word完整版专题椭圆的离心率解法大全推荐文档

1、，利用定义求椭圆的离心率1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍,专题：椭圆的离心率则椭圆的离心率 e22,椭圆42ym1的离心率为解析当焦点在x轴上时,v4m2m 3 ；当焦点在y轴上时，5416m 3综上m 16或33,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是24,已知m,n,m+n成等差数列，m, n, mn成等比数列，则椭圆 m2J 1的离心率为n2n解析由n22mm2nmn2，椭圆4m2仝 1的离心率为n1 25, 已知12m nx26, 设椭圆a1(m0.n0)则当mn取得最小值时，椭圆2x2m2y2n1的的离心率为(a b 0)的右焦点为F1,右准线为距离，则椭圆的

2、离心率是-。2l彳，若过F且垂直于x轴的弦的长等于点 F1到I 1的,运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1,在 Rt ABC 中， A 90 , AB AC 1 ,如果一个椭圆过 AB两点,它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率e 76 732,如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点，直线 则椭圆的离心率为AB1与BF交于D,且BDB190 ,解析b ( b)a c3,以椭圆的右焦点75 12F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于2 2a c ac eN两点，椭圆的左焦点为F1,直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是43 1变式(1):以椭圆的一个焦点F为

3、圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M N两点，如果I MFI = I mo，则椭圆的离心率是灵12 2Fi、F2，以FiF2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则X y4,椭圆 + *=1(ab 0)的两焦点为 a b椭圆的离心率e?2。附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法1类似)解：！ FiF2 I =2c I BFi I =c I BF2 I/3cc+寸3c=2ae=解：TI a2=5c2变式(3):F2，点P在椭圆上，使OPF为正三角形，求椭圆离心率?又/ b= qa2-c2 2Xy变式(1):椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 Fi、a b解：连接

4、 PF2 ,贝,of I = I of I = I OP| , / FiPR =90X2y2_变式(2) 椭圆 + 土严=1(ab 0)的两焦点为Fi、 a bPF2 / ab,求椭圆离心率？b2PFi I =I F2 Fi I =2c I OB I =b I OA I =a a=迈e=5将上题中的条件“ PF2 / AB”变换为“ PO /图形如上图，e3-1F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF丄X轴,PF 2 / ab I TF =-I F2 Fi I aAB (O为坐标原点)”2 2Xy相似题：椭圆厂+ =1(ab 0) , a是左顶点，F是右焦点, a b解: I AO

5、 I =a I of I =c I BF I =a | AB | “応B是短轴的一个顶点，/ ABF=90，求e?a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a22+e-1=0 e= -1 +护 e=仝詳(舍去)X?21+ /5变式(1):椭圆 L +”=1(ab 0) , e=- +, a 是左顶点，a b2点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案: 引申：此类二殍1的椭圆为优美椭圆。性质：(1)/ ABF=90(2) 假设下端点为 B ,则ABFB四点共圆。(3) 焦点与相应准线之间的距离等于长

6、半轴长。2 2 变式(2):椭圆X- 与 l(a b 0)的四个顶点为 A、B C、a2 b2J 5 1椭圆的离心率e = _.2F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF?90D若四边形ABCD勺内切圆恰好过椭圆的焦点，则提示：内切圆的圆心即原点，半径等于C,又等于直角三角形但r caob斜边上的高，.由面积得：ab r Ja2 b2 ,X2 y24,设椭圆 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F,、F2 , a b的取值范围。如果椭圆上存在点P,使F1PF290，求离心率e解：设 P x,y , F1c,0 , F2 c,0 法1:利用椭圆范围。由 RP F2P得X2y2c2，将这个方程

7、与椭圆方程联立，消去y,可解得X22 2 a c2 aa2b22/2 2、a (c a )e由椭圆的性质知0X2a2，得以e匹,)。2法2:判别式法。2由椭圆定义知 |PF i| | PF2| 2a |P Fi|2 | PF2|2 2| P Fj PF21 4a2，又因为FiPF90可得 |PFi |2 |PF2|22、OU 2C ) 2b ,2 2 2|FiF2| 4c ,则 |PFi| PF2| 2(aPFi , PF2是方程z2 2az 2b20的两个根，则2 24a 8(ae242e 2解法3:正弦定理设记 PR F2PF2F1，由正弦定理有|PFi|IPF2I1 FiF2 |P Fi

8、| | PF2Isinsinsin 90sin sinIF1F2I又因为 |PFi | |P F2I 2a,|FiF2| 2c，且90sin1sin1sin cos则乎 sin( ) 1 , 1 V2si n(所以解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有2a |PFi| |PF2I平方后得4a2 |P Fi|2 | PF2|2 2|P Fj PF? 2(| PFi|2 | PF?2) 2|吋2|2 8c2得C 1所以有e俘,1)a2解法6:巧用图形的几何特性由 F1PF2 90，知点P在以|Fi F2| 2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点X2y2变式(1):圆0 + bL=1

9、(ab 0)的两焦点为点，且/ PFiF2 =5 / PFaFi ,求椭圆的离心率分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 I FiPIsin F 1F2P解：由正弦定理:I F1F2 Isin F iPHFiP，故有c bc2 b2 a2 c2(-C, 0)、F2(c,0) , P是以I FiF2 I为直径的圆与椭圆的一个交PF2sin P FF2根据和比性质:I F1F2 I 二 sin F iPR =FiP I + I PF2 IsinF iF2P+sin PF 1F2变形得:sinF 1PF2/ PFiF2 =75/ PF2F1 =15e=sin90 sin75 +sin15点评：

10、在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知I F1F2 II PH I + I FiP I sin F 1F2P +sin PF 1F23sin F 1PF22c =e 2ae=sin F 1F2 P +sin PF 1F22 2FiPFa =60 ，求x y变式(2):椭圆 产 + E厂=1(ab 0)的两焦点为Fi (-c , 0)、F2 (c,0) , P是椭圆上一点，且/椭圆离心率e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设/ FiF2P=a，则/F2F1 P=120 - asin F 1PF2sin 60e=sin F 1F2P +sin PF 1F2 =sin a +sin(120

11、 - a )1 、12sin( a +30 ) A 2卜 eb 0)的两焦点为F1则 e210e 3(-C，0 )、F2 (c,0)，0 e 0,1 所以e2s/75满足MFMF =0的点M总在椭圆内部，贝U eM在圆O上，与椭圆没有交点。解： c2c2 0eb 0)的两焦点为F1恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直, 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求(-c，0)、F2 (c,0)，P为右准线2X三上一点,Fi P的垂直平分线解法一:既(若,F1(-c , 0) F 2 (c,0) P(2a则 PF1 =-(+c, yc2a,y0 ) M(

12、c找 a、b、e2a-c2 ，2丿c的不等关系。b22r-c,2a(严)(MF=-(2丿b2c)+PF1 -MF =0( +c,c220-=0a2-3c 2w 0yo)b22r-c,習 e一 c2a =2c| PF2 | -cc总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运 用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家 注意。9,如图，正六边形 ABCDE的顶点A D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点 心率的取值范围是 431解法 2:| FiF2I = 1 PF2 |2a则 2c -cc3

13、c3c2 a2 则申 eb 0)，过左焦点F1且倾斜角为60的直线交椭圆与 AB两点，若| RA | =2 | BR | ,求ab椭圆的离心率e的值解：设I BF I =m 则IAF I =2a-am |在 AFF2 及 BFiF2 中,由余弦定理得:BF2 I =2a-m2 2a - c =m(2a-c)2 22(a -c )=m(2a+c)2a c 1两式相除:+C- = 2-2e=3练习题:b 0）上有一点Fi, F2是椭圆的两个焦点,若 IMFLIMF222b，求椭圆的离心率.解析：由椭圆的定义，可得 MFMF22a 又 MFMF22b2，所以|MF|1 JMF是方程x2 2ax2b2

14、0的两根，由 （2a）24 2b20,可得a22b2,即 a22(c2 a2)所以 e所以椭圆离心率的取值范围是,1）232, 在 ABC 中， A 90, tanB M 若以 A,4ab 解析AB 4k, AC 3k,BC 5k,e AC BC3, 已知F1,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若为_.解析J31 三角形三边的比是1：J3：222x y,1( a b a b4,在平面直角坐标系中，椭圆作圆的两切线互相垂直,2解析电 J2aC则离心率25，在ABC 中,b为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e丄2PF1 F2 :PF2F1 :F1PF21:2:3,贝毗椭圆的离心率0）的焦距

15、为300,| AB| 2, S abc 込若以 A【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析SabclABI | AC |si nA 73 , | AC |AB|e| AC| |BC| 23 226,已知椭圆务a2，以 O为圆心，a为半径的圆，过点兰,0CB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率273 ,|BC| JIABI2 | AC |2 2|AB| |AC|cosA 22b 1（a b则该椭圆的离心率的取值范围为0）的左、右焦点分别为F1CQEC，0,若椭圆上存在一点p使帶解析在 PF1F2中，由正弦定理得PF2PFiPF1即 IPF2Icpf2，由椭圆的定义知|pf|aOo2，由解法三知C a IPF2IC a7,已知椭圆M :务asin PF1F2SinPF2F1，则由已知，得aIPF2I2a ,aP f2 I pf2I2a ,PF2C，即 aPh cPF2 ,PF12 a2V2 1 e 1椭圆的离心率e72 1,1 02b? 1（a b 0）的左、右焦点分别为F1c,0 , F2uur uuuuc,0 , P为椭圆M上任意一点，且PF1gPF22的最大值的取值范围是c2,3c2 ，其中 c“ar2，则该椭圆的离心率的取值范围为解析:设P X0,y0uLur uuju，则 PFiPF2222人:X0, y0 gc X0, y0 x y。