高考数学专题《数列》超经典

1、.高考复习序列 -高中数学数列.一、数列的通项公式与前n 项的和的关系 ans1,n 1（注：该公式对任意数列都适用）snsn 1, n2 SnSn 1an (n2)（注：该公式对任意数列都适用） Sna1a2Lan（注：该公式对任意数列都适用）s- sn- 1= an+ 1+a （注：该公式对任意数列都适用）n + 1n二、等差与等比数列的基本知识1 、等差数列通项公式与公差：定义式： anan 1d一般式： ana1n1 dan pnq推广形式：anam( nm)ddanam ；nm前 n项和与公差的关系： dSnSmnm ；2nm前 n 项和与通项 a n 的关系：前 n 项和公式： s

2、nn ( a1a n )na 1n ( n1) ddn 2( a11 d ) n .2222前 n 项和公式的一般式：SnAn2Bn,其中 Ad , Ba11 d22应用：若已知 fn2n2n ，即可判断fn 为某个等差数列an 的前 n 项和，并可求出首项及公差的值。an 与 Sn 的关系： anSnSn 1 (n2) （注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列 Sn2n 1， anan 1（直接利用通项公式作差求解）常用性质：若 m+n=p+q，则有 amanapaq；特别地：若 am是 an ,a p 的等差中项， 则有 2am ana p n 、m 、 p 成等差数列；等差数列的“间隔

3、相等的连续等长片断和序列”（如 a1 a2a3 , a4a5a6, a7a8a9 ，）仍是等差数列； a 为公差为 d 等差数列， Sn 为其前 n 项和，则 Sm , S2m Sm , S3mS2 m ， S4mS3m ，也成等差数列 ,n A 、构成的新数列 公差为 D= m 2d ，即 m 2 d=(S 2m -S m)- S m；2SnSmSnd 等差数列。B、 对于任意已知 Sm ，Sn， 等差数列 an公差 dnm ，即也构成一个公差为2nmn2若项数为偶数，设共有2n项，则 S 偶S奇an；S 奇 nd ； S偶an12n1项，则 S 奇S 偶 anS奇n若项数为奇数，设共有a中

4、 ；。S偶n 1例：已知等差数列an ，其中 S10100, S10010, 则S110解析：法一，用等差数列求和公式na 1n ( n 1) d求出 a1 , d2法二， S10， S20S10 , S30S20 .S110 S100 成等差数列，设公差为D ，则：S110 S10010S1045D法三 ,63 . 等比数列的通项公式：3一般形式： ana1 qn 1a1 qn ( n N * ) ；q推广形式：anamqnm ， qn manam其前 n 项的和公式为：sna1 (1 qn ) , q1，或 sna1an q ,q 11q1q.na1, q1na1, q 1数列 an 为等

5、比数列an 1q q 0an 2an 1 an 10 n 2, n Nana1 qn 1ana、q 0，n N*SnA q nB1常用性质：若 m+n=p+q，则有amanap aq；特别地：若 am是 an , ap 的等比中项， 则有 am2anap n 、m 、 p 成等比数列 ;等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 a1a2a3 , a4a5a6, a7 a8 a9 ，）仍是等比数列； an 为等比数列，Sn 为其前 n 项和，则 Sm , S2mSm , S3mS2m ， S4 mS3m ，也成等比数列（仅当当q 1或者 q 1且 m 不是偶数时候成立） ；设等比数列 bn

6、 的前n 项积 为 Tn，则 Tk ， T2k, T3k， T4k 成等比数列TkT2 kT3kan为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.an既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列 .判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1and(常数）（ nN ）an 是等差数列中项法：2an 1anan 2（ nN )an 是等差数列一般通项公式法：4anknb(k ,b为常数 )an 是等差数列一般前 n 项和公式法：SnAn 2Bn( A, B为常数 )an 是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：（ 1an1q（常数）an 为等比数列；）定义法：an（ 22a

7、n an 2(an 0)an 为等比数列；）中项法： an 1（ 3）通项公式法： ank q n (k, q为常数）an为等比数列；（ 4）前 n 项和法： Snk(1 q n ) （ k,q为常数）an 为等比数列。Snkkq n （ k, q为常数）an 为等比数列。数列最值的求解（ 1 ） a10 ， d0时， Sn 有最大值； a10 ， d0 时， Sn 有最小值；（ 2 ） Sn 最值的求法：若已知Sn ， Sn 的最值可求二次函数Sn an 2bn 的最值；可用二次函数最值的求法（nN ）；或者求出an中的正、负分界项，即：若已知 an ，则 Sn 最值时 n 的值（ nN ）

8、可如下确定an0an0an或an 1。100例 1 ：等差数列an 中， a10，S9S12，则前项的和最大。【解析】：a1，S12S90 a12a11a1000 S9 S12a11a12a10a12a10前 （或前项）项和最大2a11a12a10a1101110例 2 设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，已知a312， S120， S130求出公差d 的范围，指出 S1，S2， ，S12 中哪一个值最大，并说明理由。【解析】：5a1a32d122d,S1212 a1a12122122d 11d42d2214424同理： S1315652d,根据已知 S120， S130，d37由a， S

9、， S0及 d0，可知，n=12是前n项和正负分界项，31212013故 an0 n6 , an0 n7 ,所以， S6最大变式：若等差数列的首项为为31 ，从第 16项开始小于 1，则此数列公差 d 的取值范围是解析： a161，但要注意此时还要一个隐含条件a151，联立不等式组求解。3 、若数列的前n 项和 Snn210， nsn数值最小项是第项。n ，则 an【解析】：法一（导数法） ：根据等差数列前n 项和的标准形式SnAn 2Bn ，可知该数列为等差数列，a1S1n 210n9,a2S2S17,da2a12,令an2n11nSn2n211nf ( n)nSn2(n)4n11时 ,取得

10、最小值，2n11n, f11,当 f (n) 0时，即 n114其中 2，分别求出 f(2)14,f(3)15，可见当 n=3时 ns 取得最小。43n法二（列举法）：对于 a10且数值较小 , d0且数值较大时 , 可用列举法，分别求出 n=1 、2 时的 nsn的值，再进行比较发现。4 、已知数列an， a133, an1an2n,则 an的最小值为n【 解 析 】： 法 一 （ 均 值 不 等 式 ）： 由 累 加 法 ： ana1 n2 - nann2 - n 33 ， 令f ( n)ann331,可见当 n33，即 n33时，an取得最小值， 5336，nnnnf (5)33， f

11、(6)63 ，可见 n6时取得最小值。56法二（列举法） ：实在没招时使用该法。5 、 已知等差数列an 的前 n 项和 Sn , S100, S1525, 则n Sn的最小值为。【解析】：6dSnSm2nmd0 a1a100 a132nm, S103n Snn310n2,令(n)n220当 ，即20时取得最小值，3f (n) n Sn , fn,f( n) 0n336207,而f (6)，故取- 493-48 f (7)-496 、数列通项公式的求法：类型 1 ：等差数列型 an 1 anf ( n)思路：把原递推式转化为an 1anf (n) ，再使用累加法（逐差相加法）求解。例， 已知数

12、列 an 满足 an 1an2n 1， a11 ，求数列 an 的通项公式。解：由 an 1 an 2n1得 an 1an2n 1则7anan12(n 1) 1an 1an22(n2)1?a2a12 *11以上逐次累加， ann 2所以数列 an 的通项公式为 ann2变式：已知数列 an 满足 an 12an3 2n ， a12，求数列 an 的通项公式。解： an12an32n 两边除以 2n 1 ，得 an 1an3，则 an 1an3，此时 f (n)3，故数列 an2n 12n22n 12n222n是以 a121为首项，以 3 为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，得 an1 (

13、n1) 3，所以数列 an21222n2的通项公式为 an( 3 n1)2 n22评注：本题 an 1、 an 前的系数不一致， 不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式an12an3 2n转化为an 1an3anan1 (n3，2n 1n，说明数列 n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出n1)22222进而求出数列 an 的通项公式。类型 2 ：等比数列型 an 1f (n) an把原递推式转化为an1f (n) ，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。an例（ 2004年全国 I第15题，原题是填空题）已知数列 an 满足a11， ana12a23a3L(n 1)an 1 (n2

14、) ，求 an 的通项公式。解：因为 ana12a23a3L( n1)an1( n2)所以 an 1a12a23a3 L(n 1)an 1nan用式式得an 1annan . 则 an 1( n1)an (n2) ；故 an 1n1(n2)an所以 ananan1 La3a2n(n1) L43a2n! a2 .an 1an2a22由 ana12a23a3L(n1)an 1(n 2) ，取 n2得 a2a12a2 ，则 a2a1 ，又知 a11，则 a21，8代入得 an1 3 4 5 L nn! 。所以， an 的通项公式为 ann! .22评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递

15、推 关 系 式 an 1 (n 1)an (n 2) 转 化 为an 1n 1(n 2) ， 进 而 求 出ananan 1La3 a2 ，从而可得当 n2时， an 的表达式，最后再求出数列 an 的通项公式。an 1an 2a2类型 4 ：待定系数法处理an 1panq 或 an 1pa nqn 型数列推 式 an 1 pan q, 转 化an 1 t p( ant ),tp把 原递为; 转化思路：1 q令an 1tp(an - t ), 此式与原式比较，得到 t1p，则数列 an 1t为等比数列qan - t例，数列an , a11, an 12an3,求 an解：令 an 1 t2(a

16、n t),比较原递推式，2-1，所以an 111 是公比为 2 的等t3an2 即 an11比 数 列 ， an1 = （ a11 ） 2n -1 ， 或 令 an1bn ， bn是公比为 2 的等比数列，所以bn b1 * 2n 1 , 其中 b1 a1 12, bn 2n ，变式 1 ：已知数列 an 满足 an 12an35n ， a16 ，求数列an 的通项公式。思路：等式两边同时除于5n 1an 12 a n3anbn ，；原递推式变成n 1*5n, 令n555523225n 1a162bn 15 bn5bn 1 t5 (bnt ) t131 bn1 b1 5, b15 5n 1n

17、151 * 22n 12n 1bn1 bn1 * 2bn1 an2n 15n55 55n5n评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an35n 转化为 an 1 tp(an - t ) ，最后再求出数列 an 的通项公式。9变式 2 ：已知数列 an 满足 an 12an, a1 1 ，求数列 an 的通项公式。an2思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为an 1pa nq,变式 3 ：已知数列 an 满足 an 13an 5 ， a17 ，求数列 an 的通项公式。思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为an 1pa nq,变式 4 ：已知数列 an 满足 an 111 ，求数列 a

18、n 的通项公式。(1 4an 1 24an )，a116思路：换元 bn124an ，则 an1 (bn2 1)，再代入原递推式，再转化为an 1panq,24类型 5已知 Sn、 an 递推式 Snf an求 anS1 , n1这种类型一般利用anSnSn 1 ,n导出 anSnSn 1 ，消去 Sn ，得到 an 与 an 1 的递推式，再利用前1an （知识迁移： anS1 , n1面的方法求解出an 1Sn）Sn2 , n 2an 前 n 项和 Sn 4 an1例，已知数列n 2 ，求：（1 ） an 1与 an的关系 ，（2 ）通项 an 。2解：（ 1）an 1Sn 1Sn(4 a

19、n 111)an 111112n 1 )(4 an2n 2an22n 22n 12111111n 1nan 12an2n 12*2n 12 an2n2an 12an2（ 2 ）由上式： 2n 1 an 12n an 22n 1 an 12n an2 ，令 bn2n an ，即有 bn 1bn2 ，而， b12 a12S12 ，所以，bn 为 b12，公差为 2,的等差数列， bn 2n, bn 2n anann2n 110类型 6： a1ga2 gL ganf (n) 求 anf (1),( n 1)用作商法： anf (n)f (n,( n 2)1)数列求和的常用方法然数和公式：12nn n

20、12；1222n2n n 1 2n 16；n221323n3n 14一、利用等差等比数列的求和公式求和1 、 等差数列求和公式：Snn( a1an )na1n(n1) d22na1q n )(q1)2 、等比数列求和公式：Sna1 (1a1an q(q1)1 q1q例 1已知 log 3 x1，求 x x2x3xn的前 n 项和 .log 2 3log 3x1log 3 xlog 3 21解： 由x，由 等比数列 求和公 式得log 2 321(11)1 1Snxx2x3x n x(1xn ) 22 n（利用等比数列求和公式）1x112n2例 2设 Sn 1+2+3+n ，n N * ,求 f

21、 (n)Sn的最大值 .(n32) Sn 1解：由等差数列求和公式得Sn1 n(n1) ， Sn11 (n1)( n2)22 f ( n)Snn2n111( n 32)Sn34n850164n3464( n250n)n11n8f (n)max1n 8508na n b n n a n b n. 3Sn13x5x27 x3(2n1) xn1 (2n1) xn 12n 1 xn 1xSn1x3x25x 37x 4(2n1) xn .(1 x)Sn12x2x 22x 32x 42x n1( 2n1)x n(1x)Sn12x1xn 1( 2n 1)x n1xSn( 2n1)xn1(2n1)xn(1x)

22、(1x) 2 42 ,42,63 , 2nn,n.22222n2n1n n22Sn2462n222232n12462nSn2223242n12-1222222n212n(12 )Sn2 2223242 n2n 12n 12 n 1Sn4n22 n 1nn ( a1an ) . 5sin21sin2 2sin2 3sin2 88sin2 89S sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 89 . 12将式右边反序得S sin2 89sin2 88sin2 3sin2 2sin2 1. 又因为 sin xcos(90x), sin 2 xcos2 x 1，+得2S(sin 2 1

23、 cos2 1 ) (sin 2 2 cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89 S 44.5题 1 已知函数（ 1）证明：；（ 2）求的值 .解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边= 右边（ 2）利用第（ 1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 5求数列的前n 项和：1 1,a4, a 27, a n 1n1113 2， 13解：设 S (1 1) (14) (17)( 1nna2an13 2)a将其每一项拆开再重新组合得Sn(1111(1473n2)aa2an 1 )当 a 1 时， Sn(3