高中数学必修一知识点复习总结

1、精品文档20162017学年度高一数学必修1 知识点复习总结第一章集合与函数概念一、集合1、集合的中元素的三个特性：、。2、集合的表示： 如： 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （1）用大写的拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5（2）用小写的拉丁字母表示元素：如M=， b， c， 3、集合的表示方法：（1）注意：常用数集及其记法：非负整数集 （即自然数集） 记作：；正整数集 记作；整数集 记作； 有理数集 记作；实数集记作。（2）列举法： a,b,c（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 x R| x-32 ,x| x-32（

2、4）语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 （5）区间法：4、集合的分类：按元素的种类来分可以分为数集、点集等；按元素的种类来分分为：有限集：无限集：空集含有有限个元素的集合含有无限个元素的集合不含任何元素的集合例： x|x 2=55、集合间的基本关系（1）“包含”关系子集注意： AB 有三种可能（ 1）A 是 B 的一部分；（ 2）A 与 B 是同一集合；（3）A。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA（2）“相等”关系： A=B(55，且 55，则 5=5) 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集 :如果 A B,且 AB 那就说集合 A 是

3、集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,B C,那么 A C如果A B同时 BA那么A=B（3）不含任何元素的集合叫做空集，记为（4）规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（5）有 n 个元素的集合，含有2n 个子集， 2n-1 个真子集.精品文档6、集合的运算运 算交集并集补集类型由所有属于 A 且由所有属于集合 A设 S 是一个集合， A 是 S 的一个属于 B 的元素组或属于集合 B 的元子集，由 S中所有不属于 A 的元成的集合 ,叫 A,B素组成的集合， 叫素组成的集合，叫做 S 中子集 A的交集记作A,B 的并集记作： 的补集（或余集）定AB（读

4、作 AAB（读作 A 并记作 C s A ，即义交 B），即 A B=B），即 A B x|xA ， 且=x|xA ， 或C s A= x | x S, 但 x AxBxB)韦恩ABASBA图图 2示图 1AA=AAA=A(CuA)(CuB)= Cu (A B)性A=A=A(CuA)(CuB)= Cu(A B)AB=BAAB=B AA (CuA)=U A (CuA)=质ABAABABAAB知识应用：1.、下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.、集合 a，b，c 的真子集共有个。3.、若集合 M=y|y=x 2-2x+1,xR

5、,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是。4.、设集合A=x 1 x2 ， B= x xa ，若 A，则 a 的取值范围是B5、50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=7.已知集合2222A=x| x+2x-8=0, B=x| x-5x+6=0, C=x| x-mx+m -19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值.精品文档二、函数的概念1、函数的定义： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对

6、于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作： y=f(x)， x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域2、定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结

7、合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零；底数为0 的指数不能为 0 和负数。(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域和对应关系一致 (两点必须同时具备 )4、值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法 (3)代换法5、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)

8、均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 .常用变换方法有四种平移变换。伸缩变换。对称变换。翻折变换。6、映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）： （原象）AB（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；.精品文档(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对

9、应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。7、分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)注意各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集(4)要把各段连起来看单调性时要注意两点：、在定义域的各个范围内的单调性要保持一致，、在定义域的各个范围端点的函数值也要满足单调性。8、补充：复合函数：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g 的复合函数。（1）复合函数求定义域内外函数都要满足。（2）复合函数求值域时可以分解成基础函数来求。（3）复合函数判

10、断单调性可以用定义法和分解成基础函数用“同增异减”的原则来判断。（4）复合函数的奇偶性可用定义法。如内函数为偶函数时该函数必为偶函数。9、函数的性质、 .函数的单调性 (局部性质 )（1）增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 .如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2 )，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=

11、f(x)的单调减区间 .注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 .(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1 ，x2D，且 x11，且 nN*注意：（1）负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0，记作 n 00 。.精品文档n a na(a0)（ 2）当 n 是奇数时， n| a |ana ，当 n 是偶数时，a(a0)2、分数指数幂（1）正数的分数指数幂的意义，规定：m11a

12、 n*, n 1)mm( a 0, m, n Na n n a m (a 0, m, n N * , n 1) ，a nn am0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义（2）实数指数幂的运算性质（1） a r a ra r s(a0, r , s R) ；（2） (ar ) sa rs(a 0, r, s R) ；（3） (ab) ra r a s(a0, r , s R) 3、指数函数及其性质（1）、指数函数的概念：一般地，函数ya x (a0,且 a1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1（2）、指数函数的图象和

13、性质a1定义域值域665544图象33221111-4-2246-4-224600-1-1对称性单调性f ( x)10f ( x)1其它.精品文档注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 a， b上， f (x)a x (a 0且a1) 值域是 f (a), f(b) 或 f (b), f ( a) ；（2）若 x0 ，则 f (x )1； f (x ) 取遍所有正数当且仅当xR ；（3）对于指数函数 f (x )a x (a0且 a1) ，总有 f (1)a ；4、对数（1）数的概念：一般地，如果 a xN(a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：

14、xloga N （ a 底数， N 真数， log aN 对数式）说明：1注意底数的限制 a0 ，且 a 1；2a xNlog a Nx ；log a N3注意对数的书写格式注意重要对数：1常用对数：以10 为底的对数 lg N ；2自然对数：以无理数 e2.71828为底的对数的对数 ln N 指数式与对数式的互化ab Nlog a N b对数的运算性质如果 a0 ，且 a1 ， M0 ， N0 ，那么：1log a ( M N )log a M log a N ；log aMlog a M log a N ；2N3log a M nn log a M(nR) 注意：换底公式log a bl

15、og cblog ca （ a 0 ，且 a 1 ； c0 ，且 c 1 ； b0 ）利用换底公式推导下面的结论nnloga b ；（2） log a b1（1） log am blog b a （3） aloga bbm5、数函数.精品文档1、对数函数的概念：函数ylog a x(a0 ，且 a 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+）注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2 log 2 x ， ylog 5 5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2 对数函数对底数的限制：(a0 ，且 a 1) 2、对数函数的性质：a1定义域值域

16、332.52.5221.51.5图象对称性单调性1 11 10.50.5-112345678-10123456780-011.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5f (x)0f (x)0其它6、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如y x ( aR)的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（ 0， +）都有定义并且图象都过点（ 1， 1）；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0, ) 上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当 01时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在区间 (0,) 上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋

17、向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当 x 趋于时，图象在.精品文档x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴7、勾勾函数：形如 f ( x) xa的函数, (a 0)x定义域值 域图象奇偶性f (x)0f (x)0单调性公式应用：1. 已知 a0， a0，函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是()log 32； 2531 log 5 27 2log 5 22.计算： log 2764; 2 4 log 2 3 =;17)0 (416 0 .7510.064 3(2)3 30.0128=13.函数 y=log 2 (2x2-3x+1)的递减区间为4.若函数f (x)log

18、a x(0 a 1)在区间 a, 2a上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=f (x) log1x(a 0且a 1)0 的 x 的取值范围5 已知a 1x，（ 1）求 f (x) 的定义域（ 2）求使 f ( x ).精品文档第三章函数的应用1、函数零点的概念： 对于函数 yf ( x)( x D ) ，把使 f (x)0 成立的实数 x 叫做函数 y f ( x)( x D ) 的零点。2、函数零点的意义：函数yf (x) 的零点就是方程 f ( x)0 实数根，亦即函数y f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程 f ( x)0 有实数根函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 y f ( x)有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程f ( x)0 的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f (x) 的图象联系起来，并利