等腰三角形时常用的辅助线作法

1、CFE有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC BD丄AC于D,求证：/ BAC = 2 DBC有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = AC D为BC中点，DE丄AB于E, DF丄AC于F,求证：DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中，AB = AC在BA延长线和AC上各取 一点 E、F,使 AE = AF求证：EF丄BC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC, D在AB上, E在AC延长线上，且 BD = CE,连结DE 交 BC于 F 求证

2、：DF = EF常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中，AB =AC F在AC上，E在BA延长线上，且 AE = AF连结DE 求证：EF丄BC常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 -等边三角形例：已知，如图， ABC中，AB = AC / BAC = 800 ,P为形内一点，若/ PBC = 10， / PCB = 30求/ PAB的度数.有等腰三角形时常用的辅助线1作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC BD丄AC于D，求证：/ BAC = 2 DBC1证明：（方法一）作/ BAC的平分线AE,交BC于E,则/ 1 = 2 2 = 玉2 B

3、AC又 AB = AC AE 丄 BCDB2 2 +2 ACB = 90 BD 丄 AC 2 DBC+2 ACB = 90 2 2 = 2 DBC 2 BAC = 2 DBC（方法二）过 A作AE丄BC于E （过程略）（方法三）取BC中点E,连结AE （过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = AC D为BC中点，DE丄AB于E, DF丄AC于F, 求证：DE = DF证明：连结AD.CAFv D为BC中点， BD = CD又 v AB =AC AD 平分/ BACvDE丄AB，DF丄AC DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中，

4、AB = AC在BA延长线和AC上各取一点 求证：EF丄BC证明：延长BE至U N,使AN = AB连结CN贝U AB = AN = AC / B = / ACB, / ACN = / ANCvZ B+Z ACB+Z ACN+Z ANC = 18(0 2Z BCA+ 2Z ACN = 18(0Z BCA+Z ACN = 9( 即Z BCN = 9( NC BCv AE = AF Z AEF = Z AFE又vZ BAC = Z AEF +Z AFE Z BAC = Z ACN +Z ANC Z BAC =2/ AEF = Z ANC Z AEF = Z ANC EF/ NC EF BC常过一腰

5、上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC, D在AB上, E在AC延长线上，且 BD = CE 连结DE 交 BC于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D作 DN/ AE,交 BC于 N,则Z DNB = Z ACB,Z NDE = Z E,v AB = AC Z B = Z ACB Z B =Z DNB BD = DN 又 v BD = CE DN = EC在厶DNF和厶ECF中Z 1 = Z 2Z NDF =Z EDN = EC DNFA ECF DF = EF（证法二）过E作EM/ AB交BC延长线于M,则Z EMB=Z B （过程略）常过一腰上

6、的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中，AB =AC, E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE连结DE求证：DE丄BC证明：（证法一）过点E作EF/ BC交AB于F,贝UZ AFE =/ BZ AEF =/ Cv AB = AC Z B =Z C Z AFE =/ AEFv AD = AE Z AED Z ADE又 vZ AFEZ AEF+Z AED+Z ADE = 180 2Z AEF+ 2Z AED = 90即Z FED = 90 DE 丄 FE又 v EF/ BC DE 丄 BC（证法二）过点D作DN/ BC交CA的延长线于N,（过程略）（证法三）过点A作AM / B

7、C交DE于M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 -等边三角形例：已知，如图， ABC中，AB = AC Z BAC = 80 ,P为形内一点，若Z PBC = 10 Z PCB = 30 求Z PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结 CE贝UZ BAE Z ABE = 60AE = AB = BEv AB = AC AE = AC Z ABC Z ACB Z AEC Z ACEvZ EAC Z BAC-Z BAE=80 - 60 = 20 Z ACE = 1 (180-Z EAC)= 80vZ ACB= 1 (180-Z BAC)= 50/ BCE W ACE-Z

8、ACB=800- 50 = 3CPvZ PCB = 30Z PCB = Z BCECvZ ABC =Z ACB = 50, Z ABE = 60/ EBC W ABE / ABC = 60- 50。=1CP vZ PBC = 10:丄 PBC = Z EBC 在厶PBC和厶EBC中 Z PBC = Z EBC BC = BCZ PCB = Z BCE PBCA EBC BP = BEv AB = BE AB = BPZ BAP =Z BPAvZ ABP =Z ABC-Z PBC = 50 10。= 4C01 Z PAB = -(180o-Z ABP)= 70解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以BC为一边作等边三角形 BCE连结AE则EB = EC = BC Z BEC Z EBC = 60v EB = EC E在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA 丄 BC1Z AEB =丄 Z BEC = 30 =Z PCB2由解法一知：Z ABC = 50 Z ABE = Z EBCZ ABC = 10 =Z PBC vZ ABE =