最优控制理论与系统胡寿松版部分习题答案

1、2-5 求通过，使下列性能泛函为极值的极值曲线：解：由题可知，始端和终端均固定 被积函数， 代入欧拉方程，可得，即 故 其通解为：代入边界条件，求出，极值曲线为2-6 已知状态的初值和终值为，式中自由且1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线：解：由题可知， 欧拉方程： 横截条件：，易得到 故 其通解为：根据横截条件可得： 解以上方程组得：将，代入可得极值轨线为2-7 设性能泛函为求在边界条件，自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线。解：由题可知，自由 欧拉方程： 横截条件：， 易得到 其通解为：代入边界条件，求出，将，代入可得极值轨线为2-9 求使泛函为极值并满足边界条件，的极值轨线和。解

2、：由题可知， 欧拉方程： 可得：， ， 所以这时的欧拉方程为 对上述第一个方程求导两次，再由第二个方程，可以将消去，得 不难求出此方程的解 对此式求导两次，得 利用给定的端点条件，可求出，因此，极值轨线为2-12 设二次积分模型为，性能指标已知初态，末态，自由，试求最优控制和最优轨迹与。解：由题可知构造H：正则方程：由上式可得 控制方程：由上式可得 由状态方程，可得 横截条件 有由边界条件，可求 即 所以 最优控制为最优轨线2-13 设系统状态方程，性能指标如下：要求达到，试求（1）时的最优控制。 （2）自由时的最优控制。解：由题可知 构造H： 正则方程： 可求得 控制方程：由上式可得 由状态

3、方程，可得（1）时 由边界条件，可得 得 故 有 有最优控制（2）若自由 由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件即，从而，代入可得因为时间总为正值，所以此题无解。2-14 设一阶系统，性能指标已知。某工程师认为，从工程观点出发可取最优控制函数。试分析他的意见是否正确，并说明理由。解：由题可知将代入性能泛函，得于是，性能泛函中只含有一个宗量。以上问题就变成了求性能泛函为极值的极值曲线问题令则欧拉方程为：解得：根据横截条件，可得 因此，使给定性能泛函取极值的最优解为 由此知该工程师的意见不正确3-4 给定一阶系统方程，控制约束为，试求使下列性能指标：为极小值的最优控制及相应的最优轨线。解：由题可知

4、构造H：哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取由协态方程 可得 由横截条件 求得 ，于是有 显然，当时，产生切换，其中为切换时间。不难求得，故最优控制为将代入状态方程，得 解得代入初始条件，可得 ，因而， 在上式中，令，可求出时的初始条件 从而求得。因而，于是，最优轨线为 将求得的和代入式J，得最优性能指标3-7 已知二阶系统方程， ， 式中控制约束为试确定最优控制。将系统在时刻由转移到空间原点，并使性能指标取最小值，其中自由。解：由题可知构造H：按照最小值原理，最优控制应取 由哈密顿函数沿最优轨线的

5、变化规律可得以及 因为，可以求出由协态方程 解得 ，当 时(试取)代入初始条件，可得 代入末端条件，可得 又，联立解得于是有 在时，正好满足要求 故最优控制为 ， 相应的最优性能指标为 最优轨线为3-8 设一阶系统， 控制约束为，试确定最优控制，使性能指标为极小值。解：由题可知构造H：哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取由协态方程 可得 由横截条件 求得 ，于是有 显然，当时，产生切换，其中为切换时间。不难求得，故最优控制为将代入状态方程，得 解得代入初始条件，可得 ，因而， 在上式中，令，可求出时的初始条件 从而求得。因而，于是，最优轨线为 将求得的和代入式J，得最优性能指标3-10 设一阶系统，控制约束为，试求使下列性能指标：为最小的最优控制和最优轨线。解：由题可知构造H：按照最小值原理，为使泛函达到极小值必须选择控制函数，使哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取 由哈密顿函数沿最优轨