x y z tdsds ta ta t tt a td da td d ta ta t t xat

24、yatzatd d t （） （） 2 0 2 00 sincos ,sincos ,cossin 4 t xatyatzatd d （） 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 2 00 22 22 0000 2 2 00 ( , , , )(sincossincoscossin 4 1 = ()sin(sincos )sin 4 sincos t u x y z txyzatd d t t xyzddatdd t atddxyz ） ,0 xyz解：将初始条件代入泊松公式得 2222 2 2222 0 0 , ,0 , 0, t tt uuuu a x y zttxyz u

25、xyz u 例：求解三维波动方程 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 二、二维波动方程的求解-降维法 二维波动方程的初始问题 222 22 222 2 ,( , ),0 ( , ,0)( , ), ( , ) ( , ,0)( , ), t uuu ax yr t txy u x yx y x yr u x yx y 2222 23 1111 2222 1 3 1, ,( , , ),0 ( , , ,0)( , ), ( , , ) ( , , ,0)( , ), t uuuu ax y zr t txyz u x y zx y x y zr ux y zx y 其解u(

26、x,y,t)可看成是三维柯西问题解u(x,y,z,t)与z无关的量 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 1 22 111 ( , , , ), 44 atat pp ss u x y z tdsds at ta t 由三维公式得 222 ( )()() at dsd atxy 由于初始函数是与z无关的柱函数，故在球面上 的积分可化为球面在z=0平面上投影区域上的积分 222 :()()() p at xyat cosdds 222 ()()() cos atxy at 由球面上的面积元素和其投影元素的关系 及两面积元素法线方向的夹角余玄 得： p r 数学物理方程数学物理方

27、程第二章第二章 波动方程波动方程 将上下球面上的曲面积分都化为同一圆域上的二重积分， 得二维齐次波动方程柯西问题的poisson公式 222 222 ,1 ( , , ) 2 ( )()() ,1 2 ( )()() p at p at u x y td d a t atxy d d a atxy 2 2200 2 2200 1(cos ,sin ) ( , , ) 2 ( ) 1(cos ,sin ) 2 ( ) at at x ry r u x y trdrd a t atr x ry r rdrd a atr 使用时，可将其化 为极坐标 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动

28、方程 依赖区域与影响区域 依赖区域 影响区域 三、poisson公式的物理意义 1、三维 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 huygens原理无后效原理 对于空间任一点p 只有当 t=d/a 时，点p才受到影响 当 td/a 时，扰动在p点的影响已消失 点扰动 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 d0 p dmin dmax 当 t dmin/a 时，扰动尚未到达p点 当 dmin/a t dmax/a 时，扰动在p点的影响消失 当初始扰动限制在一个有 界区域d0时，三维波有清 晰的前阵面和后阵面，这 个现象称为huygens原 理无后效原理 扰动后恢

29、复原状 未扰动区域 d0 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥 依赖区域 影响区域 2、二维情况 2 22 000 () ,k xxa tttt： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 波的弥散现象: 对于空间任一点p 当 t dmin/a 时，扰动影响p点并永 不消失 d0 p dmin 未扰动区域 d0 当初始扰动限制在一个有界 区域d0时，二维波有清晰的 前阵面，而无后阵面，此时 huygens原理不成立，这种 现象称为波的弥散现象 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 5 混合问题的分离变量法混

30、合问题的分离变量法 22 2 22 ,0,0 (0, )0,( , )0,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ),0 uu axl t tx utu l tt u x u xxxxl t 对两端固定的弦自由振动问题 对上述有界区域上求解偏微分方程定解问题的基 本方法是分离变量法, 理论基础是富里叶级数展开和 叠加原理. 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 一 预备知识 1、富里叶展开 在适当条件下,一个函数可以按泰勒展开成为幂级 数,也可以按富里叶展开成为三角级数. 设f(x)是以2l为周期的函数，在-l，l上满足狄利 克莱条件，则可在-l，l上展开成富里叶三角级数. 0

31、 1 ( )(cossin) 2 nn n ann f xaxbx ll 1 ( )cos,0,1,2, d l n l n afn ll 其中 1 ( )sin,1,2, bd l n l n fn ll 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 0 2 ( )cos,0,1,2, d l n n afn ll 其中 0 2 ( )sin,1,2, bd l n n fn ll 其中： 1 ( )sin n n n f xbx l 特别，当f(x)是偶函数时， 当f(x)是奇函数时， 0 1 ( )cos 2 n n an f xax l 数学物理方程数学物理方程第二章第二章

32、波动方程波动方程 2、二阶常系数常微分方程的通解 2 2 12 0 0 1 (4) 2 aybycy abc bbac a 对方程： 特征方程为： 特征根： ， 由根的取值可得相应的解为 ： 12 12 12 12 () (cossin) xx x x c ec e cc x e iecxcx 12 12 12 1)当，且为实数时：y 2)当，且为实数时：y 3)当 ，=时:y 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 令( , )( ) ( )u x tx x t t 带入方程： 2 ( ) ( )( ) ( )x x tta xx t t 2 ( )( ) ( )( ) xx

33、tt x xa t t 令 2 ( )( )0( )( )0xxx xtta t t 带入边界条件(0) ( )0,( ) ( )0xt tx l t t (0)0,( )0xx l 22 2 22 ,0,0 (0, )0,( , )0,0 ( ,0) ( ,0)( ),( ),0 uu axl t tx utu l tt u x u xxxxl t 考虑两端固定的弦自由振动问题 二、定解问题的求解 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 ( )( )0(0)0,( )0xxx xxx l 特征（固有）值问题： 分情况讨论： 01） ( ) xx x xaebe 0 0 ll

34、ab aebe 00abx 02）( )x xaxb00abx ( )cossinx xaxbx 0 sin0 a bl 03） 令 ， 为非零实数 2 (1,2,3,) n n l 22 2 (1,2,3,) n n n l 22 2 n l ( )sin(1,2,3,) nn n xxbxn l 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 222 2 ( )( )0 nn a n ttt t l ( ) cos sin(1,2,3,) nnn n atn at t tcdn ll ( , )(cossin)sin(1,2,3,) nnn n an an ux tctdtxn l

35、ll 1 1 ( , )( , ) (cossin)sin(1,2,3,) n n nn n u x tux t n an an ctdtxn lll 2 ( )( )0 ( )( )0 xxx x tta t t 22 2 (1,2,3,) n n n l ( )sin(1,2,3,) nn n xxbxn l 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 0 1 ( , )( ,0)sin( ) n t n n u x tu xcxx l 1 0 ( , ) sin( ) n n t u x tn an dxx tll l n xx l n x an d 0 dsin)( 2 l

36、 n xx l n x l c 0 dsin)( 2 由初始条件 ： 相当于函数按奇函数展开，可得系数为： 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 )()(),(ttxxtxu 2/ln n x l n bxx nn sin)( t l an dt l an ct nnn sincos 1 sin)sincos( n nn x l n t l an dt l an c 11n nn n n txuu l n xx l n x an d 0 dsin)( 2 l n xx l n x l c 0 dsin)( 2 0 xx0 2 tat 分离变量 求特征值和特征函数 求另一个函数

37、 求通解 确定常数 lxx t xu xxu ttlutu tlx x u a t u 0),( )0 ,( ),()0 ,( 0, 0),(, 0), 0( 0,0, 2 2 2 2 2 解法小结 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 三、 解的物理意义 x=x0时： ( , )(cossin)sin nnn n an an ux tctdtx lll 其中： 22 arctan n nnnnn n cn a acd ld 00 (, )sinsin()sin() nnnnnnn n ux taxtat l sin()sin nnn n atx l 驻波法 l t=t0时： ,(0,1,2,) m ml xmn n 00 ( , )sin()sinsin nnnnn