《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）

1、图形的相似全章复习与巩固-知识讲解（提高） 责编：张强【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

2、【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线

3、段是成比例线段，简称比例线段要点诠释：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）4.平行线分线段成比例： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等

4、，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质： （

5、1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（2）相似多边形的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方要点三、位似1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果

6、位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.要点四、黄金分割1.定义：如图，将一条线段ab分割成大小两条线段ap、pb，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段ap叫作线段pb、ab的比例中项），则p点就是线段ab的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割2.黄金三角形：顶角为36的等腰三角形，它的底角为72，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割要点五、射影定理在rtabc中，acb=90，cdab于d，abcacdcbd（“角角”）； ； （射影定理）； （等积）【典型例题】类型一、

7、相似三角形1. 已知：如图，abc=cdb=90，ac=a，bc=b，当bd与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】ac=a，bc=b， ab=，当abcbdc时， ,即.当abccdb时， ，即.【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.2. 如图，在abc中，c90，将abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，已知mnab，mc6，nc，则四边形mabn的面积是（ ）.a b c d【答案】c；【解析】由mc6，nc，c90得scmn=，再由翻折前后cmndmn得对应高相等；由mnab得cmncab且相似比为1:2，故两者的面积比为

8、1:4，从而得scmn：s四边形mabn=1:3，故选c.【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.举一反三【变式】如图，在矩形abcd中，ab=6，bc=8,沿直线mn对折，使a、c重合，直线mn交ac于o.（1）求证：comcba； （2）求线段om的长度.【答案】（1）证明： a与c关于直线mn对称，acmn，com=90，在矩形abcd中，b=90，com=b ，又acb=acb，comcba ，（2）在rtcba中，ab=

9、6，bc=8，ac=10 ，oc=5，comcba， ，om=. 类型二、相似三角形的综合应用3. 3.（2015上海）已知，如图，平行四边形abcd的对角线相交于点o，点e在边bc的延长线上，且oe=ob，连接de（1）求证：debe；（2）如果oecd，求证：bdce=cdde【答案与解析】证明：（1）四边形abcd是平行四边形，bo=bd，oe=ob，oe=bd，bed=90，debe；（2）oecdceo+dce=cde+dce=90，ceo=cde，ob=oe，dbe=cde，bed=bed，bdedce，bdce=cdde【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判

10、定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键4. 已知abc是等腰直角三角形，a = 90，d是腰ac上的一个动点，过c作ce垂直于bd或bd的延长线，垂足为e，如图（1）若bd是ac的中线，求的值；（2）若bd是abc的角平分线，求的值；（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的d点的位置；若不能，说明理由来源:zxxk.comedcabedcab 【答案与解析】解： 设ab = ac = 1，cd = x，则0x1，bc =，ad = 1x在rtabd中，bd2 = ab2 + ad2 = 1 +（1x）2 = x22

11、x + 2由已知可得 rtabdrtecd， ， 即 ，从而 ， ，0x1，（1）若bd是ac的中线，则cd = ad = x =，得 （2）若bd是abc的角平分线，则 ，得 ，解得 ， （3）.若，则有 3x210x + 6 = 0，解得 （0，1）， ，表明随着点d从a向c移动时，bd逐渐增大，而ce逐渐减小，的值则随着d从a向c移动而逐渐增大【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题举一反三：【变式】（2015湘潭）如图，在rtabc中，c=90，acd沿ad折叠，使得点c落在斜边ab上的点e处（1）求证：

12、bdebac；（2）已知ac=6，bc=8，求线段ad的长度【答案与解析】证明：（1）c=90，acd沿ad折叠，c=aed=90，deb=c=90，b=b，bdebac；（2）由勾股定理得，ab=10由折叠的性质知，ae=ac=6，de=cd，aed=c=90be=abae=106=4，在rtbde中，由勾股定理得，de2+be2=bd2，即cd2+42=（8cd）2，解得：cd=3，在rtacd中，由勾股定理得ac2+cd2=ad2，即32+62=ad2，解得：ad=， .5. 如图，已知在梯形abcd中，ad/bc，ad=2，bc=4，点m是ad的中点，mbc是等边三角形（1）求证：梯形

13、abcd是等腰梯形（2）动点p、q分别在线段bc和mc上运动，且mpq=60保持不变设pc=x，mq=y，求y与x的函数关系式【答案与解析】（1）是等边三角形是中点， 梯形是等腰梯形（2）在等边中，又， ， ， ， .【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图，在abc中，ab=ac=1，点d,e在直线bc上运动设bd=x, ce=y. (l）如果bac=30，dae=105，试确定y与x之间的函数关系式；(2）如果bac=,dae=,当, 满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由【答案】解

14、：(l）在abc中，ab=ac =1，bac=300,abcacb=750,abdace=1050, dae=1050，dab+cae=105-30=750,又dab+adb=abc=750,caeadb，adbeac.，即.(2）当、满足关系式时，函数关系式成立. 理由如下：要使，即成立，须且只须adbeac. 由于abdeca，故只须adbeac. 又adb+bad=abc=, eac+bad=-, 所以只=-，须即. 类型三、黄金分割6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片abcd，先折出bc的中点e，再折出线段ae，然后通过折叠使eb落到线段ea上，折出点b的新位置b，因而eb=eb类似地，在ab上折出点b使ab=ab这是b就是ab的黄金分割点请你证明这个结论【答案与解析】设正方形abcd的边长为2， e为bc的中点，be=1ae=，又be=be=1，ab=ae-be=-1，ab=ab=-1ab：ab=(-1):2点b是线段ab的黄金分割点【总结升华】本题考查了黄金分割的应用