选修2-1知识总结(20210412233843)

1、选修2-1知识点小结第一章常用逻辑用语(1) 命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或” “且” “非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单 命题与逻辑联结词构成的命题。常用小写的拉丁字母 p, q, r, s, 表示命题，故复合命题有三种形式：p或q; p且q；非p。(2) 复合命题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p真假假真p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示:pqp且q真真真真假假假真假假假假p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示:pqP或q真真真真假真假:真J真假假假注：1 像上面表示命题真假的表叫真值表；2。由真

2、值表得：“非p”形式复合命题的真假与 p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“ p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3。真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。(3) 四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原 命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个

3、命题叫 做原命题的逆否命题。两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。(4) 条件一般地，如果已知 p q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。可分为四类：(1)充分不必要条件，即 p q,而q p； (2)必要不充分条件，即 p q,而q p； (3)既充分又必要条 件，即p q,又有q p； (4)既不充分也不必要条件，即p q，又有q p。一般地，如果既有 p q,又有q p,就记作：p q. “”叫做等价符号。p q表示p q且q p。这时p既是q的充分条件，又是 q的必要条件，则p是q的充分必要条

4、件，简称充要条件。(5) 全称命题与特称命题这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。注意：1.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、 疑问句、感叹句都不是命题；2. 判断命题的真假要以真值表为依据。 原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价 命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的

5、真假；3. 判断命题充要条件的三种方法：(1)定义法；(2)利用集合间的包含关系判断，若 A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；(3)等价法：即利用等价关系A B B A判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法; 第二章圆锥曲线与方程一.曲线方程(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:步骤含义说明1、“建”：建立坐标系； “设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标 系，用(x,y)表示曲线上任 意一点M的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条

6、件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合 P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程 f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”:化简化方程f(x,y)-0为取简形 式。要注意冋解变形。5、证明证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明， 变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围 )。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”(2) 求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲

7、线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可 寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。待定系数法2 圆锥曲线综合问题(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目

8、标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解 决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线 C : f(x, y)=0与直线I : y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(X2，y2)两点，则弦长|AB|为：(1) | AB |=肉- a2|=亠辿= 4工禺或|ab|= Ji占 |也 fF卜 j知刃若弦AB过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长，|AB|=| AF|+| BF| 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要 考虑曲线上点坐标(x,

9、y)的取值范围。(2) 对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。(3) 实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问 题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出 定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系(4) 知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强

10、区分度的综合题。2 直线与圆锥曲线的位置关系1.点M(xO, yO)与圆锥曲线C： f(x, y)=0的位置关系曲钱条件结论楠圆点在曲线上2 2INK射冋山分曙1点在曲线外32闷HMi沪 2n 冷-+马门点在曲蛾內曲帆一|码卜為乎醤=1点在曲线上呗隔15乎-带1点在曲线外啊侶|2&乎一詈1点在曲绒內抛物MF冋讣如点在曲坝上|MF| d y02 2p吨点在曲线外|MF| d yoa 0 ）焦点的弦，A（Xi , yj、B （x? 乂 ），直线AB的2倾斜角为则XiX2= P4F对A、B在准线yiy2= p2 ;|AB|= 巴L以AB为直径的圆与准线相切；焦点上射影的张角为90 :|FA|1|FB

11、|sin第三章空间向量与立体几何一、空间向量及其运算1 空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向 线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2.向量运算和运算律OB OA AB abBAOA OB a b OPa(R)加法交换率：a bba.加法结合率：（a b）ca (bc).数乘分配率：（a b）

12、 a b.说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法 则在空间仍成立。3平行向量（共线向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a / b 。注意：当我们说 a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。fc-共线向量定理：对空间任意两个向量a （ a丰0 ）、b , a / b的充要条件是存在实数使b = a注：上述定理包含两个方面：性质定理：若a / b （ a工0）,则有b = a，其中 是唯一确定的实数。判

13、断定理：若存在唯一实数，使b = a （ a丰0）,则有a / b （若用此结论判断 a、b所在直线平行，还需 a （或b ）上有一点不在 b （或a）上）。对于确定的和a , b = a表示空间与a平行或共线，长度为| a |，当 0时与a同向，当 0时与a反向的所有向量。若直线I/ a , A l , P为I上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导op的表达式。推论：如果I为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，那么对任一点 O,点P在直线I上的充要条件是存 在实数t,满足等式OP OA ta其中向量a叫做直线I的方向向量。在|上取AB a，则式可化为OP (1 t)OA

14、tOB.当t 1时，点P是线段AB的中点，贝UOP 1（OA OB） 2 2 或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意：表示式（*卜（* ）既是表示式 ，的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决 三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4. 向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面平行或a在 平面内，我们就说向量 a平行于平面 ，记作a / 。注意：向量a / 与直线a/ 的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量 a、b不共线，则向量 p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使p xa yb

15、.注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点 P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y,使MP xMA yMB,或对空间任一定点 0,有OP OM xMA yMB.在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。式叫做平面 MAB的向量表示式。又 MA OA OM,. MB OB OM,.代入，整理得OP （1 x y）OM xOA yOB.由于对于空间任意一点 P,只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面 MAB内的任意一点 P,都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点 M、A、B

16、）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y,z,使 p xa yb zc.说明：由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|p xa yb zc,x、y、z R，这个集合可看作由向量 a、b、c生成的，所以我们把 a , b , c 叫做空间的一 个基底，a , b , c都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一 个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于

17、0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。推论：设 O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP xOA yOB zOC.6. 数量积(1)夹角：已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O,作oaOBb，则角/ AOB叫做向量a与b的夹角，记作a, b(1)aAO(3)说明：规定ow a, b w ，因而a, b = b, a ；如果 a, b =，则称a与b互相垂直，记作 a丄b ；3)、(4)中的两个向量的夹角不同,2在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图(图（3）中/ AOB

18、= OA,OB ,图（4）中/ AOB=AO,OB从而有 OA,OB = OA, OB = OA, OB .(2) 向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。(3) 向量的数量积：a b cos a,b叫做向量a、b的数量积，记作a b。即 a b = a b cos a,b ,向量AB在e方向上的正射影a e | AB | cos a,e A B(4)性质与运算律片HJ 4 a e cos a, e 。m（ a） b （a b）a丄ba b =0 a b=b a2*丿虫弓目扌 | a ia a. a （b C）、立体几何中的向量方法i空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面

19、所成的角以及二面角。(1) 异面直线所成的角的范围是 (0,。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面2问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用三角形来求角。(2) 直线与平面所成的角的范围是0,亍。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。具体步骤如下：所求的角；线所成的一切角中的最小角, 角，则有； 找过斜线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足， 得出斜线在平面的射影， 确定出 把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角， 是它和平面

20、内任何一条直 即若B为线面角，a为斜线与平面内任何一条直线所成的(3) 确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a. 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧

21、面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范围在课本中没有给出，一般是指(0,，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法精品 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面 角的平面角； 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即垂足) 斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平

22、面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平 面角。斜面面积和射影面积的关系公式：S Seos (S为原斜面面积，S为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ，任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 ，如果能找得斜 面面积的射影面积，可直接应用公式，求出二面角的大小。2. 空间的距离(1)点到直线的距离：点P到直线 a的距离为点P到直线 a的垂线段的长，常先找或作直线 a所在平面的垂线， 得垂足为A，过A作 a的垂线，垂足为E连pe，则由三垂线定理可得线段pe即为点P到直线a的距离。在直角三角形PAB中求出PE的长即可。点到平面的距离：点P到平面的距离为点P到平面的垂线段的长常用求法作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点A，B到斜足C的距离AB，AC的比为m：n，则点A，B到平面的距离之比也为 m:n .特别地，AB = AC时，点A，B到平面的距离相等；体积法(2) 异面直线间的距离：异面直线a，b间的距离为a，b间的公垂线段的长常有求法先证线