一元二次方程及解法经典习题及解析

1、春秋雨露学苑 知识归纳1一元二次方程的概念 只含有 个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元 二次方程 注意 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数 2一元二次方程的解法 一元二次方程有四种解法： 法、 法、 法和 法公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注注意 牢记使用公式(2)、bc的值；意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、0. 4acb2的前提是 b24ac 一元二次方程根的判别式30?ax2bxc0(a0)有 (1) 的实数根； 0?ax2bxc0(a0)

2、有 (2) 的实数根； 0?ax2bxc0(a0) (3) 实数根 4一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程axbxc0(a0)的两根为x、x，则两根与方程系数之间有如221下关系：xx ，xx . 2211 注意 它成立的条件：二次项系数不能为0；方程根的判别式大于或等于0. 四大解法 1 春秋雨露学苑 一、开平方法 方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a0) 二、配方法 “配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解 1. 化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方，求解

3、三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-方程的右边=0; 二分-方程的左边因式分解; 三化-方程化为两个一元一次方程; 四解-写出方程两个解; 2 春秋雨露学苑 解题技巧：, 先考虑开平方法; 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法 一元二次方程及解法经典习题及解析 一、填空题： 1下列方程中是一元二次方程的序号是 22220?45xx?01?33x

4、x?5yx?2 1x2322x)5?x2?1?0。x(xx3?4x5?3x4?x 22x2a1x?2ax?(a?5) 2已知，关于2的方程 是一元二次方程，则 22?k05?3x?(k?)x?(k?4) X的一元二次方程 3当时，方程不是关于 ， ， 4解一元二次方程的一般方法有 ， 2)?00(aax?bx?c? 一元二次方程5 的求根公式为： 20?3x?2x 6(2004沈阳市)方程 的根是 20?23x?6x?2x 7 不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 20?x?5x?k 有实数根，则k的取值范围是 )8(2004锦州市若关于X的方程 22m02)?)1x?(m?2x?(m?

5、有实数根时，方程 9已知：当 2220k?4)(kx?)?(k1x2? x关于10的方程的根的情况是 二、选择题：3 春秋雨露学苑 221)?(x?2x?4x?a) ( 成立，则11(2004北京市海淀区)若a的值使得a的值为2 3 D CA5 84 220c?bxx?3?3xax) 12把方程( b、c的值分别为后，化为a、A.0.?3.?3B.1.?3.?3C.1.3.?3D.1.?3.?3 2?x?x0的解是( 13方程 ) A.xB.x?0D.x?11?C.x?0,x 土=1 21 有两个不相等的实数根，则 k的取(2006广安市)关于X的一元二次方程14A.k?1B.k?1D.k?1

6、k.k?0?0C? 且 ) 值范围是( 2?2x?3x?0的两个根分别为( 15(2006广州市)一元二次方程 ) B.x?1,x?3C.x?1,x?3D.x?1,x?33?A.x1,x 211212212222.x?25?)?0;12x12x?1?0;(2?3)?3(3x?2x?7?0;9x?7x 解方程16) 较简便的方法是( 依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法 A 依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 B C.用公式法，用因式分解法用直接开平方法， D.用因式分解法用直接开平方法，用公式法， 2?8x?7?x0.则方程可变形为( 云南省17(2004)用配方法解一元

7、二次方程) 2222?578)16D.(x)?9C.(x?8)?A.(x?4)?9B.(x4 20?1x?2x(1?k) k18一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( A.k?2B.k?2C.k?2D.k?2k?1k?1? 且 且 19下列方程中有两个相等的实数根的方程是( ) 22?2x?3B9?0.x?0xA.4x?12? 22?2x?7.Dx?002x.Cx? 4 春秋雨露学苑 20?x?x4?2) 20(2004大连市)一元二次方程的根的情况是( 有两个相等的实数根 B A有一个实数根 没有实数根 DC有两个不相等的实数根 ) 21下列命题正确的是( 21x?2.1B?x。

8、.2x?A 只有一个实根 有两个不等的实根 1x?220?4?3xx?3?02x C方程无实根 D方程有两个相等的实根 三、解答题：2.?2?2xx )解方程22(2006浙江省 2;?012x?(1)3x15?2;0?5?2)2x?11x( 用因式分解法解方程：23.?15?1)8x(2x(3 的方程：24解关于2);0(m?x)?0(1)mx(x?c)?c? 2).0m?n?0)2mx(?(m?n)x(? 不解方程，判别下列方程根的情况252?25x?x2)3?0;(52(1)x(x?3)? 22?y(y?21)?0.y(4)(20x(3)9x?12?4?;? 22,?03xk2?1)?k

9、?(x? 为何值时，当z26已知关于的方程k? (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根5 春秋雨露学苑 222.36?12a?12a9?a?4a0?24xa?2ax?3? 化简a是实数，已知：无实根，且2720?k?4)(k?1)x?(x? 并求出这时方程的根k取何值时，方程有两个相等的实数根?2820m?1?m?3)x?3x?(2 的方程有两个不相等的实数根29求证：关于2203?k(k?1)?2x?(2k?1)x?4 为何值，方程都没有实数根30求证：无论k220)?x?(ab?c(x?a?b)cab必有两个实数根，并求两根相等是实数时，求证：方

10、程31当 的条件206?mx?4)?x2x( m的最小整数值32如果关于z的一元二次方程没有实数根，求n?24m01?mm?3)x?1)x?( 是关于x33方程的一元二次方程，则 ,n 2;?12x?3)?mx?m(x2)?x( 的方程34关于zm 时，这个方程是一元二次方程； (1)当 m 时，这个方程是一元一次方程 (2)当 2k?,2?1x?kk(2?1)xx? 已知方程则的根是35二、选择题： 2?6x?5?0x的左边配成完全平方后所得方程为( ) (200436郴州市)方程22?)14x?3)3?14B.(A.(x? 12?6)C.(x D以上答案都不对 22mx?2(3m?1)x?

11、9m?1?0有两个实数根，则m的范围为( 37已知：关于2的方程 ) 1111m?0C.m?D.m?BmA.?m.? 且 55552?ABC(c?b)x?2(b?a)x?a?b?0有两个相等实数根，、38已知ab、c且方程是的三条边，那么，这个三角形是( ) A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 220m?)?2?x(m1x的已知关于)海南省39(20042有两个不相等的实数根，那么的方程m6 春秋雨露学苑 ) ( 最大整数值是1.C.0D?A.2B.?1 用因式分解法解下列方程：4020?x?3?3)?x(1)4(x9?3x7x(x?3)(2) 222.3)?(2x?2

12、5;(4)25(3x?2)(3)16(1?x 2.?05|x|?4x? 41解方程22?y9,x?10xy?0yx9?;yx?已知方程或(1) 求证：42322z?2x?,z?0?5xz?64x.?zx 已知方程求证：或(2) 420)?2m?1?m?1)x4mx?(2(? 有两个不相等的实数根43m为何值时，方程20?m?2m?1)x?2mx( m有实根，求的取值范围44已知方程1220?a?(a?1)xx? 有两个不相等的实数根，试化简代数式45若关于2的方程 422.4a4a?12a?9?1?4a? 222?4m?5mx?4m?mx0?4x?4?0x?4的根都是整数46、当m是什么整数时，与? 220149?88x?34y14x?4xy?11y? 的实数解47求方程2222220?c?a)x?c?bx(b 无实根、c为三角形的三条边长求证：方程a48设、62222222ABC?0?