线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结

1、特殊行列式及行列式计算方法总结 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材 P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 0 0 川 0 a1n a11 a12 III a1n 川 0 III 0 a1n 0 0 a2,n a2n J a21 a22 III 0 + + p h d q i F h 0 III a2,n 0 + + r + f n f 0 0 0 + r 0 an,2 川 an _d,n A an _J,n + ann 0 0 0 an1 III 0 0 an1 an2 川 an,n_1 ann n（n） =（-1） 2 Sn92,n JHanl 3. 分块

2、行列式（教材P14例10） 一般化结果： Cn m m n 0n m Bm 0nm A Cn A Bm Cm坏 Bm 0m亦 Bm Cm n 十1严A Bm 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ !！ 二、低阶行列式计算 二阶、三阶行列式一一对角线法则（教材P2、P3） 三、高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1）利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2）利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式; 3）利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元

3、素，并且非零元素的代数 余子式很容易计算; 4）递推法或数学归纳法; 5）升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1（ 2001年考研题） 1999 2000 III III III III III 2001 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素, 因此很容易联想到直接利用行 学习参考 列式定义进行计算。 0 1 2 . 1999 0 2 001! = 2001! 解法一：定义法 D =(-1) z,n2. ,2,1,n)2001! =(-1) 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,2,1行交换（这里n

4、=2001）,即 进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 D =(-1严 1999 2000 III III III 2001 2001 (2001) =(一 1)2001(_ 1) 22001! = 2001! III III 解法三：分块法 III III 1999 2000 0 0 0 III 0 0 2001 III III 利用分块行列式的结果可以得到 0 0 0 0 III III 0 2 1 0 2000(2000-1) D=2001 + + + R i R b + + F b F =2001 (-1) 2 2000!=2001! 0 1999 III 0 0 2000 0

5、III 0 0 解法四：降阶定理展开 按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。 2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例2 1 a 1 1 1 1 1a 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 -b 分析：该行列式的特点是 很多, 可以通过口-心和r3-r4来将行列式中的很多1 化成0. 解: a a 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 I 1 1 -a 1 1 1 1-a 1 1 2-A 0 -a 1 1 =ab =ab 0 0 b b 0 0 1 1 4 0 0 1 1 1 1 1 1 -b 1 1 1 1 -b 0 0 1 1-b| D 二 1 1 0 0

6、 0 -a 0 0 0 1 1 0 0 1 1 -b 2b2 3 a 3 a2 3 a3 afa afb2 afbs a：b4 a2b22 蟲 a4bf 分析：该类行列式特点是每行 b3 b： ，（盯 0） a的次数递减，b的次数增加 特点与范德蒙行列 式相似，因此可以利用行列式的性质将 D化成范德蒙行列式 解: 33 3 3 二 a a?a3a4 (5 已2 （与 a1 a1 a1 （蜀 (蜀2 （E）3 a2 a2 a2 隹） （与 世）3 a3 a3 a3 （虫） 凸2 (笛3 a4 a4 a4 a b3 2) a2a3 a4 1 1 1 1 V(2 f 33 3 3 u = a a?

7、a3 a4 33 3 3- -a1 a2a3a4 T 丨 1勺：卫ai 练习：（11-12年IT专业期末考试题） 若实数x, y, z各不相等，则矩阵M二 的行列式M二 3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 Dn 二 a IH 0 0 IH IH IH IH 0 0 HI a 0 分析：该行列式特点是a处于主对角线, b在a后的一个位置，最后一行中b是 第一个元素，a是最后一个元素 解：按第一列展开: a b 0 III III 0 0 b 0 a b 0 0 1十 Dn =a (_1) III III + (-1)曲 b a b h 0 0 0 III I

8、II a b 44 a b 0 0 0 0 a =a 尹+(-1) n +. b 宀 an + (T) n + bn 练习：（11-12年期中考试题） Dn 4. 行（列）和相等的行列式 Dn = III III III 分析：该行列式的特点是主对角线上元素为 a，其余位置上都是 b。可将第2,3, n列加到第1列上。（类似题型: 教材 P12例 8, P27 8(2) 1 2 0 川 0 分析：该类行列式特点是第一行、 第一列及主对角上元素不为 0, 其余位置都为 解: 1 b III b 1 b III b 1 a 川b 1 a -b in 0 + 1 I- + + + + +4 +4 =

9、 a+( n-1)b 4 q 1 b 川a 1 0 HI a b Dn 可a (n-1)b 二a (n -1)b(a -b)n 5. 箭头形（爪行）行列式 III 川 川 IH III 0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。 解：分别从第2,3，,n列提出因子2,3,，n,然后将第2,3，,n列分别乘以-1, 再加到第1列上。 1 1 1 二111街1 0 -Z 7 - - III - 23n i _2123n 1 10 川 0 010 川 0 101 川 0 =n! 001 川 0 IIIIII IIIIII 1 0 0 川 1 00 0 川 1 D =n! =n 八(一1) i

10、 2 I 注：爪形行列式非常重要, 很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成 爪形行列式进行计算! 练习： 1) 教材习题P28: 8(6) 2）（ 11-12年期末考试题） a 2 3 An = n -1 n 3）（ 11-12年IT期末考试题） -2 -3 III (n1) _n a 0 III 0 0 0 a III 0 0 III III 0 0 III a 0 0 0 III 0 a x a1 a 2 a n _1 an x 1 0 0 0 x 0 99 2 a 0 1 0 x 0 0 n 1 0 x 0 0 0 n a2a3|l| an n a1 D = q 4 X2a3|l

11、( a2X3|l| III HI a2a3III 分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同 解: a2 a3 III an X2 - a： 0 III 0 0 X3 a3 III 0 III III 0 0 III Xn - a Xi ax1 D a 一 x a - x Xi x 一 a -1 = (Xi ai) (x2 -a2)川(xn an ) a2 a3 III an X2 - a2 X3 - a3 Xn - a 1 0 川 0 0 fa 1 + + 川 i 4 0 i 0 + 0 1 川 1 a2 X2 一 a： III a n Xn _ an ai i =4

12、xi - ai =(捲aj(X2 a?)川X a.)0 0 n ai -JI.I (Xi-a)i i 4ixi _ ai 该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材 P15例11就是递推法的经典例 6. 递推法或数学归纳法 题。利用同样的方法可以计算教材 P27 8(4)。 7.升阶法 通常计算行列式都采用降阶的方法， 是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行 列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算 1川1 1+a2 川1 1 HI 1+an 例 8 (教材 P28 8(6) 1+ai 1 Dn =* r 1 分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多

13、1,因此可 以增加一行1,使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是 方形的，因此在增加一行以后还要增加一列， 以保持行列式的形状。为了使行列 式的值不改变，因此增加的列为1,0,0,0. 1 1 1 III 1 1 1 1 III 1 定理3 0 1+a1 1 III 1 -1 a1 0 III 0 .a”(1+ 丄) Dn = 0 1 1+a2 III 1 = -1 0 a2 III 0 =a a2. + + + p + + p + i=1 ai 0 1 1 III 1+an -1 0 0 III an 例 9 (教材 P27 6(4) 1 1 1 1 a b c d D=

14、2 ,2 2 ,2 a b c d 4 ,4 4 ,4 a b c d 分析：此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙 行列式的形式, 通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计 算。 解法 x3的系数是D ,因此D等于x3的系数的相反数，由此可计算得到结果 4 “3 $ -ar? D 二 2网 ba ca da b(b -a) 2 2 2 b (b -a ) c(c -a) 2 z 2 2 c (ca d(d -a) 2 2 2 d (d -a ) 按第一 列=开(ba)(ca)(da) b b2 (b a) cd 2 2 c (c + a) d (d +a) C -C1 (b _a)(c _a)(d -a) C3 b 2 b (b a) d -b .2 c -b 222工 c (c + a) b (b+a)