数学命题教学

1、云南师范大学云南师范大学 朱维宗朱维宗 全日制普通高级中学教科书（必修）数学全日制普通高级中学教科书（必修）数学 （第一册（第一册 上）的定义：上）的定义： 可以判断真假的语句叫命题可以判断真假的语句叫命题 金岳霖主编金岳霖主编形式逻辑形式逻辑定义判断：定义判断： 判断就是判定事物情况的思维形态；判断就是判定事物情况的思维形态； 判断就是对事物情况有所肯定或否定的思维形判断就是对事物情况有所肯定或否定的思维形 态。态。 例如，在等腰三角形中等边对等角例如，在等腰三角形中等边对等角 1 1、辨析命题、辨析命题 v孙杰远主编孙杰远主编现代数学教育学现代数学教育学： 判断判断是用语句表达的，表达判断

2、的陈述语是用语句表达的，表达判断的陈述语 句称为命题。句称为命题。表示数学判断的陈述语句或符表示数学判断的陈述语句或符 号的组合称为数学命题。号的组合称为数学命题。 例如，例如，2 2和和3 3都是质数；都是质数；3 32 2； （a+ba+b）2 2a a2 22ab2abb b2 2 A B C A B C ABCABC等都是命题。等都是命题。 v但是数学中有一类语句的表达是没有真但是数学中有一类语句的表达是没有真 假可言的。假可言的。 例如，含有变量的例如，含有变量的“X X2=7”2=7”与与“X X 5”5”，就是无法判断真假的句子。只有，就是无法判断真假的句子。只有 变量取定值以后

3、，这两个句子才能成为变量取定值以后，这两个句子才能成为 可分真假的判断，才成为命题。可分真假的判断，才成为命题。 v命题是形式逻辑中的基本术语，也是数命题是形式逻辑中的基本术语，也是数 学中最基本的元素。命题是一个非真即学中最基本的元素。命题是一个非真即 假的陈述句，也就是说：假的陈述句，也就是说： 第一，命题必为一陈述句；第一，命题必为一陈述句； 第二，可以从命题的叙述中判断出其真第二，可以从命题的叙述中判断出其真 假。假。 2 2、命题的结构、命题的结构 v加涅认为：加涅认为：“具有最简单的形式结构的具有最简单的形式结构的 规则由两个概念构成。这些概念规则一规则由两个概念构成。这些概念规则

4、一 般具有这样的形式般具有这样的形式如果如果A A，则，则BB。其。其 中有两个是事物概念，一个是关系概中有两个是事物概念，一个是关系概 念。念。” v命题命题按形式分为按形式分为：简单命题和复杂命题；：简单命题和复杂命题； v命题命题按真假分为按真假分为：真命题和假命题。：真命题和假命题。 3 3、命题逻辑联结、命题逻辑联结 v命题的运算就是通过命题的符号化、形式化，命题的运算就是通过命题的符号化、形式化， 由若干命题构成新的命题，其关键是逻辑联由若干命题构成新的命题，其关键是逻辑联 结词的运用。因此，命题运算实际上是命题结词的运用。因此，命题运算实际上是命题 的逻辑联接。的逻辑联接。 v命

5、题的基本运算命题的基本运算 否定式否定式非（）非（） 合取式合取式与（与（） 析取式析取式或（或（） 蕴含式蕴含式若若则则（） 等价式等价式当且仅当（当且仅当（） 4 4、命题逻辑思维规律、命题逻辑思维规律 v同一律同一律，基本内容是：，基本内容是：在同一论证过程中，在同一论证过程中， 每一个概念或者判断必须保持在同一的意义每一个概念或者判断必须保持在同一的意义 上来使用，保持其一贯性上来使用，保持其一贯性。 v矛盾律矛盾律，矛盾律要求：，矛盾律要求：在同一思维过程中，在同一思维过程中， 不能同时使用两个互相矛盾的概念。不能同时使用两个互相矛盾的概念。即命题即命题 “A”A”和命题和命题“非非

6、A”A”不能同真，其中必有一不能同真，其中必有一 假。其思维形式为：假。其思维形式为：“A A不是非不是非A”A”。矛盾律。矛盾律 涉及事物之间的两种关系：矛盾关系和反对涉及事物之间的两种关系：矛盾关系和反对 关系。关系。 排中律排中律，排中律的内容是：，排中律的内容是：在同一思维过程在同一思维过程 中，两个互相矛盾的思维不能都假，必有一中，两个互相矛盾的思维不能都假，必有一 真。真。即二者必居其一，排除第三种可能性，即二者必居其一，排除第三种可能性， 以保持思维的确定性。其思维形式是：以保持思维的确定性。其思维形式是：“A A或或 者非者非A”A”。数学中反证法的证明有归谬法和穷。数学中反证

7、法的证明有归谬法和穷 举法两种。其中归谬法证明：若举法两种。其中归谬法证明：若“非非B”B”只有只有 一种情况，只要证明一种情况，只要证明“若若A A则非则非B”B”的真假为的真假为 假，那么这种情况运用排中律，即可判断假，那么这种情况运用排中律，即可判断 “若若A A则则B”B”的真假为真。的真假为真。 充足理由律充足理由律，一个命题思想的提出和存在都一个命题思想的提出和存在都 必然有充足理由必然有充足理由。因此充足理由可以表述为：。因此充足理由可以表述为： p p真，因为真，因为Q Q真，并且由真，并且由Q Q必然能推出必然能推出p p。 充足理由律的逻辑要求主要有两条：充足理由律的逻辑要

8、求主要有两条： QQ必真；必真； QQ与与P P之间有必然的逻辑联系之间有必然的逻辑联系。 命题是判断事情的语句正确理解命题的命题是判断事情的语句正确理解命题的 关键是要抓住它的三个特征关键是要抓住它的三个特征 例例1 1 下列各语句中，哪些是命题，哪下列各语句中，哪些是命题，哪 些不是命题些不是命题? ? (1)(1)相等的角都是直角。相等的角都是直角。 (2)(2)空气是无色无味的。空气是无色无味的。 (3)(3)同旁内角相等吗同旁内角相等吗? ? (4)(4)两条直线被第三条直线所截。两条直线被第三条直线所截。 (5)(5)画线段画线段AB=5 cmAB=5 cm。 解析解析：(1)(1

9、)，(2)(2)是命题。因为它们都是命题。因为它们都 是具有判断性的陈述语句，其中是具有判断性的陈述语句，其中(2)(2) 不是数学命题不是数学命题(3)(3)，(4)(4)，(5)(5)都不都不 是命题，因为它们都不是判断性语是命题，因为它们都不是判断性语 句，句，(3)(3)是疑问句，是疑问句，(4)(4)是描述一个是描述一个 状态的语句，状态的语句，(5)(5)是叙述一个过程的是叙述一个过程的 语句语句。 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命 题。要判断一个命题是真命题需要进行证明，题。要判断一个命题是真命题需要进行证明， 而判断一个命题是假命

10、题只要举出一个反例而判断一个命题是假命题只要举出一个反例 就可以了。就可以了。 例例2 2 下列各命题是真命题还是假命题下列各命题是真命题还是假命题? ? (1)(1)相等的角是对顶角。相等的角是对顶角。 (2)(2)四边形的内角和是四边形的内角和是360360。 。 。 (3)(3)内错角相等。内错角相等。 (4)(4)菱形的对角线相等。菱形的对角线相等。 解析解析：不能认为肯定的命题就是真命题，否定的命题：不能认为肯定的命题就是真命题，否定的命题 就是假命题，就是假命题，(1)(1)假命题。如下图假命题。如下图 1 1：1 2 2，但，但 1 1和和 2 2并不是对顶角；并不是对顶角；(2

11、)(2)真命题。如图真命题。如图2 2，一条对，一条对 角线可以把一个四边形分成两个三角形，由每个三角角线可以把一个四边形分成两个三角形，由每个三角 形内角和为形内角和为l80l80。 。可知四边形内角和为 可知四边形内角和为360360。 。； ；(3)(3)假命假命 题。如图题。如图3 3，若直线，若直线，ABAB与与CD CD 不平行，则不平行，则 l l 2 2。 (4)(4)假命题。该题主要考查菱形和正方形性质的区别，假命题。该题主要考查菱形和正方形性质的区别， 当菱形不是正方形时该命题是错误的。当菱形不是正方形时该命题是错误的。 每个命题都是由题设每个命题都是由题设( (条件条件)

12、 )和结论两部分构和结论两部分构 成的，有些命题常常写成成的，有些命题常常写成“如果如果 那么那么 ” ”的形式。具有这种形式的命题中，的形式。具有这种形式的命题中， “如果如果”部分是题设。就是命题证明中的部分是题设。就是命题证明中的 “已知已知”；“那么那么”部分是结论，就是命题部分是结论，就是命题 证明中的证明中的“求证求证” 例例3 3 将下列命题改写成将下列命题改写成“如果如果 那么那么 ” ”的形式，并指出题设与结论。的形式，并指出题设与结论。 (1)(1)两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。 (2)(2)直角都相等。直角都相等。 (3)(3)平行于同一条直线的两条直线

13、平行。平行于同一条直线的两条直线平行。 v解析解析：命题改写不是机械地添加：命题改写不是机械地添加“如果如果”、 “那么那么”，改写时要注意：，改写时要注意： 改写前后命题的内容应相同。改写前后命题的内容应相同。 改写后的命题要句子完整，语句通顺。改写后的命题要句子完整，语句通顺。 改写后命题的题设和结论要表达清楚，必改写后命题的题设和结论要表达清楚，必 要时要作一些要时要作一些“修饰修饰”，补充上原命题省略，补充上原命题省略 的部分。的部分。 当命题的题设和结论不够明显时，可以从当命题的题设和结论不够明显时，可以从 命题究竟判断了一件什么样的事情人手进行命题究竟判断了一件什么样的事情人手进行

14、 分析，进而分清题设和结论。分析，进而分清题设和结论。 (1)(1)改写后的命题是：如果两直线平行，那么改写后的命题是：如果两直线平行，那么 内错角相等。命题的题设是内错角相等。命题的题设是“两直线平行两直线平行”， 结论是结论是“内错角相等内错角相等”。 (2)(2)改写后的命题是：如果几个角都是直角，改写后的命题是：如果几个角都是直角， 那么这些角都相等。命题的题设是那么这些角都相等。命题的题设是“几个角几个角 都是直角都是直角”，结论是，结论是“这些角都相等这些角都相等”。 (3)(3)改写后的命题是：如果两条直线平行于同改写后的命题是：如果两条直线平行于同 一条直线，那么这两条直线平行

15、。命题的题一条直线，那么这两条直线平行。命题的题 设是设是“两条直线平行于同一条直线两条直线平行于同一条直线”，结论，结论 是是“这两条直线平行这两条直线平行”。 5 5、如何学习命题、如何学习命题 v命题学习是命题学习是“学习以命题形式表达观念的新学习以命题形式表达观念的新 意义意义”。学生进行命题学习时，所学习的命。学生进行命题学习时，所学习的命 题与他们认知结构中已有概念或命题会建立题与他们认知结构中已有概念或命题会建立 起联系。起联系。 v奥苏贝尔认为，根据新学习命题与已有概念奥苏贝尔认为，根据新学习命题与已有概念 或命题之间的关系（下位关系、上位关系、或命题之间的关系（下位关系、上位

16、关系、 组合关系），可以分为三种类型的命题学习。组合关系），可以分为三种类型的命题学习。 下位学习、上位学习、组合（并列）学习。下位学习、上位学习、组合（并列）学习。 （1 1）下位学习下位学习：把新知识归属认知结构的适：把新知识归属认知结构的适 当部位，并使之相互联系的过程称之为类属当部位，并使之相互联系的过程称之为类属 过程，通过类属过程获得有意义的学习就是过程，通过类属过程获得有意义的学习就是 下位学习。下位学习。 派生下位学习派生下位学习，这种学习模式中，原有，这种学习模式中，原有 的上位概念并没有发生质的变化，但其有更的上位概念并没有发生质的变化，但其有更 强的概括性、包容性和广泛的

17、可迁移性；强的概括性、包容性和广泛的可迁移性； 相关下位学习相关下位学习，在相关下位学习中，上，在相关下位学习中，上 位概念必须在实质上做适当调整，才能同化位概念必须在实质上做适当调整，才能同化 新概念。新概念。 （2 2）上位学习上位学习：上位学习是通过对已有观念：上位学习是通过对已有观念 的归纳、综合与概括，改进原有的认知结构的归纳、综合与概括，改进原有的认知结构 为新的认知结构。为新的认知结构。 （3 3）组合（并列）学习组合（并列）学习：当新概念与认知结：当新概念与认知结 构中原有概念在意义学习中可能产生结合意构中原有概念在意义学习中可能产生结合意 义时，这种学习便称之为组合学习。义时

18、，这种学习便称之为组合学习。 v1 1、数学命题学习的认知模式、数学命题学习的认知模式 数学命题学习主要分为数学命题学习主要分为命题获得、命题命题获得、命题 证明、命题应用证明、命题应用三个阶段。三个阶段。 （1 1）命题获得命题获得的认知分析的认知分析 命题获得的基本形式是命题获得的基本形式是呈现式和发生式呈现式和发生式。 呈现式呈现式：就是教师直接将学习的命题展现给：就是教师直接将学习的命题展现给 学生，学生通过表征、联想获得命题意义的学生，学生通过表征、联想获得命题意义的 方式。方式。 v命题获得的心理过程分析：命题获得的心理过程分析： 辨别辨别表征表征联想联想同化同化产生产生 对命题证

19、明的心向等对命题证明的心向等。 呈现式命题学习对应的是奥苏贝尔的呈现式命题学习对应的是奥苏贝尔的“有有 意义接受学习意义接受学习”理论。要真正实现有意义理论。要真正实现有意义 学习，应当满足一些条件：学习，应当满足一些条件： 第一，第一，外部条件外部条件，学习材料必须具有逻辑意，学习材料必须具有逻辑意 义；义； 第二，第二，内部条件内部条件，学习者要有有意义学习的，学习者要有有意义学习的 心向。心向。 发生式发生式：就是将命题产生的过程揭示出来，：就是将命题产生的过程揭示出来， 使学生在体悟命题发生和发展的认识中获得使学生在体悟命题发生和发展的认识中获得 命题的学习方式称之为发生式。命题的学习

20、方式称之为发生式。 发生式命题获得过程中，知觉、直觉和猜发生式命题获得过程中，知觉、直觉和猜 想三种心理因素相互交织，循环出现。想三种心理因素相互交织，循环出现。 2 2、命题证明的认知分析、命题证明的认知分析 v命题证明是在命题的条件集和结论集明确的命题证明是在命题的条件集和结论集明确的 前提下，依据逻辑规则进行推理的活动过程。前提下，依据逻辑规则进行推理的活动过程。 命题的证明就是将命题作一系列的化归过程，命题的证明就是将命题作一系列的化归过程， 其结构是由这些化归命题组成。其结构是由这些化归命题组成。 一般地，一个命题一般地，一个命题A B,A B,中间要经历许多步中间要经历许多步 骤骤

21、: : A AA A1 1 A A2 2 A A3 3 A A4 4 A A5 5 A A n n B B 三、数学命题教学原则与策略三、数学命题教学原则与策略 1 1 、数学命题教学原则、数学命题教学原则 主体性原则主体性原则 建构性原则建构性原则 求异性原则求异性原则 过程性原则过程性原则 主体性原则主体性原则 v 学生是学习的主体、发展的主体，学生的学生是学习的主体、发展的主体，学生的 学习和发展，只有通过他们自己的学习实践学习和发展，只有通过他们自己的学习实践 活动才能实现。教师包办替代学生的学习实活动才能实现。教师包办替代学生的学习实 践活动，必然导致命题教学的失败。因而主践活动，必

22、然导致命题教学的失败。因而主 体性原则是实施数学命题教学时首先要考虑体性原则是实施数学命题教学时首先要考虑 的。的。 贯彻这一原则，可以考虑以下两点贯彻这一原则，可以考虑以下两点： v一是要让学生成为学习的主人，充分调动其一是要让学生成为学习的主人，充分调动其 学习数学命题的积极性、主动性和创造性；学习数学命题的积极性、主动性和创造性； v二是要发扬教学民主，使学生在课堂教学中二是要发扬教学民主，使学生在课堂教学中 的心态和思维是开放的，能自由地、相对独的心态和思维是开放的，能自由地、相对独 立地探究数学命题的产生、发展和应用。立地探究数学命题的产生、发展和应用。 建构性原则建构性原则 v建构

23、主义认为个体知识是经验性实在，建构主义认为个体知识是经验性实在， 知识不能离开认知者而独立存在，知识知识不能离开认知者而独立存在，知识 的学习过程有赖于学习者主动的建构。的学习过程有赖于学习者主动的建构。 而建构就是要根据个体已有的知识经验而建构就是要根据个体已有的知识经验 形成对客观实在的看法和观点。形成对客观实在的看法和观点。 v正是在建构对知识理解的过程中，学生正是在建构对知识理解的过程中，学生 们才有可能形成自己对知识的独特理解，们才有可能形成自己对知识的独特理解， 对知识与经验产生创新性组合，从而使对知识与经验产生创新性组合，从而使 学习活动由建构走向创造。因此，在数学习活动由建构走

24、向创造。因此，在数 学命题的学习过程中，遵循建构性原则，学命题的学习过程中，遵循建构性原则， 把建构作为一种认知方式，有助于形成把建构作为一种认知方式，有助于形成 个人对数学命题的独特认知和理解，因个人对数学命题的独特认知和理解，因 而催生出创造性观点。而催生出创造性观点。 求异性原则求异性原则 v创造的本质就是求新，无新便无创造。创造的本质就是求新，无新便无创造。 “新新”就是就是“异异”，要培养学生的创造，要培养学生的创造 性，必须从培养学生的求异意识和求异性，必须从培养学生的求异意识和求异 能力开始，这就要求在教学中要启发学能力开始，这就要求在教学中要启发学 生进行发散思维和求异思维，使

25、学生思生进行发散思维和求异思维，使学生思 维从单一性向多维性发展。维从单一性向多维性发展。 过程性原则过程性原则 v教师应该通过适当的方法来暴露和揭示教师应该通过适当的方法来暴露和揭示 真实的数学思维过程，通过真实的数学思维过程，通过“过程过程”的的 辅佐，通过辅佐，通过“来龙去脉来龙去脉”的揭示，使学的揭示，使学 生知其然又知其所以然，由此学生的创生知其然又知其所以然，由此学生的创 新素质才能不断得到提高。新素质才能不断得到提高。 v创设问题情境，诱发创新意识创设问题情境，诱发创新意识 v引导自主探究，激励创新精神引导自主探究，激励创新精神 v启迪多向求解。培养创新思维启迪多向求解。培养创新

26、思维 v注重解后反思，优化创新品质注重解后反思，优化创新品质 v加强变式应用，发展创新能力加强变式应用，发展创新能力 v在交流中生成，在整合中提升在交流中生成，在整合中提升 创设问题情境，诱发创新意识创设问题情境，诱发创新意识 v在教学活动中，教师耍从学生的认知规律和在教学活动中，教师耍从学生的认知规律和 知识的内在联系出发，利用知识的发生、发知识的内在联系出发，利用知识的发生、发 展、深化过程，设计出适合展、深化过程，设计出适合 学生实际的教学学生实际的教学 情境。为学牛创设可激发探索欲和创造欲的情境。为学牛创设可激发探索欲和创造欲的 问题环境，使他们有积极主动地进行思考的问题环境，使他们有

27、积极主动地进行思考的 机会，以便经历新知识的探索过程。机会，以便经历新知识的探索过程。 引导自主探究，激励创新精神引导自主探究，激励创新精神 v数学命题教学过程中，围绕数学命题证明思数学命题教学过程中，围绕数学命题证明思 路的探求，教师应鼓励学生独立思考，引导路的探求，教师应鼓励学生独立思考，引导 学生自主探究，让学生亲身体验和感受数学学生自主探究，让学生亲身体验和感受数学 命题证明思路的探索和发现过程。命题证明思路的探索和发现过程。 启迪多向求解，培养创新思维启迪多向求解，培养创新思维 v多向求解之所以有助于发展学生的创新思维，多向求解之所以有助于发展学生的创新思维， 主要是因为它要求学生的思维活动不局限于主要是因为它要求学生的思维活动不局