不等式知识结构及知识点

1、不等式知识结构及知识点总结一.知识结构二.知识点1、不等式的堆木性质 （对称性）abba （传递性）a b.b c = a c （可加性） aba+cb+c（同向可加性）a b, c d =acbd（异向可减性）3b、cb-d（可积性）a b,c Q = ac bea b, c ac d 0 = uc bd（异向正数可除性）ub00c2c d（平方法则）a b0 a bn（n e（开方法则） b 0 = /a /b（n e ?V. JUzi 1） b 0 - a b a ba b2、几个重要不等式a2+b2lab（af bwR）,（当且仅当a=b时取“=”号）.变形公式： （基本不等式）皿 （

2、a, bwR）（当且仅当a = b时取到等号）.变形公式：“ + Q2皿 肋彳用基本不等式求最值时（积左和最小，和泄积 最大）,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” （三个正数的算术一几何平均不等式）凹 亦（a、b、cw/T）（、勺且仅la = b = c3时取到等号） a2+b2+c2ab+bc+ca（af beR）（当且仅当a = b = c时取到等号）. a3+b3 +c3 3abc（a 0,Z 0,c 0）（当且仅当 a = b = c时取到等号）. 若血0,贝1 +巴22 （当仅当a=b时取等号）若V 0jlJ- + -2 （当仅当a=ba ba b时取等号） 1 /? 0, m

3、 0, n 0）规律：小于1同加则变大.大于a a + mb + n h同加则变小. 当“（J04.|a-|“O/“2Oa“；xax2 a O-axa. 绝对值三角不等式a-b aba+b.3、几个著名不等式平均不等式：_ 2/、何字忘3 bwRj,（当且仅当a = b时取”=”号）.（即调和平均生几何平均生算术平均平方平均）.八-u .ci + b dT +7 f （ci + b）变形公式：ab （ac +加）2 a /a c, d e R）.当且仅当ad = be 时，等号成立. 三维形式的柯西不等式：（肝+ + a/）（呼+ b22 +hf） （a山+ a2b2 +仏尸. 一般形式的柯西

4、不等式：+ a J + + ）（b+ bf +. + /?） （口血 + +. 向量形式的柯四不等式：设云,万是两个向量，则回芈问网，当且仅当万是零向量，或存在实数使云=审时,等号成立. 排序不等式（排序原理）：设a】a2 .an,b b2 .,cn是休仇,心的任一排列,+。2如1 + + anb M acx + a2c2 + + ancn afy + a2b2 + + anbn.(反序和 乱序和 （“ + ）2；2 42 将分子或分母放大（缩小），如丄 0（或v 0） H （）, = b2 -4ac 0）解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数二判：判断对应方程的根三求：求对应方程的根四画

5、： 画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式,把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶 结合原式不等号的方向，写出不等式的解集./(A) g(x) 一 k(x)*07、分式不等式的解法:先移项通分标准化,贝IJ（“V或时同理）请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解(心0)/0 l/Wf/0lfM/7a)cv)ru)o00 f(x)lg(x)2或心gCr) 0 77G7o贝 x)vg(x)F_/(x)

6、0(；，)Jf (x) Jg(x) O 0f(x)S(x)规律：把无理不等式星转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当 d 1 时，a/(x) ag(x o f(x) g(x)当 0 v d V1 时,afx) asix- o /(x) 0当 a 1 时，log J(X) log(i g(x) O g(JC) 0当 0 V d V1 时,/U)g(x)fix) 0log(兀) log. g(x) O 0八)g)规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：=)平方法：1 1 a (a 0)|/W| |g(x)| O f2(x) g2(x).

7、同解变形法，其同解迫理有：xaO-ax0);|x|f7x或0);|/(x)|g(x)Og(x)5f(x) g(x) 0 fix g(Y)或f (x) 0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、倾划收交如履门殳的M乩13、含参数的不等式的解法解形如ax2+bx + c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标 准有：讨论与0的大小：讨论与0的大小：讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式cix2+bx + c 0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当a=0时 =b = 0,c0;当qhO时不等式cv

8、r+bx+c 0的解集是全 = O,CVO；当dHO时A0.f（x）a恒成立0/（心沐；fM a恒成立o/aH d 恒成立 O /3min a /W a 恒成立 /CQmin 巴 CL15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平而区域的判断：法一：取点定域法：由于直线Ax + By + C = 0的同一侧的所有点的坐标代入A.x + By + C后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一 特殊点（兀，儿）（如原点），由A兀+ By。+ C的正负即可判断出A.x + By + C0 （或v0）表 示直线哪一侧的平而区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法

9、二：根据Ax + By + C 0（或0（或 0,则使目标函数z = Av + By所表示直线的纵截距最大的角点处，乙取得最大 值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值； 若B v 0,则使目标函数z = Ar + By所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小 值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距”型：z =+“斜率”型：或？ =“距离”型：乙=X + )或 z = yx2 + y2; Z = (x-a)2 + (y _b) 或乙= J(x_a$+(y_by.在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问 题简单化.

10、利用均值不等式:+ b2 2ab(a, b eR*)： a + b 2ab； ab (a, beR+)V 22q + b当且仅当a = b时等号成立。a2 +b2 +c2 ab + bc + ca(a, b wR)当且仅当a = b = c时取等号。I CCc nil b b + m ( a + n aa b 0 m 0, n 0,贝lj 1 0, 2-3x- -的最大值为x(设y = 2(3x + 5 2一2、直=2一4巧当且仅当3x = -, 乂x0, Ax = -H寸，ynux=2 4V5)x3又如：x + 2y = l,则2x+4y的最小值为(V 2X + 22y 2伊莎=20,最小值

11、为2佢)17.不等式证明的基本方法都掌握了吗？(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。如I： 证明1 +丄 + 丄 + 丄 223ir(1+ 丄 o(d h 0喲一般步骤是什么？g(x)(移项通分，分子分母因式分解，X的系数变为1,穿轴法解得结果J19. 用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切S从最大根的右上方开始如：(x + 1Xx-1)2(x-2)3 1或0al讨论21. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)例如：解不等式lx-3k|x + l|j)22. 会用不等式I “ I -IM a b凶“ I +1I证明较简单的不等问题如：设f(x) = x2 -x + 13,实数a满足lx-alv 1 求证：|f(x)-f(a)| 2(lal+l)=l(x 一 a)(x + a - 1)1 (.lx - al 1) 证明：lf(x) - f(a)l=l(x2 一 x + 13) 2 _ a + 13)1 =lx allx + a lllx + a-lllxl+l al+1又lxl-lallx-al 1, /.lxllal+l |f(x) - f(a)| 2lal+2 = 2(lal+l)(按不等号方向放缩)23.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或”问题)如1：