4335091861232233平面向量的正交分解及坐标表示及平面向量的坐标运算

1、平面向量的坐标表示及运算平面向量的坐标表示及运算 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 复习复习 1,平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一，有且只有一 对实数对实数1，2 使使a= 1 e1+ 2 e2 2.共线向量定理共线向量定理 向量向量a(a0)与与b共线，当且仅当有唯一一个共线，当且仅当有唯一一个 实数实数，使，使_ba 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向

2、量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条 件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. 1,2是被 a ,e1、 e2唯一确定的数量。 a= 1 e1+ 2 e2 复习复习 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 g=f1+f2 f1 f2 g g=f1+f2叫做重力叫做重力g的分解的分解 类似地，由平面向量的基本定理，对平类似地，由平面向量的基本定理，对平 面上的任意向量面上的任意向量a，均可以分解为不共线的，均可以分解为不共线的 两个向量两个向量1a1和和2 a2,使使a=1a1 + 2 a2 新课引入新课引入 g与

3、与f1,f2有什么关系有什么关系? 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 把一个向量分解为两个互相把一个向量分解为两个互相垂垂 直直的向量的向量,叫做把向量叫做把向量正交分解正交分解 若两个不共线向量互相垂直时若两个不共线向量互相垂直时 a 1a1 2 a2 f1 f2 g 正交分解正交分解 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 我们知道，在平面直角坐标系，每一个我们知道，在平面直角坐标系，每一个 点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示， 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？ 在平面上，

4、如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 y x a a 如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原 点点o为起点作为起点作oa=a，则点，则点a的位的位 置由置由a唯一确定。唯一确定。 y xo j i 设设oa=xi+yj，则向量，则向量oa的坐标的坐标 （x,y)就是点就是点a的坐标；的坐标； a (x,y) 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。以用一对实数唯

5、一表示。 反过来，点反过来，点a的坐标（的坐标（x,y)也就是向也就是向 量量oa的坐标。的坐标。 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 i= j= 0= ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 0 ) a y o x xi yj j i a = ( x, y ) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 y o x a j i xi yj xi yj b 向量向量a、b有什么关系有什么关系? ab 能说出向量能说出向量b的坐标吗的坐标吗? ? b=( x,y ) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 2.3.2（3）平面向量的坐标表示及）平面向量的坐标表

6、示及 运算运算 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 学习导航学习导航 预习目标预习目标 重点难点重点难点 重点：向量的坐标表示重点：向量的坐标表示 难点：向量的坐标运算法则难点：向量的坐标运算法则 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 新知初探思维启动新知初探思维启动 1.平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个把一个向量分解成两个_的向量，的向量， 叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解 2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标向量的直角坐标 互相垂直互相垂直 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 在平面直角坐标系中

7、，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x轴、轴、y轴方轴方 向相同的两个向相同的两个_i、j作为作为 基底，对于平面内的一个向量基底，对于平面内的一个向量a，由平面向，由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得使得 a_，则把有序数对，则把有序数对_叫叫 做向量做向量a的坐标的坐标 单位向量单位向量 xiyj(x，y) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 (2)向量的坐标表示向量的坐标表示 在向量在向量a的直角坐标中，的直角坐标中，_叫做叫做a在在x轴上的轴上的 坐标，坐标，_叫做叫做a在在y轴上的坐标轴上的坐标,_ 叫做向量的坐标表示叫做向

8、量的坐标表示 (3)在向量的直角坐标中，在向量的直角坐标中，i(1，0)，j _，0 (0，0) x ya(x，y) (0，1) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 想一想想一想 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 向量的向量的 加、减加、减 法法 若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab _，ab _即两个即两个 向量和向量和(差差)的坐标分别等于这两个向的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和量相应坐标的和(差差) (x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量

9、实数与实数与 向量的向量的 积积 若若a(x，y)，r，则，则a _，即实数与向量，即实数与向量 的积的坐标等于用这个实数乘的积的坐标等于用这个实数乘 原来向量的相应坐标原来向量的相应坐标 (x，y) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 做一做做一做 已知已知a(1，2)，b(1，3)，则，则a2b _ 解析：解析：2b(2，6)，a2b(1，2)( 2，6)(12，26)(1，8) 答案：答案：(1，8) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 已知已知 ，求，求 的坐标的坐标. . ab o x y b(x2,y2) a(x1,y1) aboboa 结论结论:一个向

10、量的坐标等于表示此向量的有向线段终一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终 点的坐标减去始点的坐标。点的坐标减去始点的坐标。 1122 ( ,), (,)a x yb xy 2,211 ()( ,)x yx y 2121 (,)xx yy 想一想想一想 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 典 题 例 证 技 法 归 纳典 题 例 证 技 法 归 纳 在直角坐标系在直角坐标系xoy中，中， 向量向量a，b，c的方向如图所示，的方向如图所示， 且且|a|2，|b|3，|c|4，分，分 别计算出它们的坐标别计算出它们的坐标 向量的坐标表示向量的坐标表示 栏目栏目 导引导引 第二章平面向

11、量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 【名师点评】【名师点评】向量的坐标表示是向量的另向量的坐标表示是向量的另 一种表示方法，当向量的始点在原点时，终一种表示方法，当向量的始点在原点时，终 点坐标即为向量的坐标点坐标即为向量的坐标 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 变式训练变式训练 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 设向量设向量a、b的坐标分别是的坐标分别是(1，2)，(3，5)， 求求ab，ab，3a，2a3b的坐标的坐标 【解】【解】ab(1，2)(3，5)(13，25) (2，3)； ab(1，2)(3，5)(13，25)(4

12、，7) 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 3a3(1，2)(3，6)； 2a3b2(1，2)3(3，5) (2，4)(9，15) (29，415)(7，11) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 变式训练变式训练 2.若若ab(3，4)，ab(5，2)，则向，则向 量量a_，向量，向量b_ 解析：解析：ab(3，4)， ab(5，2) 答案：答案：(1，1)(4，3) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 向量坐标的应用向量坐标的应用 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 解题流程解题流程 栏目栏目 导

13、引导引 第二章平面向量第二章平面向量 名师批注名师批注 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 名师批注名师批注 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 名师批注名师批注 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 【名师点评】【名师点评】(1)如果两个向量是相等向量，如果两个向量是相等向量， 那么它们的坐标一定对应相等当平面向量那么它们的坐标一定对应相等当平面向量 的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向 量的有向线段终点的坐标相同量的有向线段终点的坐标相同 (2)证明一个四边形为平行四边形，可证明该证明一个四边形为平行四边形，可

14、证明该 四边形的一组对边所对应的向量相等四边形的一组对边所对应的向量相等 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 变式训练变式训练 4.已知向量已知向量u(x，y)和向量和向量v(y，2yx)的的 对应关系用对应关系用vf(u)表示表示 (1)若若a(1，1)，b(1，0)，试求向量，试求向量f(a)及及 f(b)的坐标；的坐标； (2)求使求使f(c)(4，5)的向量的向量c的坐标的坐标 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向

15、量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 随堂即时演练随堂即时演练 d 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 2设平面向量设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则，则a2b() a(6,3)b(7,3) c(2,1) d(7,2) 解析：解析：选选 a(3,5)，b(2,1)， a2b(3,5)2(2,1)(3,5)(4,2)(7,3) b 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向

16、量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 方法技巧方法技巧 1.向量的正交分解是平面向量分解中常见的向量的正交分解是平面向量分解中常见的 一种情形，即基底一种情形，即基底i，j垂直的情况单位正垂直的情况单位正 交基底坐标：交基底坐标： i(1，0)，j(0，1),零向量坐标零向量坐标0(0，0). 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 2.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘 运算法则进行若已知有向线段两端点的坐运算法则进行若已知有向线段两端点的坐 标，则应先求出向量的坐

17、标，解题过程中要标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要 注意方程思想的运用及正确使用运算法则注意方程思想的运用及正确使用运算法则 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 失误防范失误防范 1.点的坐标与向量坐标的联系与区别点的坐标与向量坐标的联系与区别 (1)表示形式不同，向量表示形式不同，向量a(x，y)中间用等中间用等 号连接，而点的坐标号连接，而点的坐标a(x，y)中间没有等号中间没有等号. (2)意义不同意义不同,点点a(x，y)的坐标的坐标(x，y)表示点表示点a 在平面直角坐标系中的位置，在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的坐的坐 标标(x，y)既表示向量的大小既表示向量的大小,也表示向量的方也表示向量的方 向向,另外另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向既可以表示点，也可以表示向 量，叙述时应指明点量，叙述时应指明点(x，y)或向量或向量(x，y) 栏目栏目 导引导引 第二章平面向量第二章平面向量 (3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面联系：当平面向量的起点在原点时，平面 向量的坐标与向量终点的坐标相同