定量订货模型

1、 定量订货模型定量订货模型 思想：思想：是确定特定的一个点r，当库存水平到达 这一点时，就应当进行定购且该订单的数量为q。 （订购点r往往是一个既定的数） 库存水平：库存水平：(inventory position) 可定义为目前库存量加上已订购量减去延期 交货量。 模型假设特征 n产品的需求是固定的，且在整个时期内保持一致。 n提前期（从订购到收到货物的时间）是固定的。 n单位产品的价格是固定的。 n库存持有成本以平均库存为计算依据。 n订购或生产准备成本固定。 n对产品的所有需求都必须满足（不允许延期交货） 基本的定量订货模型基本的定量订货模型 q-模型 qqqq r 持有库存 lll 函

2、数关系式 年总成本年总成本= =年采购成本年采购成本+ +年订购成本年订购成本+ +年持有成本年持有成本 tc=dc+(d/q)s+(q/2)htc=dc+(d/q)s+(q/2)h (1-1) 式中：tc年总成本 d需求量（每年） q订购批量最佳订购批量称为经济订购批量 (economic order quantity) eoqeoq或q qoptopt s生产准备成本或订购成本 r再订购点 l提前期 h平均库存水平下，单位产品的持有和存储成本 图图13-313-3基于定购量的年产品成本基于定购量的年产品成本 qopt 定购批量（q) tc qh/2 dc ds/q 成本 确定订购批量qop

3、t，使总成本最小 在上图中，总成本最小点出现在使曲线斜率为零的地方。利用微 积分我们将总成本对q求导数，并令其等于零。 计算：计算： tc=dc+(d/q)s+(q/2)htc=dc+(d/q)s+(q/2)h dtc/dq=0+(-ds/ )+h/2=0 qopt= (1-2) 因为该模型假定需求和提前期都不变，即无需安全库存，则再 订购点r可简单表示为： r= lr= l （1-3） 式中： 日平均需求量（常数） l l 用天表示的提前期（常数） h ds2 2 q d d 例1经济订购批量与再订购点 题题：求经济订购批量和再订购点， 已知： 年需求量（d）=1000单位 日平均需求量（d

4、）=1000/365 订购成本 (s）=5美元/次 持有成本（h）=1.25美元/单位.年 提前期（l）=5天 单价（c）=12.50美元 问问：该订购多少批量？ 解解： 最优订购批量为： qopt= = = =89.4单位 再订购点为： r= l=1000(5)/365=13.7单位 通过取近似数，可指定如下库存政策：当库存水平降至 14单位，则应再订购89单位的产品。 年总成本为： tc=dc+(d/q)s+(q/2)htc=dc+(d/q)s+(q/2)h =1000(12.50)+1000(5)/89+89(1.25)/21000(12.50)+1000(5)/89+89(1.25)/

5、2 =12611.81 =12611.81美元美元 2ds/h .252(1000)5/1 8000 d 建立安全库存水平 安全库存（安全库存（safety stock).safety stock). 可定义为超出预期需求之外的附加库存。 确定标准：确定标准： 一：简单规定该存储几周的供应量作为安全库存。 二：使用一种能跟踪需求的变化幅度的方法。 如：概率方法 使用安全库存的定量订货模型 定量订货系统对库存水平进行连续监控，且当 库存量将至一定水平r时，就进行新的采购。在 该模型中，缺货的风险只发生在订购提前期中， 即在订购的时刻与收到货物的时间之间。 对于定量订购模型，需求量确定与不确定的主

6、 要区别在于再订购点的计算，对于这两种情况 的订购批量是相同的。求解安全库存适应考虑 需求不确定的因素。 再订购点的计算公式为： r= l+zl (1-4) 式中：r以单位产品记的再订购点 日平均需求量 l 以天计的提前期（下达订单与收到货 物之间的时段） z某服务水平之下的标准差个数 l提前期中使用量的标准差 zl为安全库存量 注意：如果安全库存量为正，则在订购的时间应当提前。 r的值扣除安全库存量就是提前期内的平均需求量。 如果订货提前期期间的使用量为20单位，计算出的安全库存量为5单位， 那么就应在库存剩余5单位时发出订单。 d d 计算 、l和z 订货提前期内的需求量只是从发出订单到货

7、物接收之间库 存用量的一个估计值或预测值。他可能是一个简单的数， 或者是提前期内每天预期需求量的总和。 计算日需求量： = (n为天数） (1-5) 日需求量的标准差： d= (1-6) d n d n 1i i n )dd( n 1i i d指的是一天的标准差，如果提前期为若干天，可以利用统计学： 即一系列独立事件的标准差等于各方差之和的平方根。 所以普遍公式为： = (1-7) 例如：我们计算日需求标准差为10单位，且提前期为5天，因为 每天都可以看作是独立的，所以5天的标准差为： l= =22.36 接下来，我们求z，也即安全库存的标准差的倍数。 可以由概率方法依据不缺货概率查表得数值。

8、 如：概率为95%对应z值为1.64 s 2 i 2 2 2 1 )10(5 2 安全库存计算： ss=zl 以前述为例，有： ss=zl =1.6422.36 =36.67 例2经济订购批量 题：题：考察一个经济订购批量的案例。 已知年需求量d=1000单位， 经济订购批量q=200单位， 不出现缺货的期望概率p=0.95. 提前期内需求的标准差l=25单位， 提前期l=15天， 求求 ： 再订购点。 假设需求在工作日发生，而该年度工作日为250天。 解：解： 本例中， =1000/250=4，提前期为15天， 利用公式可得：r= l+zl =4(15)+z(25) 本例中，z的值等于1.6

9、4 解此关于r值的式子，得： r=4（15）+1.64（25） =60+41 =101单位 这就是说，当库存降至101单位时，就应再订购200 单位 d d 例3订购量与再订购点 题：题： 某产品的日需求量服从均值为60，标准差 为7的正态分布。供应来源可靠，提前期固 定为6天，订购成本为10美元，年持有成本 为每单位0.50美元。不计短缺成本，订货时 的订单将在库存补充之后得到满足。 假设销售全年365天都发生。 求：求：提前期内能满足有95%的概率，不出现 缺货的订购量与再订购点 。 解： 本题中，我们需要计算出订购批量q和再订购点r。 已知： =60 s=10美元 d=7 h=0.50美

10、元 d=60(365) l=6 则最优订购批量为： qopt = = =936单位 d 2ds/h 50.0 )10(365)60(2 为了求出再订购点，要先求出提前期内的使用量， 然后再与安全库存相加。 6天的提前期内的需求标准差可以根据每天的需求 方差来求得，因为每天的需求是独立的， 所以： l= = =17.5 和刚才一样，z等于1.64 有：r= l+z l =60（6）+1.64（17.15） =388单位 上面这两个例子的区别是： 例2种需求变化是用整个提前期内的标准差来表示 例3中则以每日的标准差来表示 l 1i 2 d i 2 )7(6 d 定期订货模型 n特点： 只在特定时间

11、进行盘点（如每周一次或每月一 次）； 每期定购量不尽相同，大小取决于各时期库存 使用率； 安全库存应保证在盘点期内和从发出定单到收 到货物的提前期内都不发生缺货。 使用安全期库存的定期订货模型 订购订购订购 l t l t l t 缺货 持有库存量 安全库存 时间 订购量订购量=此空缺期内的此空缺期内的平均需求量平均需求量+安全库存安全库存-现有库存现有库存（如果有的话，还要（如果有的话，还要 加上已订购量）加上已订购量） 使用安全期库存的定期订货模型 q订购量 t两次盘点的间隔天数 l提前期的天数（下订单与收到货物之间的时段） 预测的日平均需求量 盘点周期与提前期期间需求的标准差 i现有库存

12、水平（包括已订购而尚未到达的） 注：需求量、提前期、盘点期等可以使用日、周、年等任意时间单 位， 只要整个公式中单位一致就行。 需求量可采用预测值，或年度平均值，服从正态分布。 z值取决于缺货发生概率。 d lt 订购量订购量=此空缺期内的此空缺期内的平均需求量平均需求量+安全库存安全库存-现有库存现有库存（如果有的话，还要（如果有的话，还要 加上已订购量）加上已订购量） 例:订购量 某一产品 n日需求量为10单位 n标准差为3单位 n盘点周期为30天 n提前期为14天 n管理部门已经制定的需求政策时要满足98%地对库存 物品的需求 n在盘点周期开始时，库存中有150单位产品。 求订购 量。

13、例:订购量 解：d=10 =3 t=30 l=14 p=0.98 i=150 因为每日的需求是独立的，且 是固定的，所以， 对应于p=0.98的z值为2.05。 d 150z)4030(10 z)lt(dq lt dlt lt 1i 2 i dlt 90.19 2 ) 3)(1430( 2 d )lt( lt d 因此，订购量为： 例:订购量 所以，要满足98%的不出现缺货的概率,应当在该盘点期订 购331单位产品. 单位331150z)4030(10 z)lt(dq lt dlt 专用模型 n定量订购模型与定期订购模型假设条件的相同点: （1）单价为常数,与订购量无关; （2）在订购过程连续

14、。 n两个新模型 （1）单价随订购批量变化时对订购量的影响； （2）单周期存储模型（静态模型） 边际分析。 1批量折扣模型（price-break model） n使用条件：产品售价随批量大小发生变化，售价变化 是离散或阶跃的，非连续。 如： 螺钉199只 2美分/只 每100只 1.6美元 每1000只 13.5美元 n求不同价格水平下相应的经济订购量和在价格变化点 上的经济订购批量，不一定可行。 1批量折扣模型（price-break model） n求解原则： 将每个可行的经济订购量的总成本和相应的批量折扣订货量列 成表格，能使总成本最小的订购量q就是最优订货量。若持有 成本根据单价百分

15、比确定，则不必计算每个价格水平下的经济 订购量 n求解步骤： （1）求出最大的订购量q（相应于最低的单价），如果q可行， 则它就是答案。 （2）若q不可行，计算次大的订购量q（相应于第二个最低价 格）。若可行，则把相应与q的成本同相应于比q大的价格变 化临界点的成本进行比较，根据成本最小原则确定最优订购量。 例：折扣问题 n考虑这样一个案例，有关数据如下： d10000件（年需求量） s20美元（每次订购成本） i20%（年持有成本占单价的20%，包括存储、 利息以及过时成本） c单位成本（依订购批量而定。批量为0499 件，每件5美元；500999件，每件4.5美元； 1000件以上，每件3

16、.90美元） 最有订购量为多少？ 例：折扣问题 可用定量订货基本模型求解，适用以下公式： tc=dc+(d/q)s+(q/2)ic 结果如下： 当c=3.9美元时，q=716，不可行； 当c=4.5美元时，q=666，可行， 总成本=45599.7美元； 当q=1000时，总成本=39590美元，所以是最优解。 ic ds2 q 例：折扣问题 c=5美元时 q=633 c=4.5美元时 q=666 c=3.9美元时 q=716 价格变化临界点 持有成本 （q/2）ic （666/2） *0.20*4.50 =299.70美元 （ 1000/2)*0.20*3.9 0=390美元 订购成本 （d

17、/q）s 不可行10000*20/666= 300美元 不可行10000*20/1000= 200美元 持有+订购成本599.70美元590美元 货品成本 dc 10000（4.50)10000（3.90) 总成本45599.70美元39590美元 2单周期存储模型 单周期存储问题决策仅涉及一个需求周期， 或者物资只在很短的时间内能够销售而且有经常的 中断。 求解方法边际分析 当订购量再增加一件时，订购该件物资产生的收 益会小于因订购带来的成本。 比较持有成本与缺货成本，或者比较边际收益与 边际损失。 2单周期存储模型 存货直接用于销售时，存储数量应满足： 销售最后一件所得的收益大于或等于最后

18、一件未 被售出时所带来的损失: mpml mp第n件产品售出时所带来的收益； ml第n件产品未售出时所带来的损失。 2单周期存储模型 引入概率p后 p(mp)(1-p)ml p该件产品售出的概率 1-p该件产品未售出的概率 解得：p ml/(mp+ml) 表明，应该不断增加存储量，直至增加的最后一件 的售出概率等于或大于 ml/(mp+ml)。 例：含残值的问题 某产品售价为100美元，成本为常数，每件70美元。未售 出产品每件残值为20美元。未来一段时间的需求量预计在 35至40件之间，35件肯定能出售，40件以上一定卖不出去， 需求概率以及相关的累积概率分布(p)在表中给出。 每件产品的边际收益等于售价减去成本， 即mp=100-70=30美元 如果产品未售出，边际损失等于单位成本减去残值， 即ml=70-20=50美元 试问应该订购多少件？ 例：含残值的问题 需求单位数此需求的概率产品序号售出概率 350