高二数学导数及其应用练习题

1、高二上学期导数及其应用单元测试（数学文）（满分： 150 分时间： 120 分钟）一、 选择题 （本大题共10 小题，共 50 分，只有一个答案正确）1函数 f ( x)2x 2的导数是（）(A)f ( x)4x(B)f ( x)42 x(C)f (x) 82 x (D)f ( x)16 x2函数 f ( x)x e x 的一个单调递增区间是（）(A)1,0(B)2,8(C)1,2(D)0,23 已 知 对 任 意 实 数 x ， 有 f ( x)f ( x)，g ( x)g( x)， 且 x0 时 ，f (x) 0， g ( x)0 ，则 x0 时（）A f (x)0， g ( x)0BC

2、f (x)0， g ( x)0Df( x)0， g (x)0f( x)0， g ( x)04若函数 f (x)x33bx3b 在 0,1内有极小值，则（）（A） 0 b 1（B） b 1（ C） b 01（ D） b25若曲线 yx4 的一条切线 l 与直线 x4 y 8 0垂直，则 l 的方程为（）A 4x y 3 0B x 4 y 5 0 C 4x y 3 0 D x 4y 3 06曲线 yex 在点 (2， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） 9 e2 2e2 e2 e2427设 f ( x) 是函数f (x) 的导函数， 将 yf ( x) 和 yf (x) 的图象画在同

3、一个直角坐标系中，不可能正确的是（）8已知二次函数f ( x)ax 2bxc 的导数为f ( x) ， f (0)0 ，对于任意实数x 都有f ( x)0 ，则f (1) 的最小值为（）f (0)A 35C 2D3B229设 p : f (x)ex ln x2x2mx1在 (0，) 内单调递增， q : m 5 ，则 p 是 q 的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件10 函数 f (x) 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）（A） 0f / (2)f /(3)f (3)f(2)y（B） 0f / (3)f(3)f (2)f / (2)（C） 0f / (3)f

4、 /(2)f (3)f(2)（D） 0f (3)f (2)f / (2)f /(3)O1234x二填空题 （本大题共4 小题，共20 分）11函数 f ( x)x ln x(x 0) 的单调递增区间是12 已知函数f (x)x312x8 在区间 3,3 上的最大值与最小值分别为M , m ，则Mm13点P 在曲线yx3x2上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为，则的取值3范围是14已知函数y1 x3x 2ax5 (1)若函数在,总是单调函数， 则 a 的取值范围3是. (2)若函数在 1,) 上总是单调函数，则a 的取值范围.（3）若函数 在区间（ -3， 1）上单调递减，则实数 a 的取值范

5、围是.三解答题 （本大题共4 小题，共 12+12+14+14+14+14=80 分）15用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16设函数 f ( x) 2x33ax23bx 8c 在 x 1 及 x 2时取得极值（ 1）求 a、b 的值；（ 2）若对于任意的x0，3 ，都有 f (x)c2 成立，求 c 的取值范围17设函数f ( x)x33x2 分别在x1、 x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点A、B 的坐标分别为 （x1 , f (x1 )）、（x2 , f ( x2

6、)），该平面上动点uuuruuurP 满足 PA ?PB4,点Q是点P 关于直线 y 2( x 4) 的对称点， .求( )求点 A、B 的坐标；( )求动点 Q 的轨迹方程 .18.已知函数f ( x)2x33x23.（ 1）求曲线yf ( x) 在点 x2处的切线方程；（ 2）若关于 x 的方程fxm0 有三个不同的实根，求实数m 的取值范围 .ax 3(a 1) x24x 1 a R19已知 f ( x)3（ 1）当（ 2）当a 1时，求函数的单调区间。a R 时，讨论函数的单调增区间。（3）是否存在 负实数 a ，使 x1,0 ，函数有最小值3？20已知函数 fa2， gxx ln x

7、 ，其中 a 0 x xx（ 1）若 x1是函数 hxf xg x 的极值点，求实数a 的值；（ 2）若对任意的 x1, x21，e （ e为自然对数的底数）都有f x1 g x2 成立，求实数 a 的取值范围高二上学期导数及其应用单元测试（数学文）答案一、选择题1( )22422,22fxxf ( x) 2 4 xf ( x) 8 x;x2 f ( x)xexxf ( x)1 exx ex1 x exx1选(A)ex .ex2，ex20,3.(B)数形结合4.A由f(x)3x23b3 x2依题意，首先要求b0,所以 f (x)3 xb x bb ,由单调性分析，xb 有极小值，由 xb0,1

8、得 .5解：与直线x4 y8 0 垂直的直线 l 为 4xym0 ，即 yx4 在某一点的导数为4，而 y4x3 ，所以 yx4 在 (1 ， 1) 处导数为 4，此点的切线为 4xy30，故选 A6（D）7（D）8（C）9（B）10B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为AB,点 A 处的切线为 AT点 B 处的切线为 BQ，Tf (3)f (2)f (3)f (2)k AByB32f (3)kBQ ,f(2)k AT ,A如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线 AB 的倾斜角小于Q切线 AT 的倾斜角kBQk ABk ATO1234x所以选 B二、填空题111,123213 0,3,4214.

9、 (1) a1; (2)a3;( 3) a3.三、解答题15. 解：设长方体的宽为 x（ m），则长为 2x(m)，高为h1812x4.5x x 3.43 (m)02故长方体的体积为Vx)2x2(4.53x)9x 26x33) x3(m(0).2从而V()18x18x2(4.53)18x(1x).xx令 V（ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1，因此 x=1.当 0 x 1 时， V（ x） 0；当 1 x 2 时， V（ x） 0， 3故在 x=1 处 V（ x）取得极大值，并且这个极大值就是V（ x）的最大值。从而最大体积 V V（ x） 9 12-6 13（ m3），此时长方体的长为

10、2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m3 。16解：（ 1） f (x)6x26ax 3b ，因为函数 f ( x) 在 x1 及 x2 取得极值，则有 f (1) 0 ， f (2) 0 66a3b0，即2412a3b0解得 a3， b 4（2）由（）可知，f ( x) 2x39x2 12 x 8c ，f (x)6x218x126( x 1)( x 2) 当 x(01)，时， f( x)0 ；当 x(12)， 时， f( x)0 ；当 x(2，3) 时， f( x)0 所以，当 x1时， f ( x) 取得极大

11、值 f (1)58c ，又 f(0)8c ， f (3)98c 则当 x0，3时， f (x) 的最大值为 f (3)98c 因为对于任意的x0，3，有 f ( x)c2 恒成立，所以98cc2 ，解得c1或 c9 ，因此 c的取值范围为(， 1)U (9，) 解: (1)令 f(x)(x 33x2)3x230解得x1或x117当x1时 , f ( x)0 , 当1x时 , f ( x)0 ,当x1时 , f (x) 01所 以 ,函 数 在x 1 处 取 得 极 小 值 ,在 x1取得极大值,故x11, x21,f (1)0, f (1)4所以 ,点 A、 B 的坐标为 A(1,0), B(

12、1,4).(2) 设 p( m, n) ， Q( x, y) ， PA ? PB1m n ?1mnm21n2n4,44kPQ1，所以 yn1 ，又 PQ 的中点在y2(x4) 上，所以 yn2xm42xm222消去 m, n 得 x8 2y2 29 .另法：点 P 的轨迹方程为m2n 2 29, 其轨迹为以（0， 2）为圆心，半径为3 的圆；设点（ 0，2）关于 y=2(x-4)的对称点为 (a,b),则点 Q 的轨迹为以 (a,b),为圆心，半径为3 的圆，由 b21 ， b22 a 04 得 a=8,b=-2a022218解（ 1） f ( x)6x26x, f (2) 12, f (2)

13、7,2 分曲线 yf ( x) 在 x2 处的切线方程为 y 712( x2) ，即 12 x y 170； 4分（2）记 g( x) 2 x33x2m 3, g ( x) 6x26x 6x( x 1)令 g ( x)0, x 0 或 1.6 分则 x, g (x), g( x) 的变化情况如下表x(,0)0(0,1)1(1,)g (x)00g( x)Z极大极小Z当 x0, g (x) 有极大值 m3; x1,g (x) 有极小值 m2.10分由 g( x) 的简图知，当且仅当g(0)0g(1),0m30m2 时，即2, 3m0函数 g(x) 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线 .所以若

14、过点 A 可作曲线 yf ( x) 的三条不同切线，m 的范围是 (3, 2).14分19（ 1） x, 2 , 或 x2, f(x)递减 ; x2,2 , f(x)递增 ; （ 2） 1、当 a0,x, 2 , f(x) 递 增 ;2 、 当 a0,x2,f(x) 递 增 ;3 、 当 0 a 1, x,2,或,2ax2 , f(x)递增 ; 当 a1, x,f(x)递增 ;当 a 1, x, 2 , 或 x2, f(x)aa递增 ;（ 3）因 a0, 由分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间-1,0 上是分类“契机”：1、当 21,a2, x1,02,2,f(x)递增， f (x)min

15、 f ( 1)3，解得 a32,aa42、当 21,a2, 由单调性知：f(x)minf(2)3，化简得： 3a23a 1 0 ，解得aa3212, 不合要求；综上， a3为所求。a6420（ 1）解法 1： hx2xa2ln x ，其定义域为0，xa2 hx21x2xa2 x1 是函数 hx的极值点， h10，即 30 a0 ， a3 经检验当 a3 时， x1 是函数 hx的极值点， a3 解法 2： hxa2ln x ，其定义域为 0，2xx hx2a21x2x令 hx0 ，即2a210，整理，得 2x2xa208a2x2x10 ， hx0x1118a2118a2的两个实根4（舍去），

16、x24，当 x 变化时， h x， hx的变化情况如下表：x0,x2x2x2 ,hx0h x极小值Z依题意，118a21，即 a23，4 a0， a3 （ 2 ） 解 ： 对 任 意 的 x1 , x21，e 都 有 f x1 g x2成立等价于对任意的x1 , x21， e 都有fx min gxmax 当 x 1， e 时， gx110x函数 g xxln x 在 1， e 上是增函数 gxg ee1 max fx1a2xa xa，且 x 1,e， a0x2x2xa xa当 0a1 且 x 1， e 时， fxx20 ，函数 fxxa2在 1， e 上是增函数，xfxf11a2 .min由 1a2 e 1，得 a e ，又0a