高中数学：1.6-微积分基本定理(教案)

1、1.6微积分基本定理一、教学目标知识与技能目标： 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用 牛顿 - 莱布尼兹公式 求简单的定积分过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观： 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。二、教学重难点重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点了解微积分基本定理的含义三、教学过程1、复习 ：定积分的概念及用定义计算2、引入新课：我们讲过用定积分定义计算定积分 , 但其计算过程比

2、较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为S(t), 速度为 v(t) （ v(t) o ），则物体在时间间隔 T1, T2 内经过的路程 可用速度函数表示为T2v(t) dt 。T1另一方面， 这段路程还可以通过位置函数S（ t ）在 T1 ,T2 上的增量 S(T1 )S(T2 ) 来表达，即T2v(t) dt = S(T1 )S(T2 )T1而 S (t) v(t ) 。对于一般函数f ( x) ，设 F (x)f (x) ，是否也有bF (a)f

3、 (x)dx F (b)a若 上 式 成 立 ， 我 们就 找 到 了 用 f ( x) 的 原 函 数 （ 即 满 足 F ( x)f (x) ） 的 数 值差F (b) F (a) 来计算 f ( x) 在 a, b 上的定积分的方法。注： 1：定理如果函数 F ( x) 是 a, b 上的连续函数f ( x) 的任意一个原函数，则bF (b)F (a)f (x) dxa(x) =x证明：因为f (t)dt 与 F ( x) 都是 f (x) 的原函数，故aF ( x) -(x) =C（ axb ）其中 C为某一 常数。令 xa 得 F (a) -a()=0 即 有 C= F ( a) ，

4、 故(a) =C ， 且 (a) =f tdta- 1 -F (x) = ( x) + F ( a)(x) = F ( x) - F (a) =xf (t )dta令 xb，有bF (a)f ( x) dx F (b)a此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用F ( x) |ab 表示 F (b)F (a) ，即bf (x)dxF (x) |abF (b)F ( a)a例 1计算下列定积分：2 131（ 1） 1 xdx ；（2） 1(2 xx2 )dx 。解：（ 1）因为 (ln x)1，2 1x所以2ln 2ln1ln 2 。dxln x |11x2x,( 1 )1（2）因为 (

5、x2 )，1xx213(2 x32xdx3所以1x2 )dx11x2 dx2313122x|1x|11(9 1) (31)3。练习：计算x2dx0解：由于 1x3 是 x2 的一个原函数，所以根据牛顿莱布尼兹公式有3|10 =1131 03=1x2 dx = 1 x3103333例 2计算下列定积分：sin xdx,2sin xdx,2sin xdx 。00解：因为 ( cos x)sin x ，所以0sin xdx(cosx) |0(cos)(cos0)22sin xdx(cos x) |2( cos2)(cos)22sin xdx(cosx) |02(cos2)( cos0)0 .0可以发

6、现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:( l）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图 1.6一 3 )，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；- 2 -图1.6一 3( 2）（ 2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图 1 . 6一 4 )，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0（图 1 . 6一 5 )，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积例 3汽车以每小时 32 公里速度行驶， 到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米 / 秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解: 首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时，汽车速度 v0 =32公里/ 小时=32 1000米/ 秒8.88 米/ 秒, 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 v(t)= v03600at=8.88-1.8t当汽车停住时,速度 v(t)=0, 故从v(t)=8.88-1.8t=0解得 t= 8.884.93 秒1.8于是在这段时间内 ,汽车所走过的