数学史与数学文化1

1、看看我们的美丽世界看看我们的美丽世界 为什么要学习数学呢为什么要学习数学呢? 序序 一、自然界里的数学一、自然界里的数学 1. 植物中隐藏的神秘数学植物中隐藏的神秘数学 向日葵中心种子的排列图 案符合斐波那契数列, 这个 序列以螺旋状从花盘中心 开始体现出来.为了使花盘 中的葵花籽数量达到最多, 大自然为向日葵选择了最 佳的黄金数字.花盘中央的 螺旋角度恰好是137.5度, 十分精确,只有0.1度的变化. 3片花瓣的代表：鸭 跖草(上)，鸢尾(下). 1. 植物中隐藏的神秘数学植物中隐藏的神秘数学 植物的叶片或者花朵或果 壳都有着神奇的对称比例, 一些植物形态中存在的这 些黄金比例实际上就是一

2、 种隐藏的“斐波那契数 列”. 松塔的螺线: 左旋13. 5片花瓣的代表：报春 花(左),杏花(右) . 3. 风景中的数学风景中的数学 美国纽约罗切斯特理工 大学数学系学生Nikki Graziano的摄影 . 3. 风景中的数学风景中的数学 2013年5月22日, 英国威尔特郡文德 米尔惊现一个奇特 的麦田怪圈，令人 惊叹的是，它竟然 展现了“世界上最 美丽的数学定 理”莱昂哈 德欧拉定理 ei+1=0 . 4. 闭月羞花闭月羞花 面部黄金比例面部黄金比例. 4. 魔鬼身材魔鬼身材 人体黄金比例0.618. 5. 美丽的美丽的芭蕾 芭蕾演员虽然身材修长, 但其腰长与身高之比平均约为0.58

3、, 只有在翩翩起舞时、踮起脚尖, 方能展现0.618的魅力 . 二二 、数学造就艺术美、数学造就艺术美 1. 数学造就绘画美数学造就绘画美 绘画艺术中的黄金比 例. 1. 数学造就绘画美数学造就绘画美 2. 数学造就建筑美数学造就建筑美 希腊巴台农神庙希腊巴台农神庙 埃及金字塔埃及金字塔 三三 、数学与乐音、数学与乐音 音乐中的音乐中的 1,2,3 并不是数字而是专门的记号并不是数字而是专门的记号,唱出来是唱出来是 do, re, mi, 它来源于中世它来源于中世 纪意大利一首赞美诗中前七句每一句句首的第一个音节纪意大利一首赞美诗中前七句每一句句首的第一个音节. 而音乐的历史像语言的历而音乐的

4、历史像语言的历 史一样悠久史一样悠久, 其渊源已不可考证其渊源已不可考证. 但令人惊异的是我们可以运用数学知识来解释音乐但令人惊异的是我们可以运用数学知识来解释音乐 的许多规则其中包括音乐基本元素的许多规则其中包括音乐基本元素乐音的构成原理乐音的构成原理, 也就是说也就是说 1, 2, 3这些记这些记 号确实有着数字或数学的背景号确实有着数字或数学的背景. 如果說如果說“音乐是听觉的数学音乐是听觉的数学”, 那么其数学就是音律那么其数学就是音律; 反过来反过来, 如果說如果說“数学是理数学是理 性发出的音乐性发出的音乐”, 那么其音律就是逻辑那么其音律就是逻辑. 傅立叶定理的发现使音乐中的弦内

5、之音表述清楚而简单，恩格斯曾说过，傅立叶傅立叶定理的发现使音乐中的弦内之音表述清楚而简单，恩格斯曾说过，傅立叶 分析是数学的音乐分析是数学的音乐. 傅立叶傅立叶弦内之音弦内之音: 1 ( , )(cossin) n n anan u x tCtt ll 0, (0, )( , )0 ( ,0)( ),( ,0)( ) ttxx t uau utu l t u xx u xx 这些都蕴含着 深刻的数学道理 潜藏着神奇的数学奥秘 我们来聆听古代先贤的教导我们来聆听古代先贤的教导. 为什么是这样而不是那样呢？为什么是这样而不是那样呢？ 公元前六世纪的伊奥尼亚的哲学家泰勒斯如是说: 水是万物的始基！水

6、是万物的始基！ 这一命题开创了人类认识的一个新时代这一命题开创了人类认识的一个新时代, 拉开了从哲学角度审视世界的大幕拉开了从哲学角度审视世界的大幕. 毕达哥拉斯如是说: 万物皆数万物皆数(指整数指整数). 毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合，但他们确言中了后来两条证明是毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合，但他们确言中了后来两条证明是 极为重要的信条极为重要的信条：第一是自然界是按第一是自然界是按数学原理数学原理构成的；第二是构成的；第二是数学关系数学关系决定、统一并决定、统一并 显示了自然的秩序显示了自然的秩序 . 希腊哲学家不仅都重视对实质的探讨希腊哲学家不仅都重视对实质的探讨

7、, 而且从毕达哥拉斯开始而且从毕达哥拉斯开始, 所有哲学家都认所有哲学家都认 为世界是依照数学设计的为世界是依照数学设计的. 在这个经典时期末期在这个经典时期末期, 上述观点已经确立上述观点已经确立, 并且开始了对数并且开始了对数 学规律的探求学规律的探求. 虽然这个观点并未影响后世所有的数学家虽然这个观点并未影响后世所有的数学家, 但一旦为人接受但一旦为人接受,它就作用它就作用 于大多数伟大数学家的思维于大多数伟大数学家的思维, 甚至影响了那些尚未接触过它的人甚至影响了那些尚未接触过它的人. 希腊人这一重要思想希腊人这一重要思想 的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能发掘的数学规律运行

8、的的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能发掘的数学规律运行的 . 希腊人欲得到宇宙的数学规律希腊人欲得到宇宙的数学规律, 他们在这方面成就如何呢？由欧几里得、阿波罗尼他们在这方面成就如何呢？由欧几里得、阿波罗尼 乌斯、阿基米得和托勒密所创立的数学的精华有幸传给了我们。在时间上他们属于希乌斯、阿基米得和托勒密所创立的数学的精华有幸传给了我们。在时间上他们属于希 腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期(前前300年公元年公元600年年) . Euclid,前前325年年前前265年年 Apollonius, 约前约前262年约前年约前190年年 Ar

9、chimed, 前前287年年前前212年年 欧几里得著作具有系统、演绎的形式欧几里得著作具有系统、演绎的形式, 是许多古希腊人孤立发现的汇合是许多古希腊人孤立发现的汇合, 其标志其标志 是他的著作是他的著作几何原本几何原本的问世的问世 . 几何原本几何原本是接收了圆锥曲线的理论是接收了圆锥曲线的理论, 在亚历山大里亚学习数学的小亚细亚南在亚历山大里亚学习数学的小亚细亚南 岸的佩尔加人阿波罗尼乌斯岸的佩尔加人阿波罗尼乌斯, 继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究, 并写出了这方并写出了这方 面的经典著作面的经典著作圆锥曲线圆锥曲线 . 在亚历山大里亚受教育而生

10、在西西里的阿基米得对纯几何学知识增添了几本著作在亚历山大里亚受教育而生在西西里的阿基米得对纯几何学知识增添了几本著作 论球和圆柱论球和圆柱, 论论劈锥曲面体与球体劈锥曲面体与球体,抛物线的求积抛物线的求积 . 托托 勒勒 密密 的的 本本 轮轮 均均 轮轮 模模 型型 托勒密 (C. Ptolemy, 公元90年168年) 托勒密相信托勒密相信:宇宙是按数宇宙是按数 学规律运行的学规律运行的. 依此思想写成依此思想写成 了了至大论至大论一书一书. 托托 勒勒 密密 的的 本本 轮轮 均均 轮轮 模模 型型 托勒密在书中得出了从里到外的如下的顺序托勒密在书中得出了从里到外的如下的顺序:月亮、水星

11、、金星、月亮、水星、金星、 太阳、火星、木星、土星、恒星太阳、火星、木星、土星、恒星. 托勒密的天体次序托勒密的天体次序 他就假定他就假定, 天空中的所有可能高度都被诸行星占满天空中的所有可能高度都被诸行星占满: 每个行星都有自每个行星都有自 己时时占据的高度带己时时占据的高度带, 这些高度带相互之间既不重叠这些高度带相互之间既不重叠, 也没有缝隙也没有缝隙. P 本本 轮轮 地球地球 E O E C Equant 对应点对应点 均轮均轮 托托 勒勒 密密 的的 本本 轮轮 均均 轮轮 模模 型型 托托 勒勒 密密 的的 本本 轮轮 均均 轮轮 模模 型型 托勒密算出整个宇宙的半径是地球半径的

12、托勒密算出整个宇宙的半径是地球半径的19,865倍倍, 或者说或者说 120700000公里公里. 托勒密的宇宙尺度托勒密的宇宙尺度 有些现代作者认为这一宇宙图像错得无可救药有些现代作者认为这一宇宙图像错得无可救药, 指出这个宇宙尺度指出这个宇宙尺度 甚至还小于地球到太阳的真实距离甚至还小于地球到太阳的真实距离. 但是历史地看但是历史地看, 倒不如说倒不如说, 正是托勒密首次把宇宙尺度第一次变得正是托勒密首次把宇宙尺度第一次变得 如此巨大如此巨大, 以至于让人类心灵难以真正理解它了以至于让人类心灵难以真正理解它了. 利用他们的数学成就和许多科学研究结果,希腊人对宇宙是依据数学设计的, 给出 了

13、充分的证明. 数学实质上存在于宇宙万物之中, 它是关于自然界结构的真理, 或者如 柏拉图所说, 是物质世界的客观存在. 宇宙存在规律和秩序, 数学是达到这种有序的关 键. 而且, 人类理性可以洞察这个设计并且揭示其数学结构 . 希腊人的宗旨自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念上帝是这个设 计的作者，融汇在一起，统治了欧洲，关于这一点最令人信服的证据就是哥白尼的所 创立的“日心说” . 尼古拉尼古拉哥白尼哥白尼 约翰尼斯约翰尼斯开普勒开普勒 哥白尼也确信自然的数学规律, 但他假设每个天体, 无论是月亮还是行星, 都在一个 圆周上运动,这个圆的圆心又在另一个圆周上运动. 开普勒确信存在自然的数学

14、规律, 并在努力寻找和谐的数学关系时, 却取得了极大 的成功, 他最著名也是最重要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律 . 普勒行星运动三定律 是数学规律. 开普勒第一定律开普勒第一定律: 每一行星沿一个椭圆轨每一行星沿一个椭圆轨 道环绕太阳运动道环绕太阳运动,而太阳则处在椭圆的一个焦点上而太阳则处在椭圆的一个焦点上 . 开普勒第二定律开普勒第二定律: 每一个行星和太阳的联线在相等的时间内扫过相等的面积每一个行星和太阳的联线在相等的时间内扫过相等的面积 . 开普勒第三定律开普勒第三定律: 所有行星绕太阳公转的周期所有行星绕太阳公转的周期(行星年行星年)的平方跟椭圆轨道的半长轴的立方的比

15、都相等的平方跟椭圆轨道的半长轴的立方的比都相等 . 即即 3 2 R k T 其中其中k 的大小与行星无关的大小与行星无关, 只与太阳质量有关只与太阳质量有关. 短轴短轴 长轴长轴 R 上帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都遵循一个总的规划，上帝极可上帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都遵循一个总的规划，上帝极可 能用一套基本原理来支配相联的事物。对于十七世纪致力于揭示上帝的自然设计的数能用一套基本原理来支配相联的事物。对于十七世纪致力于揭示上帝的自然设计的数 学家和科学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去寻求控制各种地面物体运动和天体学家和科学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去寻求

16、控制各种地面物体运动和天体 运动的统一规律运动的统一规律 . 在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中, 牛顿牛顿对代数、几何、尤其是微积分做对代数、几何、尤其是微积分做 出了许多贡献出了许多贡献, 而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作. 他致力于寻找能导出一他致力于寻找能导出一 个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理,幸运的是，正如狄德罗幸运的是，正如狄德罗(Denis Diderot ,17131784)所说的，自然界把秘密告诉了牛顿所说的，自然界把秘密告诉了牛顿.

17、 2 mM FG r 例如例如, 万有引力定律万有引力定律: 牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序, 和一个用一套普遍的和一个用一套普遍的, 仅用数学仅用数学 表述的物理原理控制的宇宙表述的物理原理控制的宇宙. 这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星运这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星运 动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规划动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规划. 借助于数学描述进行研究借助于数学描述进行研究, 十七世纪的学者们发现了一个量化了的世界十七世纪的学者们发现了一个量化了的世界.

18、 他们将他们将 物理世界的具体事物转换成数学公式物理世界的具体事物转换成数学公式, 从而留给后人一个数学的、定量的世界从而留给后人一个数学的、定量的世界, 这就是这就是 繁荣至今的繁荣至今的自然的数学化自然的数学化的开始的开始 . 不管自然科学家们在何处巡查不管自然科学家们在何处巡查,总能发现证明世界具有设计与和谐行为的规律和数总能发现证明世界具有设计与和谐行为的规律和数 学定律学定律. 自然界具有条理性、规律性、理性和可预见性自然界具有条理性、规律性、理性和可预见性. 人类是自然秩序不可分割的一个组成部分人类是自然秩序不可分割的一个组成部分,也是上帝的创造物也是上帝的创造物. 时髦的唯物主义

19、哲时髦的唯物主义哲 学告诉我们学告诉我们, 物质决定意识，故人的意识与肉体也是物质世界的一部分物质决定意识，故人的意识与肉体也是物质世界的一部分. 因此因此,人类的人类的 行为必然有普遍的自然规律行为必然有普遍的自然规律 . 一旦发现了这些真正的规律一旦发现了这些真正的规律, 人类将生活得更美好，社会也会变得稳定而公正人类将生活得更美好，社会也会变得稳定而公正. 因因 为它们最后会与为它们最后会与“自然秩序自然秩序”相一致相一致. 如果人类社会经过强制手段或经过引导而遵循如果人类社会经过强制手段或经过引导而遵循 这些规律这些规律, 那么社会的弊病就会消失那么社会的弊病就会消失 . 人们最终相信

20、有必要建立一门关于人类的演绎科学人们最终相信有必要建立一门关于人类的演绎科学. 相应地，社会科学家们开始相应地，社会科学家们开始 鉴定、分析和总结在鉴定、分析和总结在人类关系中那些发挥作用的普遍规律人类关系中那些发挥作用的普遍规律 . 社会科学家们希望社会科学家们希望数学数学在这一领域取得在其它纯科学领域内同样辉煌的成就在这一领域取得在其它纯科学领域内同样辉煌的成就. 美美 酒、歌曲，以及要获得这些享受所必需的财富，都成了数学的研究对象酒、歌曲，以及要获得这些享受所必需的财富，都成了数学的研究对象 . 假如存在社会规律，那么社会科学家们将怎样发现它们呢？数学为提供答案树立假如存在社会规律，那么

21、社会科学家们将怎样发现它们呢？数学为提供答案树立 了榜样。首先，了榜样。首先，他们必须发现一些基本的公理，这些从思想和经验中产生的公理他们必须发现一些基本的公理，这些从思想和经验中产生的公理, 自自 身应该有足够的证据表明它们合乎人性，这样所有的科学家才会承认它们。然后通过身应该有足够的证据表明它们合乎人性，这样所有的科学家才会承认它们。然后通过 严密的、完美的数学推理，从这些公理中推导出关于人类行为的定理严密的、完美的数学推理，从这些公理中推导出关于人类行为的定理 . 如果有所谓的数学头脑的话,那么边沁(Jeremy Bentham,1748年1832年, 英国 的法理学家、功利主义哲学家

22、)就具有这种有头脑. 也的思维逻辑性最强, 而且一丝不 苟 . 在其伦理学漫长发展的新阶段，边沁再现了当时十分流行的观点，并且对它作了 适当的解释。随后，他通过引进数学概念开始探讨结论并进行修正。他的目标是衡量 快乐与痉痛苦并使“快乐达到最在限度”。为了达到这一目标,这个道德世界的牛顿创 立了“快乐的微积分” . 边沁关于人性的基本公理: 趋利避害是人类活动潜在的、决定性的客观存在. 以边沁为代表的伦理学家们成功地完成了基本的规划. 他们利用人性的规律和人 与人之间相互关系的公理, 创建了富于逻辑性的伦理体系. 政治学家们也开始仿效他 们. 在休谟充满信心的“政治可以简化成一门科学”的诊断的激

23、发下, 他们为自己的 学科寻求公理 . 对政府本质所作的上述探讨,回答了下列一系列问题： 为什么政府会存在？它从哪里获得了权力? 它在什么情况下超出了这一权力？如何 对待暴政？ 最简明扼要地表述洛克这一关于政府的哲学, 对政府所持的态度最具有理性化的 是要算是十八世纪一份“数学性”的文件. 这份文件就是著名的美国独立宣言 (The Declaration of Independence), 它引用了许多洛克的话: “我们坚信这些不言而喻的真理：人人生面平等,他们都从他们的“造物主”那里 被赋予了某些不可转让的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。为了保 障这些权利，所以才在人们中间成立

24、政府。而政府的正当权利，系得自被统治者的同 意。如果遇有任何一种形式的政府变成是损害这些目的的，那么，人民就有权利来改 变它或废除它，以建立新的政府。这新的政府，必须是建立在这样的原则基础上，并 且是按照这样的方式来组织它的权力机关，就是人民看来那是最能够促进他们的安全 和幸福的。” 我们注意到，这份文件以不言而喻的真理作为论证的开头，这些真理与作为任何 数学体系基础的不证自明的公理有同等的作用. 新的经济学遵循政治学和伦理学中的理性的、渗透着数学思想的方法，它的基础 仍然是人的本性的科学. 经济学本身的公理与人的本性的科学相结合，由此得到一些推 论 . 十八世纪有两个主要的经济学派别，一个是

25、由弗朗斯瓦魁奈(Francois Quesnay, 1694年1774年)创立的重农学派，另一个是由亚当斯密(Adam Smith, 1723年 1790年，经济学鼻祖)以及后来的约翰斯图亚特穆勒 (John Stuart Mill, 1806年 1873年)领导的古典学派。他们都承认公理性的经济真理的确存在着。他们也都认为永 恒不变的经济规律是自然现象。因此，完全有可能创立一门有关财富的科学。经济学 家必须探索和揭示经济规律 . 这两个学派所陈述的公理对我们来说是非常熟悉的, 并且直到今天，仍然是大多 数人的主要观点. 每个人都按照自己的利益行事。人人都享有自由、财产和安全的权 利，以及土地

26、和劳动力是财富的唯一来源，这些都是当时的公理 . 中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气, 但是没有实行古希腊统治者之间的但是没有实行古希腊统治者之间的 民主政治民主政治, 而是实行君王统治制度而是实行君王统治制度. 春秋战国时期春秋战国时期, 也是知识分子自由表达见解的黄金也是知识分子自由表达见解的黄金 年代年代. 当时的思想家和数学家当时的思想家和数学家, 主要目标是主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家帮助君王统治臣民、管理国家. 因此因此, 中国的中国的 古代数学古代数学, 多半以多半以“管理数学管理数学”的形式出现的形式出现, 目的是为了丈量田

27、亩、兴修水利、分配劳目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳 力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标. 理性探讨在这里退居其次理性探讨在这里退居其次. 因此因此, 从从 文化意义上看文化意义上看, 中国数学可以说是中国数学可以说是“管理数学管理数学”和和“木匠数学木匠数学”, 存在的形式则是官存在的形式则是官 方的文书方的文书 . 古希腊的文化时尚古希腊的文化时尚, 是追求精神上享受是追求精神上享受, 以获得对以获得对大自然的理解大自然的理解为最高目标为最高目标. 因此因此, “对顶角相等对顶角相等”这样的命题这样的命题, 在在几何原本几何原本里列入命

28、题里列入命题15, 借助公理借助公理3(等量减等量等量减等量, 其其 差相等差相等)给予证明给予证明. 在中国的数学文化里在中国的数学文化里, 不可能给这样的直观命题留下位置不可能给这样的直观命题留下位置 . 本教程的视角是：本教程的视角是： 本教程本教程数学史与数学文化数学史与数学文化, 从自然哲学的角度阐述数学的文化价值从自然哲学的角度阐述数学的文化价值, 特别指出特别指出 数学对人类文化的影响数学对人类文化的影响, 以及在一定文化背景下数学的发展进程以及在一定文化背景下数学的发展进程 . 本教程的结构是：本教程的结构是： 数学文化数学文化 从属于自然哲学的数学文化从属于自然哲学的数学文化

29、 自由数学时代的数学文化自由数学时代的数学文化 中华特色的数学文化中华特色的数学文化 人的本性的科学的数学文化人的本性的科学的数学文化 数学鉴赏数学鉴赏 本教程的内容是：本教程的内容是： 第一章第一章 数学的发展历程数学的发展历程 第一节第一节 数学名称的起源数学名称的起源 第二节第二节 数学的定义数学的定义 第三节第三节 数学发展的几个主要阶段及其特征数学发展的几个主要阶段及其特征 第二章第二章 对自然界数学设计的信念对自然界数学设计的信念 第一节第一节 数学设计信念的形成数学设计信念的形成 第二节第二节 数学设计信念的发展数学设计信念的发展 第三节第三节 数学设计信念的结晶数学设计信念的结

30、晶 第三章第三章 自然的萧声自然的萧声 第一节第一节 乐音的基本概念乐音的基本概念 第二节第二节 天体的音乐天体的音乐 第三节第三节 数学与音乐的关系数学与音乐的关系 第四节第四节 音律的确定音律的确定 第五节第五节 梅森频率定律梅森频率定律 第六节第六节 傅里叶分析傅里叶分析 第四章第四章 自由的数学自由的数学 第一节第一节 里程碑事件：微积分的发现里程碑事件：微积分的发现 第二节第二节 英雄的世纪：数学的爆炸式扩张英雄的世纪：数学的爆炸式扩张 第三节第三节 形而上学的基础形而上学的基础 第四节第四节 作为人的自由创造物的数学作为人的自由创造物的数学 第五章第五章 人的本性的科学的数学原理人

31、的本性的科学的数学原理 第一节第一节 人的本性的科学是演绎科学人的本性的科学是演绎科学 第二节第二节 伦理学的数学原理伦理学的数学原理 第三节第三节 政治学的数学原理政治学的数学原理 第四节第四节 经济学的数学原理经济学的数学原理 第六章第六章 新几何新几何, 新世界新世界 第一节第一节 几何学的起源和几何学的起源和几何原本几何原本 第二节第二节 试证第五公设试证第五公设 第三节第三节 非欧几何的创立和发展非欧几何的创立和发展 第四节第四节 非欧几何的技术性内容非欧几何的技术性内容 第七章第七章 中华特色的数学文化中华特色的数学文化 第一节第一节 中国数学的发展历程中国数学的发展历程 第二节第

32、二节 中国数学的大一统特征中国数学的大一统特征 第三节第三节 中国数学的功利性特征中国数学的功利性特征 第八章第八章 美的世界美的世界 第一节第一节 美的历程美的历程 第二节第二节 数学美数学美 第三节第三节 自然美自然美 第九章第九章 数学欣赏数学欣赏 数学浪漫数学浪漫: 笛卡尔的爱情故事笛卡尔的爱情故事 斯德哥尔摩的街头斯德哥尔摩的街头, 52岁的笛卡尔邂逅了岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀岁的瑞典公主克里斯汀 . 那时那时, 落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活, 全部的财产只有身上穿得破破烂全部的财产只有身上穿得破破烂 烂的衣服和随身所带的几

33、本数学书籍烂的衣服和随身所带的几本数学书籍 . 一个宁静的午后一个宁静的午后, 笛卡尔照例坐在街头笛卡尔照例坐在街头. 突然突然, 有人来到他旁边有人来到他旁边, 拍了拍他的肩膀拍了拍他的肩膀: “你在干什么呢你在干什么呢?” 扭过头扭过头,笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞笛卡尔看到一张年轻秀丽的脸庞, 一双清澈的眼睛如湛蓝一双清澈的眼睛如湛蓝 的湖水的湖水, 楚楚动人楚楚动人. 她就是瑞典的小公主她就是瑞典的小公主. 国王最宠爱的女儿克里斯汀国王最宠爱的女儿克里斯汀 . 克里斯汀克里斯汀 笛卡尔笛卡尔 她蹲下身她蹲下身, 拿过笛卡尔的数学书和草稿纸拿过笛卡尔的数学书和草稿纸, 和他交谈起来和他交

34、谈起来. 言谈中言谈中, 他发现他发现, 这个小这个小 女孩思维敏捷女孩思维敏捷, 对数学有着浓厚的兴趣对数学有着浓厚的兴趣 . 几天后几天后, 他意外地接到通知他意外地接到通知, 国王聘请他做小公主的数学老师国王聘请他做小公主的数学老师. 满心疑惑的笛卡尔满心疑惑的笛卡尔 跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫, 在会客厅等候的时候在会客厅等候的时候, 他看到前几天在街头偶遇的他看到前几天在街头偶遇的 女孩子女孩子. 从此从此, 他当上了公主的数学老师他当上了公主的数学老师 . 公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进, 他们之间也开

35、始变得亲密起来他们之间也开始变得亲密起来. 每天每天 形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心 . 然而然而, 没过多久没过多久, 他们的恋情传到了国王的耳朵里他们的恋情传到了国王的耳朵里. 国王大怒国王大怒, 下令马上将笛卡尔处下令马上将笛卡尔处 死死. 在克里斯汀的苦苦哀求下在克里斯汀的苦苦哀求下, 国王将他放逐回国国王将他放逐回国, 公主被软禁公主被软禁 . 笛卡尔回到法国后不久笛卡尔回到法国后不久, 便染上重病便染上重病. 在在生命进入倒计时的那段日子生命进入倒计时的那段日子, 他日夜思念他日夜思念 的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸的还是街头偶遇的那张温暖的笑

36、脸. 在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后,他永远地他永远地 离开了这个世界离开了这个世界. 这最后一封信上没有写一句话这最后一封信上没有写一句话, 只有一个方程：只有一个方程：r=a(1 sin) . 国王不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐国王不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐, 便把这封信给了她便把这封信给了她. 拿到信的克里斯汀立拿到信的克里斯汀立 即明白了恋人的意图即明白了恋人的意图, 找来纸和笔找来纸和笔, 着手把方程图形画了出来着手把方程图形画了出来, 一颗心形图案出现在眼一颗心形图案出现在眼 前前, 克里斯汀不禁流下感动的泪水克里斯汀不禁流下感动的泪水,

37、这条曲线就是著名的这条曲线就是著名的“心形线心形线” . 这封享誉世界的另类情书这封享誉世界的另类情书, 至今还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里至今还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里. 二二 、数学造就艺术美、数学造就艺术美 1. 数学造就绘画美数学造就绘画美 绘画艺术中的黄金比 例. 三三 、数学与乐音、数学与乐音 音乐中的音乐中的 1,2,3 并不是数字而是专门的记号并不是数字而是专门的记号,唱出来是唱出来是 do, re, mi, 它来源于中世它来源于中世 纪意大利一首赞美诗中前七句每一句句首的第一个音节纪意大利一首赞美诗中前七句每一句句首的第一个音节. 而音乐的历史像语言的历而音乐的历史像语言的历 史一样悠久史一样悠久, 其渊源已不可考证其渊源已不可考证. 但令人惊异的是我们可以运用数学知识来解释音乐但令人惊异的是我们可以运用数学知识来解释音乐 的许