数理经济学.ppt

1、2021-5-7ii.4/5.1guosipeiccnumath 第二篇第二篇 静态（或均衡）分析静态（或均衡）分析 第4章 线性模型与矩阵代数 矩阵与向量 矩阵运算 对向量运算的注释 交换律、结合律、分配律 矩阵代数的特征 矩阵的转置与逆 有限马尔科夫链 2021-5-7ii.4/5.2guosipeiccnumath 第5章线性模型与矩阵代数(续) 矩阵非奇异性的条件 用行列式检验非奇异性 行列式的基本性质 求逆矩阵 克莱姆法则 克莱姆法则在市场模型和国民收入模型中的应用 里昂惕夫投入-产出模型 静态分析的局限性 2021-5-7ii.4/5.3guosipeiccnumath 第第4章章

2、 线性模型与矩阵代数线性模型与矩阵代数 模型的扩充需要表达形式的进一步简化 矩阵代数提供了描写方程组的简洁方法 矩阵代数引出一种通过估计行列式来检验解的存在 的方法 矩阵代数提供求解方程组的方法 线性假设的合理性与不足 矩阵代数仅能用于线性方程组，容易得到明确的结 果但缺乏现实的真实性 对于非线性的函数可采用分段线性近似处理 2021-5-7ii.4/5.4guosipeiccnumath 2021-5-7ii.4/5.5guosipeiccnumath 矩阵与向量矩阵与向量 一般的含有n个变量的m个方程组成的方程组可以写 成如下形式： 方程组中的成分：系数，变量和常数项 2021-5-7ii

3、.4/5.6guosipeiccnumath 矩阵运算矩阵运算 相等 加法 减法 标量乘法 2021-5-7ii.4/5.7guosipeiccnumath 矩阵乘法 2021-5-7ii.4/5.8guosipeiccnumath 国民收入模型 原模型： 排成标准形式： 写成矩阵： 由乘法法则： 于是由ax=d得到： 2021-5-7ii.4/5.9guosipeiccnumath 对向量运算的注释对向量运算的注释 向量乘法 2021-5-7ii.4/5.10guosipeiccnumath 线性相关 当且仅当一组向量中的任意一个向量可以表示成其 他向量的线性组合时，称这组向量为线性相关的，

4、 否则是线性无关的 向量空间 两个线性无关的向量u和v的各种线性组合生成的所 有2-向量的全体称为2维向量空间 线性无关的向量u和v构成了向量空间的某个基 2021-5-7ii.4/5.11guosipeiccnumath 交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律 矩阵加法 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 矩阵乘法 结合律：(ab)c=a(bc)=abc 标量积的交换律：ka=ak 分配律：a(b+c)=ab+ac;(b+c)a=ba+ca 2021-5-7ii.4/5.12guosipeiccnumath 矩阵代数的特征矩阵代数的特征 不服从交换律 矩阵乘

5、法的例子 约分的例子（标量代数中cd=ce则d=e） 2021-5-7ii.4/5.13guosipeiccnumath 矩阵的转置与逆矩阵的转置与逆 转置及其性质 当矩阵的行列互换得到原矩阵的转置 (a)=a;(a+b)=a+b;(ab)=ba 逆及其性质 当a为方阵时满足如下条件的矩阵a-1称为矩阵的 逆:a a-1= a-1a=i 若方阵有逆矩阵则a称为非奇异的，否则为奇异的 如果逆矩阵存在，那么它是唯一的 (a-1)-1=a;(ab)-1= b-1a-1; (a)-1=(a-1) 2021-5-7ii.4/5.14guosipeiccnumath 逆矩阵与方程的解 由于ax=d,则x=

6、 a-1d,所以求方程组的解可先求逆 矩阵a-1，然后以常向量d右乘a-1,即可得出解值 如简单的国民收入模型： agib agi ba gi bbc y dax bb a a gi d c y x b a byacgicy )(1 1 1 11 1 1 , 1 11 1 1 , 1 11 , 00 0000 * * 1* 1 00 00 即 2021-5-7ii.4/5.15guosipeiccnumath 有限马尔科夫链有限马尔科夫链 马尔科夫过程 用来测量或估计随着时间的推移而发生的移动 这种移动涉及马尔科夫转移矩阵，其中的每个值都是从一个状态向另一 个状态移动的可能性 这种移动还涉及包

7、含在不同状态下的初始分布的向量，通过反复用转移 矩阵乘以这个向量，可以估计不同时间上的状态的变化 公司内部雇员流动的问题实例 一个公司有两个部门，阿博伏特(a)和博纳比(b) 采用雇员留在a的概率乘以现在在a的总雇员数目，得到现在在a且明天 还留在a的员工数目 而明天可能从b流向a的员工数目，通过现在在b的员工总数乘以从b流向 a的概率而得到 上述两部分数目即构成a明天的雇员数目;类似得到b明天的雇员数目 此过程涉及4个概率,放在一个矩阵中即构成马尔科夫矩阵 2021-5-7ii.4/5.16guosipeiccnumath 寻求在若干时间段后的跨区域员工分布 at 和bt分别代表a和b在时间

8、t上的员工数 转移概率定义为： paa=目前在a者还留在a的概率； pab=目前在a者转移到b的概率； pbb=目前在b者还留在b的概率； pba=目前在b者转移到a的概率. 其矩阵形式为： 在时间t上员工转移的分布写成向量： 那么在时间t+1上的跨区域员工分布为： 一般地，n个时间段后的雇员分布为： bbba abaa pp pp m ttt bax 11 )( ttbbtabtbataat bbba abaa tt bapbpapbpa pp pp ba 1 tt xmx ntnt n bbba abaa tt ba pp pp ba 2021-5-7ii.4/5.17guosipeicc

9、numath 上述过程中n是外生的，概率矩阵m就是转移矩阵， 此过程就称为马尔科夫链 当马尔科夫转移矩阵的幂越来越高时，形成的新的 转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵，称为稳 定状态 假设在时间t=0上这两个地点的员工分布相同： 转移概率设为： 在下一个时间段上的分布为 在10个时间段后的分布为： 100100 000 bax 6 . 04 . 0 3 . 07 . 0 bbba abaa pp pp m 11 90110 6 . 04 . 0 3 . 07 . 0 100100ba 1010 10 7 .853 .114 6 . 04 . 0 3 . 07 . 0 100100ba 202

10、1-5-7ii.4/5.18guosipeiccnumath 吸收马尔科夫链 扩展模型：员工可以离开公司并且公司不再聘请离 职员工 pae=目前在a者离开的概率,pbe=目前在b者离开的概率 假设pea=0, peb=0, pee=1 在时间0上，马尔科夫链变成了如下形式；随着n趋向于 无穷，an,bn趋向于0，en趋向于在时间零点的总员工数 nnn n bebbba aeabaa nnn n eeebea bebbba aeabaa ebappp ppp eba eba ppp ppp ppp eba 100 000 000 2021-5-7ii.4/5.19guosipeiccnumath

11、 练练 习习 考虑到大众失业的情形（即工厂关闭）,1200人失业, 开始寻找新的工作.在此例中有两个状态:雇佣(e)和失 业(u),初始向量是 假设在给定时间上失业者找到工作的概率是0.7,因此继续 失业的概率是0.3. 在一定时期内找到工作的人在下个时期可能失去工作的概 率是0.1(继续留任的概率是0.9) 问题如下： 对于上述条件构造一个马尔科夫转移矩阵 在第2期、3期、5期、10期后失业人数为多少？ 失业的稳定状态水平 12000 0 uex 2021-5-7ii.4/5.20guosipeiccnumath 第第5章线性模型与矩阵代数章线性模型与矩阵代数(续续) 解决逆矩阵存在性的检验

12、和求解问题 矩阵非奇异性的条件：当方阵条件（必要条件）已经满足 时，矩阵非奇异性的充分条件是行线性无关（同样的，列 线性无关） 当系数矩阵为非奇异方阵时，方程组有唯一解可求 矩阵的秩与初等行变换 在一个矩阵中，若线性无关的最大行数为r则称该矩阵的秩 为r. 计算矩阵的秩的方法是使用初等行变换将其化为“阶梯矩 阵”,初等行变换不改变矩阵的秩 任意两行互换 用非零常量来乘以或除某行 把任意一行的k倍加到另外一行上 2021-5-7ii.4/5.21guosipeiccnumath 用行列式检验非奇异性用行列式检验非奇异性 行列式与非奇异性 方阵a的行列式用|a|表示,它是唯一定义的与该矩 阵相联系

13、的标量(数) 将a主对角线上的元素相乘，减去反对角线上的元 素的乘积，即得到二阶方阵a对应行列式的值(数) 行列式的值可以作为检验矩阵行线性无关（因而为 非奇异矩阵）的一个标准 2021-5-7ii.4/5.22guosipeiccnumath 计算三阶行列式 2021-5-7ii.4/5.23guosipeiccnumath 用拉普拉斯展开计算n阶行列式 子式: |mij|表示删除给定行列式的第i行和第j列而 得到的子行列式 余子式:规定了代数符号的子式|cij|=(-1)i+j|mij| n阶行列式|a|的值可以通过任意行或任意列的拉 普拉斯展开来计算 2021-5-7ii.4/5.24g

14、uosipeiccnumath 行与列互换不影响行列式的值|a|=|a| 任意两行或任意两列互换将改变行列式的符号 以标量k乘以行列式任意一行或任意一列，行列式将 发生k倍变化 注意行列式提公约数和矩阵提公约数的区别 行列式某一行加上或减去另一行的倍数其值不变 若行列式的一行或一列为另一行或另一列的倍数，则 行列式的值为0 行列式的基本性质行列式的基本性质 2021-5-7ii.4/5.25guosipeiccnumath 非奇异性行列式的判别标准 给定线性方程组ax=d,其中a为n行n列系数矩阵， 则|a|0等价于： 矩阵a中行（列）线性无关 a为非奇异矩阵 a-1存在 一个唯一解x*=a-

15、1d存在 即使解存在，有时解并不满足适当的经济条件 2021-5-7ii.4/5.26guosipeiccnumath 求逆矩阵求逆矩阵 按异行余子式展开行列式 按异行余子式展开的行列式其值恒为0 矩阵求逆 求|a| 求a所有元素的余子式,将其排成余子式矩阵 c=|cij| 求c的转置即得到adja(a的伴随矩阵) 以行列式|a|除以adja即为a-1 2021-5-7ii.4/5.27guosipeiccnumath 克莱姆法则克莱姆法则 克莱姆法则的表述 用列向量d置换|a|的第n列记为|an| 则第j个变量的解值 2021-5-7ii.4/5.28guosipeiccnumath 对齐次

16、方程组的阐释 克莱姆法则不能应用！ 齐次方程组有唯一解的条件是具有奇异矩阵a 线性方程组解的结果 行列式 向量 非齐次方程组齐次方程组 |a|0 存在唯一非零解存在唯一零解 |a|=0 方程相关存在无数解(不包括0解)存在无数解(包括0解) 方程不相容无解不可能出现 2021-5-7ii.4/5.29guosipeiccnumath 克莱姆法则在市场模型和国民收入模型中的应用克莱姆法则在市场模型和国民收入模型中的应用 市场模型 两种商品市场模型可以写成方程组: 所需3个行列式的值如下: 均衡价格为: 2021-5-7ii.4/5.30guosipeiccnumath 国民收入模型 模型包括下列

17、两个联立方程 重排为 利用克莱姆法则解得: 2021-5-7ii.4/5.31guosipeiccnumath is-lm:封闭经济 is-lm模型中的i是指投资,s是指储蓄,l是货币需 求,m是货币供给 模型解释 在商品市场上,要决定收入,必须先决定利率,否则投资水 平无法确定,而利率是由货币市场决定的; 在货币市场上,如果不确定一个特定的收入水平,就无法 确定货币需求,利率也就无法确定. 这就出现了一个循环推论:利率依赖于收入,收入又依赖 于利率!为解决这一循环推论的矛盾,凯恩斯的后继者们 把商品市场和货币市场结合起来,建立了商品市场和货币 市场的一般模型：is-lm模型 2021-5-7

18、ii.4/5.32guosipeiccnumath 经济由两个部门构成：实际商品部门和货币部门, 写成如下方程组 y-c-i=g0 b(1-t)y-c=-a i+ei=d ky-li=m0 用克莱姆法则得到均衡收入y*为 )( )1 (1 () )1 (1 (* 00 gba tblek l m tblek e y 货币供给乘数政府支出乘数 2021-5-7ii.4/5.33guosipeiccnumath 练练 习习 用克莱姆法则求国民收入模型的解： y=c+i0+g; c=a+b(y-t0); (a0,0b1) g=gy (0g0(m=1,2,n) bx*=d等价于x*=(i-a)-1d,

19、存在x*0确保非负产出水平的存在. 其充分必要条件(霍金斯-西蒙条件):里昂惕夫矩阵的所有顺序主子式 均为正! 霍金斯-西蒙条件的经济意义(两产业例子说明) 里昂惕夫矩阵 要求|b1|0即a110即(1-a11)(1-a22)- a12a210,即a11+ a12a211,其经济 意义是作为生产1美元的第一种商品的直接投入与间接投入的第一种 商品的自身价值必须小于1美元 上述条件对生产过程施加了特定的可行性约束条件,当且仅当生产过 程是经济上可行的,才能得出有意义的非负产出水平的解 2221 1211 1 1 aa aa ai 2021-5-7ii.4/5.43guosipeiccnumath

20、 封闭模型 若投入产出模型中的外生部门被纳入该系统,并成为 其中的一个产业部门,则开放系统变成封闭系统. 在封闭模型中,不再有最终需求和基本投入,其位置由新构 建的产业部门的投入需求和产出所填补 所有物品均具有中间产品的性质,仅是为了满足(n+1)个 产业的投入和产出需求而生产 表面上看来开放部门转化成额外的产业部门似乎不对分析 产生影响,但因为新的产业被假定与其他产业一样具有固 定的投入比例,过去用做基本投入的供给现在必须与过去 称作的最终需求保持固定比例 比如,居民户将按照与其供给的劳动这样的固定比例消费每一个商 品,这无疑使分析框架发生了变化! 2021-5-7ii.4/5.44guosipeiccnu