人教版高数选修2-2第6讲：合情推理与演绎推理(学生版)—东直门仉长娜

1、合情推理与演绎推理13推理一般分为合情推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理 与演绎推理两类2合情推理归纳推理类比推理由某类事物的部分对象具有某些特由两类对象具有某些类似特定义征，推出该类事物的全部对象都具有征和其中一类对象的某些已这些特征的推理，或者由个别事实概知特征，推出另一类对象也具括出一般结论的推理有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1) 通过观察个别情况发现某些相同 性质；(2) 从已知的相冋性质中推出一个明确 的一般性命题(猜想)(1) 找出两类事物之间相似性 或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测 另一类

2、事物的性质，得出一个 明确的命题(猜想)3演绎推理(1) 定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理;(2) 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理;(3) 模式：三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：题型一归纳推理设 f(x) =13x+ 3,先分别求f(0) + f(1), f(- 1) + f(2), f(-2)+ f(3)，然后归纳猜想一般性结论,“三段论”的结构 大前提 小前提 结论已知的一般原理；所研究的特殊情况；根据一般原理，对特殊情况做出的判断大前提M是P.“三段论”的小前提S疋M.表示结论S是 P.并给出证明九-!1(1)观察下列等式1=

3、 12+ 3+ 4= 93 + 4+ 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+ 10 = 49照此规律，第五个等式应为 111*57已知 f(n)= 1 + 2+ 3+ n(n N ),经计算得 f(4)2 , f(8), f(16)3 , f(32)?,则有题型二类比推理例2已知数列an为等差数列，若 am = a, an= b(n m 1, m, n N*),则am+ n=类比等差数列an的上述结论，对于等比数列 bn( bn0，n N*)，若bm = c, bn= d(n m2, m, n N*),则可以得到bm + n =.门口-1|飞、(1)给出下列三个类比结论

4、： (ab)n= anbn 与(a+ b)n类比，则有(a+ b)n= an+ bn; loga(xy)= log ax+ log ay 与 sin( a+ 类比，则有 sin( a+ 3 = sin asin 3； (a+ b)2= a?+ 2ab + b?与(a+ b)?类比，则有(a + b)?= a?+ 2a b+ b?.其中结论正确的个数是()A. 0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆-a2 + b2直径，以此可求得外接圆半径r=2 (其中a, b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a, b,

5、 c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R=.题型三演绎推理例3已知函数f(x) 尹(。,且1).证明：函数y= f(x)的图象关于点(2, - 2)对称求 f(- 2)+ f(- 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3)的值.二已知函数 y= f(x),满足：对任意 a, b R, b，都有 af(a) + bf(b)af(b)+ bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.，窃当堂检测)A1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推

6、理()(3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4) “所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.()(5) 一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an= n(n N+).()2+f=2 誇，,3+8=3 ；3，；4+ 菁4 电，厂6+;=6 心a，b 均为实数)，则可以推测a = 35, b= 6.()2. 数列2,5,11,20, x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.273. 观察下列各式：55= 3125,56 = 15625,57= 78125,，贝V 52

7、 011的后四位数字为()A.3 125B.5 625C.0 625D.8 1254. （2013陕西）观察下列等式12= 112 22= 312- 22+ 32= 612 22+ 32 42 = 10照此规律，第n个等式可为 .5设等差数列an的前n项和为Sn,贝V S4, S8 S4 , % S8, 06 $2成等差数列.类比以上结论有设T16等比数列bn的前n项积为Tn,则T4, , ,花成等比数列.答案T8 T2I 4 I 8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn,贝V T4 = aia2a3a4, T$ = aia2a8,2= aia2ai2,T16= aia2a

8、16,T8_Ti2T16因此 h= a5a6a7a8,= a9aioaiiai2,= ai3ai4ai5ai6,T4T8T12而T4, T8, T，严的公比为q16,丨4 T 8 T12因此T4,TsT4T12T8 ,夢成等比数列.T12基础巩固A组专项基础训练（时间：40分钟）一、选择题1.（2012 江西）观察下列各式:a+ b=1,a2+b2= 3,a3+ b3= 4,a4+ b4=7,a5+ b5=11,，贝U a10+ b10等于（）A.28B.76C.123D.199答案 C解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面

9、 两个式子右端值的和，照此规律，则a10+ b10= 123.2定义一种运算“ * ” ：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1 , (2) (n +1) *1= n*1+1，则 n*1 等于2A.nB.n +1C.n 1D.n答案 A解析 由(n+ 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n 1)*1 + 1 = (n 2)*1 + 2=1*1+( n 1).又/ 1*1=1 , n*1 = n 3下列推理是归纳推理的是A. A, B为定点，动点 P满足|PA|+ |PB|= 2a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B. 由a1= 1, an = 3n 1，求出猜想出数列的前 n项和

10、Sn的表达式2 2C.由圆x2 + y2= r2的面积n2,猜想出椭圆 拿+古=1的面积S= jabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 BB是归纳推理，故解析 从S1, S2, S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理，所以应选B.4已知 ABC 中，/ A = 30 / B = 60 求证：ab. 证明：/ A= 30 / B = 60 ,A / B. a0)，且 f1(x) = f(x) = X2，当 n N 且 n 2 时,fn(x)= ffn-1(x)，则 f3(x) =猜想fn(x)(n N *)的表达式为 .xf2(x)=f(卫戸X3x+ 4.xf3(X)= ff2(

11、X) = f(3x+ 4)x3x+ 4x亠 + 2_7x+ 8 3x+ 4由所求等式知，分子都是x,分母中常数项为 2n, x的系数比常数项少1,为2n- 1,故 fn(x)=X2n 1 x + 2n 答案XX7x+ 82n 1 x+ 2n解析xf1(x)= x+ 2, fn(x)= ffn- 1(x)( n2),x8在平面几何中， ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为 詈=，把这个结论类比到空间:A CD B且与AB相交于点E,则类比在三棱锥A BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角得到的结论是答案BE= BCDEA S ACDA解析 易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等,V

12、e -BCDVe-acdBE_ 0BCDEA $ ACD又 BC2= AB2 + AC2,1AF2.三、解答题9已知等差数列an的公差d= 2，首项ai = 5.(1)求数列an的前n项和Sn；设 Tn=n(2an 5)，求Si,S2,S3,S4,S5；，T2,T3,T4,T5，并归纳出Sn 与 Tn的大小规律解(1)由于 a1 = 5, d = 2,nfn 1 Sn= 5n +2 x 2= n(n + 4).(2) / Tn= n(2an 5) = n2(2 n+ 3) 5 = 4n 2BD BC DC BC AB AC -1 AB2 + AC2 112 = 22 = 2 + 2AD AB

13、AC AB AC 猜想，四面体 ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE丄平面BCD,1111则 A?= A?+ A?+ 莎证明：如图，连接 BE并延长交CD于F，连接AF./ AB丄 AC, AB丄 AD , AB丄平面ACD. AB 丄 AF.在 RtA ABF 中，AE 丄 BF ,1 12=2+AE AB + n.二 T1 = 5, T2= 4X 22+ 2 = 18, T3= 4X 32+ 3 = 39,T4= 4X 42+ 4 = 68, T5= 4X 52+ 5= 105.S1 = 5, S2= 2 X (2 + 4) = 12, &= 3X (3 + 4) = 21,S4=

14、4X (4 + 4) = 32 , S5= 5X (5 + 4) = 45.由此可知S1= T1，当n 2时，SnTn.归纳猜想：当n= 1时，Sn= Tn；当n2, n N时，Sn0? ab”类比推出“若 a, b C,贝U a b0? ab” 其中类比结论正确的个数是()A0B1C2D3答案 C解析 正确，错误因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小2设 是R的一个运算，A是R的非空子集若对于任意a, b A,有a b A,则称A对运算 封闭下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()B.整数集D无理数集A.自然数集C. 有理数集 答案 C解析 A错：因为自然数集

15、对减法、除法不封闭； B错：因为整数集对除法不封闭； C对：因为任 意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭3平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为答案n2+ n+ 22解析 1条直线将平面分成1 + 1个区域；2条直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2) = 4个区域；3条 直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2+ 3) = 7个区域；，n条直线最多可将平面分成 1+ (1 + 2+ 32n(n+ 1 n + n+ 2+ + n) = 1+2=2个区

16、域.一n + 2*4. 数列 an的前n项和记为Sn,已知a1= 1, an+1= 一S(n N )证明:(1) 数列半)是等比数列;(2) Sn+ 1 = 4an.证明,n+ 2(1) - an+ 1 = Sn+ 1 Sn, an + 1 =门 Sn,(n+ 2)Sn = n(Sn+1 Sn),即 nSn+1= 2(n + 1)Sn.Sn + 1小故 n+i=2Sn石，(小前提)故孑是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)由(1)可知Sn+ 1 =n + 11n 1(n 2),Sn1n 1 + 25+1 = 4(n+ 1)= 4 Sn-1 = 4an(n

17、2).(小前提)n 1 n 1又a2= 3S1 = 3, S2= a1 + a2= 1 + 3 = 4= 4a1,(小前提)对于任意正整数 n,都有Sn+1 = 4an.(结论)5. 对于三次函数f(x) = axf(2 013)+ f(2 013) = 2. + bx 012 1 _+ cx+ d(a丰0),给出定义：设f (x)是函数y= f(x)的导数，f (x)是f (x) 的导数，若方程f (x)= 0有实数解xo,则称点(xo, f(xo)为函数y= f(x)的“拐点”.某同学经过探 究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x) = ,3 x2 + 3x ,请你根据这一发现,321213125(1)求函数f(x)= ?x + 3x 12的对称中心;12342 012计算 f(2 013)+ f(2 013) + f(2 013) + f(2 013)+ f(2 013).解 (1)f (x) = x2 x+ 3, f (x)= 2x 1,1由 f (x) = 0,即 2x 1 = 0,解得 x = ?.)=3x (1)3 - 1x(2)2+3 x 2-11=1.由题中给出的结论，可知函数f(x) = ,3