人教版高中数学把握新教材平面向量

1、11 把握新教材 -平面向量 向量引入高中课程是一次 重大举措,某种程度上说是 一次革命性的举措. 数学课程史上三大革命性举措： 1、函数（20世纪初） 2、向量（20世纪末） 3、算法（21世纪初） 1.向量带来多种形式的运算 一、引入向量的积极意义 运算形式：图形式；字母式； 坐标式 运算种类：加法（减法）； 数乘；数量积 覆盖了代数的三种运算形式： (); ; rrr iii rii iir 一、引入向量的积极意义 2.向量的运算与现代数学接轨 加法运算与加法群：在向量集中， 向量的加法运算满足结合律、交换律， 且存在零向量 ，使得中的任一向 量 ，都有 ，同时，对于中 的任一向量 ，有

2、负元 ，满足： 于是，向量集对于加法 运算来说构成一个交换群 0 a 0aa a a 0aa 一、引入向量的积极意义 2.向量的运算与现代数学接轨： 向量的加法、数乘与线性空间： ； ； ； ； ； ； . 这样对于向量的加法和数乘运算而言， 向量集就是实数集上的线性空间 abba abcabc abab aaa aa 00a 1aa 一、引入向量的积极意义 2.向量的运算与现代数学接轨： 向量的模运算与范数：模运算 它是一个向量集到r上一种代数运算， 且满足： ，当且仅当 时 取等号； 有 ， .这样模运算就是定义在向 量集的一个范数，于是，向量集是实数 集上的线性赋范空间. 22 aab

3、0a 0a ,kr ai kaka abab 一、引入向量的积极意义 3.向量具有代数属性 代数： 运算及其运算规律是代数学的基 本研究对象。 凡是可以通过运算和运算规律解 决的问题，叫做代数问题。 向量可以研究三角函数：引入定义 1 cos a e a 2 sin a e a 2 1 tan a e a e 一、引入向量的积极意义 4.向量具有几何属性 几何： 中学阶段几何研究的对象： 描述几何图形；研究几何图形之间的关系。 描述： 向量可表示：点、线、面；曲线，曲面 位置：向量可解决：平行、垂直 度量：向量可解决：长度、角度 一、引入向量的积极意义 5.向量在立体几何学中发挥了 不可替代的

4、积极作用 作用： 使我们解决几何问题程序化； 使学生形成几何直观能力： 用图形语言刻划问题； 用图形语言寻求解决问题的思路； 用图形语言描述问题的研究结果。 向量是联接代数与几何的桥梁. 一、引入向量的积极意义 6.向量具有物理属性 向量具有丰富的物理背景：力、速度是 向量向量模型；两次位移与向量的加法； 速度的倍数现向量的数乘；向量的数量 积与功的计算。 向量是物理中的矢量的原型，因此， 向量在物理中的广泛使用是不言而喻的； 如果我们不能用向量 的观点去迎接后续的数 学学科，那么我们对数 学的认识只能是有限的， 向量是将来学习近代数 学的基本模型。 蒋 亮 二、向量内容再认识 1.向量的加法

5、运算 强调运算的多样性：几何运算、 字母运算、坐标运算。 强调运算律的证明： 运算律是运算的灵魂。 交换律、结合律。 结合律： 保证三个以上向量运算的唯一性。 保证了记号 的合法性 abc 二、向量内容再认识 2.零向量 对称中心； 引出相反向量； 实现加法运算的封闭性； 担当起“群”论中的单位元； 为向量的分解提供了加零的技巧。 引出了不必要的麻烦。 （如平行递推不成立） 二、向量内容再认识 3.向量的数乘运算 强调运算的多样性： 几何运算、坐标运算。 强调运算律的证明： 交换律、结合律、分配律。 明白与加法运算一起构成线性空间。 强化分解意识(逆向思维)。 二、向量内容再认识 4.平面向量

6、的基 基的标准： 二个非零向量；不共线 基的功能： 可唯一地表示平面内任意一个向量； 将几何问题转化为对基的运算。 正交基与一般基： 直角坐标系下的坐标与正交基； 一般基底下的坐标与运算。 二、向量内容再认识 5.平面向量的数量积 强调运算的多样性： 几何运算、坐标运算。 强调运算律的证明： 交换律、结合律（假）、分配律。 强调应用： 长度、交角、投影（分解系数） 了解模运算与线性泛函分析的联系。 二、向量内容再认识 6.平面向量中两个重要定理 共线定理： 两个向量共线的充要条件：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ， 使 ，即 。 b a ba /(0,)baba ar 两个

7、向量共线的充要条件：设 则 11 ( ,)ax y 22 (,)bxy 1221 / (0)0ba ax yx y 功能：解决共线、平行、两线交点、 三点共线、定比分点（线性问题）. 二、向量内容再认识 6.平面向量中两个重要定理 功能：平面向量中最要的定理。 将平面问题化为对基的运算。 （二维平面问题） 平面向量基本定理： 如果 是同一 平面内两个不共线的向量，那么对这一平面 内任一向量 ，有且仅有一对实数 ， 使 12 ,e e a 21, 1 122 aee 二、向量内容再认识 7.平面向量的坐标表示 说明: 在直角坐标的标准基底下进行的。 沟通“数”与“形”之间桥梁，用 代数方 法解决

8、几何问题。 举一些非标准基的例子。 三、向量内容教学建议 1. 向量的实际背景及基本概念 约2课时； 内容:向量的概念、表示方法、模、零向量； 平行向量、共线向量、单位向量、相等向量； 注意点： 通过实际例子分析引入。 强调向量的几何意义，理解平面向量和向 量相等的含义。 强调自由向量的规定 三、向量内容教学建议 2. 平面向量的线性运算 约4课时； 内容:加法运算、减法运算、 数乘运算、线性运算。 注意点： 通过实际引入运算。 强调向量运算的几何意义。 强化运算律意识。 理解向量共线定理及其应用。 三、向量内容教学建议 3. 平面向量的坐标运算 约3课时； 内容:平面向量的基本定理、正交分解与 坐标运算、平面向量共线的坐标表示。 注意点： 理解平面向量基本定理的内涵与外延。 理解向量运算的“数”“形”结合的思想。 强化基对坐标及运算的影响。 强化基本定理的应用意识。 掌握两线交点的处理技巧。 三、向量内容教学建议 4. 平面向量的数量积运算 约2课时； 内容:平面向量数量积运算的定义与运算、 数量积运算的应用。 注意点： 从物理背景引入运算。 强化对运算律的证明。 强化灵活应用意识。 掌握三角不等式。 三、向量内容教学建议 5. 平面