初三数学直线形知识精讲

1、初三数学直线形知识精讲一. 本周教学内容： 直线形 直线形是初中平面几何的基础知识，其中三角形是构成多边形的基础图形，而全等三角形的知识更为重要。全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。 例1. 已知，如图，ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DGCE，G是垂足，求证： （1）G是CE的中点； （2）B=2BCE。 分析：（1）欲证G是CE中点，即EG=CG， 由条件DGCE，所以只须证DG所在直线为CE中垂线，想到要连结DE，证出DEC为等腰三角形。 即DE=CD即可，由已知条件DC=BE=EA，ABD为直角三角形， DE=BE=DC，则此题得到解

2、决。 （2）由第（1）问知：DC=DE， BDE=DEC+DCE=2DCE 由BE=DE，B=BDE=2DCE。 证明：（1）连结DE， ADB=90，E是AB中点，DE=AE=BE 又DC=BE，DC=DE 又DGEC于G，G是EC中点 （2）DE=DC，DCE=DEC EDB=DEC+DCE=2DCE， 又DE=BE，B=EDB B=2BCE 例2. 如图，ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD=CE，DEF=B，求证：DEF是等腰三角形。 分析：从已知条件入手，由AB=AC，可得B=C DEF=B，DEF=B=C 又BEF=C+EFC（三角形外角等于不相邻的

3、两内角和） 又BEF=BED+DEF BED=EFC，从而得到BDECEF DE=EF，即DEF是等腰三角形。 证明：DBE和ECF中，BD=CE，AB=AC，B=C 又BEF=BED+DEF=C+EFC，DEF=B BED=EFC BDECEF，DE=EF DEF是等腰三角形。 例3. 已知，如图，在ABC中，（ABAC），D、E在BC中，且DE=EC，过D作DFBA交AE于点F，DF=AC，求证：AE平分BAC。 分析：DF=AC，而DF、AC不在同一三角形中，也不在全等的两个三角形中，所以想到通过证三角形全等把DF与AC移动到同一三角形中，由DE=EC，即E是DC中点，延长FE到G，使E

4、G=EF，可得到DEFCEG，进而得到CG=DF=AC，G=GAC，又可得到GCDFAB，G=BAG，BAG=GAC，即AG平分BAC 证明：延长FE到G，使EG=EF，连结CG 在DEF和CEG中，ED=EC，DEF=CEG，FE=EG DEFCEG，DF=GC，DFE=G DFAB，DFE=BAE DF=AC，GC=AC，G=CAE BAE=CAE，即AE平分BAC。 例4. 如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF。 分析：要证的两条线段AC、BF不在两个能全等的三角形中，因此证AC=BF较困难，于是想到通过添加辅助线，把AC、BF转化

5、到一个三角形中。由于AD是中线，所以常采用倍长中线的方法添加辅助线，再通过全等三角形的证明得到结论，类似于上一题。 证明：延长AD到H，使DH=AD，连结BH AD是ABC的中线，BD=DC 又BDH=CDA，DH=AD BDHCDA BH=CA，H=DAC AE=EF，FAE=AFE 又AFE=BFD，H=BFD BH=BF，BF=AC 例5. 如图，在等腰RtABC中，C=90，D是斜边AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G，求证：BD=CG 分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证CGEBDF，由于全等条件不足，所以考

6、虑先证AECCFB，进而得到证CGEBDF的条件。 证明：在RtAEC与RtCFB中 AC=CB，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F， AEC=CFB=90 又ACB=90，CAE=90ACE=BCF RtAECRtCFB，CE=BF 在RtBFD和RtCEG中，F=GEC=90，CE=BF FBD=90FDB=90CDH=ECG， RtBFDRtCEG BD=CG 例6. 已知：如图，ABC中，BAC=120，AB=3，AC=2，BAC的平分线交BC于D，求AD的长。 分析：此题图形虽然简洁，但内涵很丰富。由已知条件，可由BAC=120，AD平分BAC得到BAD=CAD=60。但没有特

7、殊三角形，如直角三角形或等边三角形，所以要求AD的长，只能另想办法。这时我们想到要构造平行线，利用比例性质去求。常 解：法一：过D作AC的平行线交AB于E， AD平分BAC BAD=CAD=60 又EDA=CAD=60 AED是等边 设AD=x 则AE=DE=x，BE=3x 法二：过C作AD的平行线交BA的延长线于F， BAD=CAD=F=ACF=60 ACF是等边三角形。 AF=CF=2，BF=3+2=5 法三：过B作AC的平行线，交AD的延长线于P 则BAP=CAD=P=60 ABP为等边三角形 设AD=x 则DP=3x，BP=3 又BPDCAD 例7. 分析：此题没有给出图形，自己画图时

8、，便要考虑它的特点，题中给出了三角形的两边长及一条边的对角，因此需要分两种情况讨论，分别求解。 解：如下两图，作CDAB于D， 在RtACD中 又BC=6，BCCD 点D落在AB边上， 或点D落在AB的延长线上 （1）当D落在AB边上时， 在RtACD中， 在RtBCD中 AB=AD+DB=9+3=12 （2）当点D落在AB的延长线上时， AD=9，BD=3 AB的长为12或6。一、填空： 1. 等腰三角形的两条边长分别为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为_。 2. 一个三角形三边的长分别为8，10，x，则x的取值范围是_。 3. 如图，ABC中，AB=AC，ADBC于D，AE=AF，则图

9、中全等三角形共有_对。 4. 已知，在ABC中，C=80，AB=20，则B的度数是_。二、解答题： 5. 已知：如图，ABC中，点E，F分别在AB，AC边上，点D是BC边中点，且EFBC，DE=DF，求证：AB=AC。 6. 如图，在ABC中，已知AB=AC，BAC=90，D是BC上一点，ECBC，EC=BD，DF=FE， 求证：（1）ABDACE； （2）AFDE。 7. 如图，在RtABC中，C=90，M是AB中点，AM=AN，MNAC， 求证：MN=AC。 8. 如图，ABC中，ADBC于D，B=60，C=45，BC，求。 9. 已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为

10、BC的中点，CEAD，垂足为点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF。参考答案一、填空题 1. 12cm 2. 2x18 3. 4 4. 40二、解答题： 5. 证明：DE=DF，1=3 EFBC，1=2，3=4 2=4 在DBE和DCF中， DBEDCF B=C，AB=AC 6. （1）AB=AC，ABC=ACB 又BAC=90，B=ACB=45 又ECBC，ECB=90，ECA=45 又BD=CE，ABDACE （2）ABDACE，AD=AE 又DF=FE，AFDE 7. 连结CM，C=90，M是AB的中点， AM=MB=MC，1=2 MNAC，2=3 AM=AN，3=N，1=2=3=N 又4=1803N 在ABC中，1+2+5=180 5=18012=1803N 5=4，AMNMAC，MN=AC。 8. 设