一维非定常连续流动

1、维 非 定 常 连 续 流 动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个 坐标变量x有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直 于x轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。它包括连续 流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。下面主要介绍连续流。在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完 全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生， 传播及其简化分析。小扰动波1. 产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例 如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰 动在介质中的

2、传播速度称为声速。对介质的扰动形式有很多，但总 归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。下面将要介绍的是由于活 塞运动引起速度不匹配所产生的波。在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气 体处于静止状态。设活塞在很短的时间内，速度增加至du。此后， 它以匀速向右运动。这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱 的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰 动波的形式向两边传播。这种波通过以后，波后气体均以活塞的速 度向右运动。同时，右边气体压力增加一个微量dp，左边气体减小 一个微量dp，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。上述两类小扰动波得传播过程在（x，t）图上

3、的图示法如下压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质 点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面 传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。对于运动的气体，压缩波 后气体被加速，稀疏波后气体被减速。图1-1)2. 传播定义向右为x轴的正方向，如果气体本身以u（代数值）的速度 在运动，则波的传播速度为?一=?+ ? （1-1） 定义以速度（u+a ）传播的波为“右行波”，以速度（u-a）传播的波为“左行波”。对于右行波而言，气体质点一定从右边（x轴正向）进入波阵面，对于左行波而言，气体质点一定从左边(x轴负向)进入 波阵面。2小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进

4、行分析。把坐标系取在波阵面上， 则变成驻波，波前的气体以(-a)的速度流进波面，而波后的气体以 (-a+du )的速度流出波面。图(1-2) 由连续性方程?_?) = (?+ ?)(_?+ ?)t 丿丿/略去二阶小量，得(1-2)? ? = ?(1 -3)小扰动波是一种等熵波，满足下列关系式：？?= ? ?= ?和?= ?其微分形式为：? 1 ?1 ?2 ? ?-1 ?-1 ?代入上式，可得(1-4)对于左行波，则有2? ?_1 B(1-5)2? - ?_1 B(1-6)二、特征线方法在可压缩流体中组非线性偏微分方程较大的误差。特征线法根据数学上特征线所具有的性质，运用数值有限幅值连续波流动所

5、满足的方程一般是一不能再采用小扰动线化方法，否则，将造成解法或者图解法，为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计 算方法。1.基本方程连续性方程，在等截面管中? ?_?+ - (?= 0? ?动量方程，在忽略体积力和粘性力情况下?+ ?= - 1? ? ?(2-1)(2-2)能量方程，忽略粘性和热传导作用，流动过程是等熵的，热力 学第二定律可写成? ? + ?= 0 ? ?状态方程，对于多方气体来说，等熵关系为?= ?(2-3)(2-4)有时为了便于应用，可将方程改写成统一用u, a, s参量表示的 形式。? +? + ?-12? ?=0(2-5)?2? ?+?- +=0? ?-1?(2-6

6、)?+?a =0?(2-7)2.特征线及其相容关系假定上述方程组和(X，t)平面内沿着某一曲线?= ?(?上各点的 U0，ao, S0的值已知，如果不能单值地决定曲线？=?(?附近任意点 的u， a，s的值，则表示？?(?是弱间断线，它就是所求的特征线。 特征线及其相容关系为 第一族特征线?(2-8)(?1 = ?+ ?第二族特征线第三族特征线2 ? ? ? ? ? 1 ? ?(2-9)?(刁?2 = ?(2-10)2? ? ?_1 ?(2-11)?(?= ? 0气体的流速和热力学参数的扰动沿着第一族 和第二族特征线以音速传播。熵的扰动沿着第三族特征线传播，而 第三族特征线就是流体质点的运动轨

7、迹，这就表明，对于某一个流 体质点而言，在运动过程中熵值保持不变。? ?在均熵条件下，?= 0，厉?二0，因而，在全流场的任何时刻都有 ?0。因此第三族特征线已经失去意义，第一族和第二族特征线简 化为： 第一族特征线从公式可以看出,?(?1 = ?+ ?右? 0(2-12)(2-13)(2-14)第二族特征线?(?2 = ? ?(2-16)(2-17)(2-18)(2-19)?-?999= 0?-1 此时特征线相容关系可以直接积分99+ 99= ?-11299.99= 9999-12式中9?和99称为黎曼不变量。（99）；和（算2代表（X，t）平面上的两族特征线，称为物理平面上的特征 线，见图

8、（1-3a） ； 99和99在（u，a）平面上构成两族特征线，称为状态 平面特征线，见图（1-3b）。在（x，t）平面上，第一族特征线中的每一 根，对应于一个确定的99值，第二族特征线中的每一根对应于一个 确定的99值。物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化 关系，也就是小扰动波波阵面的运动迹线。其中，第一族特征线对 应于右行波，第二族特征线对应于左行波。不过，此时的u, a均不 是常数。图（1-3）在不同的位置X和时间t，u和a是不同的，可以应用节点法求 解流场中气流的速度和音速。图（1-4）根据99和99是否为绝对常数，可以把一维非定常均熵流动分为 三类：第一类：99和99均为绝对

9、常数（9?0和99o），此时u和a均为常数。 第二类：99和99中有一个为绝对常数，称为简单波流动，这是流场 中只有单向传播的波。第三类：99和99均不是绝对常数，称为双波流。在流场中既有左行 波，也有右行波。三、简单波假定黎曼不变量之一 99在整个波区为绝对常数99o，可以得到99=99 +99202(3-1)99-199=-99o）（3-2） 由于沿着第一族特征线，99保持不变，可知沿着第一族特征线流动 参数u和a等均为常数。9999t (3-3)贏=99+ 99=常数由此可以断定，第一族特征线一定是直线，沿着这一族特征线的任 何一根，流动参量保持不变，整个简单波流场只需用（u，a）平面上

10、 的一根特征线表示。1.简单波的产生和分类简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的。在图(1-5)所示的一 根两端敞开的无限长管中，活塞在静止气体中向右持续加速。活塞 右边不断产生小扰动压缩波，当无穷多道压缩波通过后，波后气体 压力、音速和质点速度便增加一个有限量。对于右行简单压缩波而 言，由于小扰动压缩波连续通过时，后面压缩波的传播速度一定比 前面的块，因而波面迹线(第一族特征线)为一族收敛的直线。图(1-5)同时，在活塞左边，连续产生小扰动稀疏波，波面迹线(第二族 特征线)为一族发散的直线。图(1-5)中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程，其 中1-4是一段曲线，表示活塞的加速过程，4

11、点以后为直线，表示活 塞作匀速运动，没有非定常波产生。简单波大致可分为四类：右行稀疏波，右行压缩波，左行稀疏 波和左行压缩波。2.简单波的基本关系跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下：对于右行波?= (?+ ?+ ?(?)2(3-4)?2 ?= ?0(3-5)对于左行波?= (?2 ?2 ?(?)2(3-6)?S+?= ?%?-110(3-7)?(?是速度的任意函数。2?= ?越?若已知简单波波前气流参数U1和a1，求波后参数时，由？?或?o 为常数可得?-1?-?1=1 ( )(3-9)如果波前气体是静止的，?=0，则有?-1 ?=1 2 -?(3-10)“+”号表示右行波，a号表示左

12、行波。对于波后气流的温度、压力和密度变化，利用等熵关系得?(-2?-(怎)(3-11)2-oo ?=(-?)-1(3-12)?2 -石-1=(-)(3-13)整理后得到(3-8)四、中心稀疏波在一维非定常简单波中，有一种比较特殊的情况，就是所谓“中心稀疏波”。它的一个重要特点是流场中的速度u和音速a等参 数不是单独地依赖于x和t，而是依赖于它们的组合参数x/t，这种运 动通常称为“一维自模拟运动”。1.中心稀疏波的产生假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度，那么，在图 中，活塞迹线1-4的长度便缩短为零，即图(1-6)。由图可见，由于 活塞突然加速，在(x，t)图的坐标原点发出的所有压缩波汇

13、聚成一道 运动激波，向右传播。在活塞左边，同样由坐标原点发出一束左行 稀疏波，把它称为中心稀疏波。波头与波尾之间的区域称为中心稀 疏波区，波尾与活塞之间的区域属于均匀区，在该区中气流通过中 心稀疏波区以后，被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速 的，等音速的，也可以是超音速的，究竟属于哪一种情况，完全由 活塞的速度决定。图(1-6)若要求通过稀疏波以后，气流的速度等于音速(u=a)，所需活塞 的速度大小由方程(2-15)在波头和波尾之间积分来确定，即?-1(4-1)?-2?-1? (4-2)所以?= ?=2?+1?(4-3)当活塞速度？? J?时，?+1*7波后气流将被加速到超音速，但是由于极限速度的存在，波后气流速度最大只能被加速到?max =丄？?(逃逸速?-1度)。使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏 波”。2.中心稀疏波的基本关系式中心稀疏波是简单波的一种特殊形式，因此，只要令简单波关系式中的任意函数？?？= 对于右行波=0，即可得到中心稀疏波的相应关系式。?= (?s+ ?2(4-4)?2 ?= ?0?-1 20(4-5)对于左行波?= (?2 ?2 ?(?)2(4-6)?S+?= ?0?-110(4-7)以左行中心稀疏波为例，可以直接解出u和a的表达式。2 ?=(_+ ?)(4-8)2 ?-1 ?=？一_? ?+1 - 1 ?+1