高中数学数列专题大题训练

1、高中数学数列专题大题组卷一选择题（共9 小题）1等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（）A130 B170 C210 D2602已知各项均为正数的等比数列 an ，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6=（）AB7C6D3数列 a 的前 n 项和为 S ，若 a =1，a =3S （ n 1），则 a =（）nn1n+1n644+1 C444+1A34B34D 44已知数列 an 满足 3an+1+an=0， a2= ，则 an 的前 10 项和等于（）A 6（ 1 3 10 1010） BC3（13 ）D3（1+3）5等比数

2、列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1， a5=9，则 a1=（）ABCD6已知等差数列 an 满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10 项的和 S10=（）A138 B135 C95D237设等差数列nnm1mm+1） a 的前 n 项和为 S ，若 S= 2，S =0，S =3，则 m=（A3B4C5D68等差数列 an 的公差为 2，若 a2， a4，a8 成等比数列，则 an 的前 n 项和 Sn=（）An（n+1）Bn（ n1）CD9设 an 是等差数列，下列结论中正确的是（）A若 a1+a20，则 a2+a30B若 a1+a30，则 a1+a20C

3、若 0a1a2，则 a2D若 a1 0，则（ a2a1）（a2a3 ） 0二解答题（共14 小题）10设数列 an （ n=1，2，3， ）的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an a1，且 a1，a2+1， a3 成等差数列（ ）求数列 an 的通项公式；（）记数列 的前 n 项和为 Tn，求使得 | Tn 1|成立的 n 的最小值11设等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（ 1）求数列 an ， bn 的通项公式（ 2）当 d1 时，记 cn=，求数列 cn 的前 n 项和 Tn12已知数列 a

4、n 满足 a1=1，an+1=3an +1（ ）证明 an+ 是等比数列，并求 an 的通项公式；（）证明：+13已知等差数列 an 的公差不为零， a1=25，且 a1， a11， a13 成等比数列（ ）求 an 的通项公式；（ ）求 a1+a4 +a7+ +a3n 214等差数列 an 中， a7=4，a19=2a9，（ ）求 an 的通项公式；（ ）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Sn15已知等比数列 an 中， a1=，公比 q=（ ）Sn 为 an 的前 n 项和，证明： Sn=（ ）设 bn=log3a1+log3a2 + +log3an，求数列 bn 的通项公式16已

5、知数列 an 满足 an+2=qan（q 为实数，且q 1），nN* ，a1=1， a2=2，且a2+a3，a3+a4， a4+a5 成等差数列（ 1）求 q 的值和 an 的通项公式；（ 2）设 bn， * ，求数列 bn的前n项和=n N17已知数列 an 是首项为正数的等差数列， 数列 的前 n 项和为（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 bn=（an+1）?2 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn18 已 知 数 列 an 和 bn 满 足 a1=2 ， b1=1 ， an+1=2an （ n N* ）， b1+ b2+ b3+ + bn=bn+11（nN* ）（ ）求 an

6、与 n；b（ ）记数列 an n的前n项和为 n，求 nb TT19已知数列 an 是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 Sn 为数列n 的前n，求数列n的前n项和n a n 项和， b = b T20设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（ ）求 an 的通项公式；（ ）若数列 bn ，满足 anbn=log3an，求 bn 的前 n 项和 Tn21设数列 an 的前 n 项和为 Sn已知 a1 =a，an+1=Sn+3n ，nN* 由（ ）设 bn=Sn3n，求数列 bn 的通项公式；（ ）若 an+1 an，

7、nN* ，求 a 的取值范围22已知等差数列 an 的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列（ ）求数列 an 的通项公式；（ ）令 b（ ）n1，求数列 bn的前n项和Tnn=123数列 an 满足 a1=1， nan+1=（n+1）an +n（n+1），nN* （ ）证明：数列 是等差数列；（ ）设 bn=3n?，求数列 bn 的前 n 项和 Sn高中数学数列专题大题组卷参考答案与试题解析一选择题（共9 小题）1（1996?全国）等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（）A130 B170 C210 D260【分析

8、】利用等差数列的前 n 项和公式，结合已知条件列出关于 a1，d 的方程组，用 m 表示出 a1、d，进而求出 s3m；或利用等差数列的性质， sm，s2msm， s3m s2m 成等差数列进行求解【解答】 解：解法 1：设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，由题意得方程组，解得 d=， a1=， s3m1d=3m+=3ma +=210故选 C解法 2：设 an 为等差数列， sm，s2msm， s3m s2m 成等差数列，即 30， 70，s3m100 成等差数列， 30+s3m 100=702，解得 s3m=210故选 C【点评】解法 1 为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法 2

9、 使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前 n 项和为 sn，则 sn，s2nsn，s3ns2n， 成等差数列2（2010?大纲版 ）已知各项均为正数的等比数列 an ， a1a2 a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6=（）AB7C6D【分析】 由数列 an是等比数列，则有12323 ；78983a a a =5? a =5 a a a =10? a=10【解答】 解： a1a2a3=5? a23=5；a7a8a9=10? a83=10，a52=a2a8，故选 A【点评】本小题主要考查等比数列的性质、 指数幂的运算、 根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想3（2

10、011?四川）数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1=3S（nn1），则 a6=（）44+1 C44 4+1A34B34D 4【分析】 根据已知的 an+1n，当nn 1，两者相减，根=3Sn 大于等于 2 时得到 a =3S据 SnSn 1=an，得到数列的第 n+1 项等于第 n 项的 4 倍（ n 大于等于 2），所以得到此数列除去第 1 项，从第 2 项开始，为首项是第 2 项，公比为 4 的等比数列，由 a1=1，an+1=3Sn ，令 n=1，即可求出第 2 项的值，写出 2 项以后各项的通项公式，把 n=6 代入通项公式即可求出第 6 项的值【解答】 解：由

11、an+1=3Sn，得到 an=3Sn1 （n2），两式相减得： an+1an=3（SnSn 1 ）=3an，则 an+1 =4an（ n 2），又 a1=1， a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是 3，公比为 4 的等比数列，所以 an=a2qn 2=34n 2（n2）则 a6=3 44故选 A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题4（2013?大纲版）已知数列 an 满足 3an+1+an=0，a2=，则 an 的前 10 项和等于（）A 6（ 1 3 10C3（13 10D3（1+310） B）【分析】由已知可

12、知，数列 an 是以为公比的等比数列， 结合已知可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】 解： 3an+1+an=0数列 an 是以为公比的等比数列 a1=4由等比数列的求和公式可得， S10= 10=3（13 ）故选 C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用， 属于基础试题5（ 2013?新课标 ）等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2 +10a1 ，a5=9，则a1=（）ABCD【分析】 设等比数列 an 的公比为 q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】 解：设等比数列 an 的公比为 q， S3=a2+10a1， a5

13、=9，解得故选 C【点评】 熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键6（ 2008?全国卷 ）已知等差数列 an 满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（）A138 B135 C95D23【分析】 本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10 我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前 n 项和公式，即可求解【解答】 解：（ a3+a5）（ a2+a4） =2d=6， d=3，a1=4， S10=10a1+=95故选 C【点评】在求一个数列的通项公式或前 n 项和时，如果

14、可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式， 写出该数列的通项公式， 如果未知这个数列的类型， 则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式7（2013?新课标 ）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sm1= 2，Sm=0，Sm+1=3，则 m=（）A3B4C5D6【分析】 由 an 与 Sn 的关系可求得am+1 与 am，进而得到公差 d，由前 n 项和公式及 Sm=0 可求得 a1，再由通项公式及 am=2 可得 m 值【解答】 解： am=Sm Sm 1=2， am+1=Sm+1Sm=3，所以公

15、差 d=am+1 am=1，Sm=0，得 a1=2，所以 am= 2+（m 1） ?1=2，解得 m=5，故选 C【点评】 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及通项 an 与 Sn 的关系，考查学生的计算能力8（ 2014?新课标 ）等差数列 an 的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则 an的前 n 项和 Sn （）=An（n+1）Bn（ n1） CD【分析】由题意可得 a42=（ a44）（ a4+8），解得 a4 可得 a1，代入求和公式可得【解答】 解：由题意可得 a42=a2?a8，即 a42=（a44）（a4+8），解得 a4=8， a1=a4 3 2=2，

16、Sn=na1+d，=2n+2=n（ n+1），故选： A【点评】 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题9（2015?北京）设 an 是等差数列，下列结论中正确的是（）A若 a1+a20，则 a2+a30B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a1a2，则 a2D若 a1 0，则（ a2a1）（a2a3 ） 0【分析】 对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若 a1+a2 0，则 2a1+d0，a2+a3=2a1 +3d 2d，d0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a1+a30，则 a1+a2=2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 B不正确；

17、an 是等差数列， 0 a1a2，2a2=a1+a3 2， a2，即 C 正确；若 a10，则（ a2a1）（a2 a3）=d20，即 D 不正确故选： C【点评】 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础二解答题（共14 小题）10（ 2015?四川）设数列 an （n=1， 2， 3， ）的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2ana1，且 a1，a2+1，a3 成等差数列（ ）求数列 an 的通项公式；（）记数列 的前 n 项和为 Tn，求使得n1|成立的n的最小值| T【分析】（ ）由已知数列递推式得到 ann1（ ），再由已知1，2 ，3=2an2aa +1 a成等差数列求出

18、数列首项，可得数列 an是首项为，公比为2的等比数列，则2其通项公式可求；（ ）由（ ）求出数列 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得 Tn，结合求解指数不等式得 n 的最小值【解答】 解：（）由已知 Sn =2ana1 ，有an=SnSn 1=2an2an 1 （n2），即 an=2an 1（n2），从而 a2=2a1，a3=2a2=4a1，又 a1，a2+1，a3 成等差数列， a1+4a1=2（ 2a1+1），解得： a1=2数列 an是首项为，公比为2的等比数列故；2（）由（ ）得：，由，得，即 2n1000 29=512 1000 1024=210， n 10于是，使 | Tn

19、1|成立的 n 的最小值为 10【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（ 2015?湖北）设等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q，已知 b1=a1， b2=2，q=d， S10=100（ 1）求数列 an ， bn 的通项公式（ 2）当 d1 时，记 cn= ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn【分析】（1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（ 2）当 d1 时，由（ 1）知 cn=，写出 Tn 、Tn 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式

20、，计算即可【解答】 解：（1）设 a1=a，由题意可得，解得，或，当时， an=2n 1， bn =2n 1；当时， an=（）， n；2n+79 b =9?（ 2）当 d1 时，由（ 1）知 an=2n1，bn=2n 1， cn=， Tn =1+3? +5? +7? +9? + +（2n 1） ?， Tn=1? +3? +5? +7? + +（ 2n3）?+（2n1）? ， Tn=2+ +（2n ），+ + +1 ?=3 Tn =6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题12（ 2014?新课标 ）已知数列 an 满足 a1=1， a

21、n+1=3an+1（ ）证明 an+是等比数列，并求n 的通项公式； a （）证明： + + + 【分析】（ ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出 an 的通项公式；（）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式【解答】 证明（ ）=3，0，数列 an+ 是以首项为，公比为 3 的等比数列； an+=，即；（）由（ ）知，当 n2 时， 3n13n 3n 1，=，当 n=1 时，成立，当 n2 时， + 1+= 对 nN 时， + +【点评】 本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证

22、明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行； 数列与不等式常结合在一起考， 放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小， 使原数列变成一个等比数列， 或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题13（ 2013?新课标 ）已知等差数列 a 的公差不为零， a =25，且 a ，a ，an111113成等比数列（ ）求 an的通项公式；（ ）求 a 1+a4 +a7+ +a3n2【分析】（ I）设等差数列 an 的公差为d 0，利用成等比数列的定义可得，再利用等差数列的通项公式可得，化为 d（ 2a1+25d）=0，解出 d 即可得到通项公式 an；（ II）由（I）可得 a3n 2=2（3n 2）

23、+27=6n+31，可知此数列是以 25 为首项， 6 为公差的等差数列利用等差数列的前n 项和公式即可得出 a1+a4+a7+ +a3n 2【解答】 解：（I）设等差数列 an 的公差为 d0，由题意 a1， 11， 13 成等比数列，aa，化为 d（ 2a1+25d）=0， d 0， 225+25d=0，解得 d=2 an=25+（ n 1）（ 2）=2n+27（ II）由（I）可得 a3n 2=2（3n 2）+27=6n+31，可知此数列是以 25 为首项， 6 为公差的等差数列 Sn=a1+a4+a7+ +a3n2=3n2+28n【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项

24、和公式是解题的关键14（ 2013?大纲版）等差数列 an 中， a7=4，a19=2a9，（ ）求 an 的通项公式；（ ）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Sn【分析】（I）由 a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（ II）由=，利用裂项求和即可求解【解答】 解：（I）设等差数列 an 的公差为 d a7=4，a19=2a9，解得， a1=1，d=（II）= sn=【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用， 试题比较容易15（ 2011?新课标）已知等比数列 an 中， a1=，公比 q=（ ）Sn 为 an 的前 n 项和

25、，证明： Sn=（ ）设 bn=log3a1+log3a2 + +log3an，求数列 bn 的通项公式【分析】（I）根据数列 an 是等比数列， a1=，公比 q=，求出通项公式 an 和前n 项和 Sn，然后经过运算即可证明（ II）根据数列 an的通项公式和对数函数运算性质求出数列n的通项公式 b 【解答】 证明：（I）数列 an 为等比数列， a1=，q= an=，Sn=又=Sn Sn=（ II） an= bn=log3a1+log3a2+ +log3an = log33+（ 2log33）+ +（ nlog33）=（ 1+2+ +n）=数列 bn 的通项公式为： bn=【点评】本题主

26、要考查等比数列的通项公式、 前 n 项和以及对数函数的运算性质16（2015?天津）已知数列 an 满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1），nN* ，a1=1，a2=2，且 a2+a3， a3+a4，a4+a5 成等差数列（ 1）求 q 的值和 an 的通项公式；（ 2）设 bn， * ，求数列 bn的前n项和=n N【分析】（1）通过 an+2=qan、 a1、a2，可得 a3、a5 、a4，利用 a2+a3， a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（ 2）通过（ 1）知 bn=， n N* ，写出数列 bn 的前 n 项和 Tn、 2Tn 的表达式，利用错位相减法及等比数列的

27、求和公式，计算即可【解答】 解：（1） an+2=qan（ q 为实数，且 q 1），nN* ，a1=1， a2=2， a3=q，a5=q2， a4=2q，又 a2+a3，a3+a4 ，a4+a5 成等差数列， 2 3q=2+3q+q2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍）， an=；（ 2）由（ 1）知 bn=，n N* ，记数列 bn 的前 n 项和为 Tn，则 Tn=1+2? +3? +4? + +（n1）?+n?， 2Tn=2+2+3? +4? +5? + +（n1）?+n?，两式相减，得 Tn=3+ +n?+ +=3+n?=3+1n?=4【点评】本题考查求数列的通项与

28、前 n 项和，考查分类讨论的思想， 利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题17（ 2015?山东）已知数列 an 是首项为正数的等差数列，数列 的前n 项和为（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 bn（ n）?2，求数列n的前n项和n= a +1 b T【分析】（1）通过对 cn=分离分母，并项相加并利用数列 的前 n 项和为即得首项和公差，进而可得结论；（ 2）通过 bn=n?4n，写出 Tn、4Tn 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论【解答】 解：（1）设等差数列 an 的首项为 a1、公差为 d，则 a10， an=a1+（n1）d，an+

29、1=a1+nd，令 cn=，则 cn= ，= c12n 1n+c + +c+c = + +=，又数列 的前 n 项和为， a1=1 或 1（舍），d=2， an=1+2（ n 1） =2n1；（ 2）由（ 1）知 bn （ n ）（）2n 1n，= a +1 ?2=2n1+1?2 =n?4 Tn =b1+b2+ +bn=1?41+2?42+ +n?4n， 4Tn=1?42+2?43+ +（n1）?4n+n?4n +1，两式相减，得 3Tn 1+42+ +4nn?4n+1n +1 ，=4=?4 Tn =【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中

30、档题18（ 2015?浙江）已知数列 an 和 bn 满足 a1=2， b1=1， an+1=2an （n N* ）， b1+ b2+ b3+ + bn=bn+11（nN* ）（ ）求 an 与 bn；（ ）记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】（）直接由 a1=2，an+1=2an，可得数列 an 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列 an 的通项公式；再由 b，+ ，取n=1求得，当 2时，得另一1=1 b1+ b2+b3+bn=bn 11b2=2n递推式，作差得到，整理得数列 为常数列，由此可得 bn的通项公式；（）求出，然后利用错位相减法求数列 an n的前n项

31、和为nb T【解答】 解：（）由 a1， n+1n，得=2a=2a由题意知，当 n=1 时， b12 ，故2 ，=b1b =2当 n2 时， b1+23n ，和原递推式作差得，b+ b + +=b1，整理得：，；（）由（ ）知，因此，两式作差得：，（ n N* ）【点评】 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题19（ 2015?安徽）已知数列 an 是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 Sn 为数列n的前n，求数列n的前n项和n a n 项和， b = b

32、T【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列 an 的通项公式；（ 2）求出 bn=，利用裂项法即可求数列 bn 的前 n 项和 Tn 【解答】 解：（1）数列 an是递增的等比数列，且14，23a +a =9 a a =8 a1+a4=9，a1a4=a2a3=8解得 a1=1，a4=8 或 a1=8，a4=1（舍），解得 q=2，即数列 an 的通项公式 an=2n1 ；（ 2） Sn=2n1， bn=，数列 bn的前n项和n=T =+ +=1【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算， 利用裂项法是解决本题的关键20（ 2015?山东）设数列 an 的前 n

33、项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（ ）求 an 的通项公式；（ ）若数列 bn ，满足 anbn=log3an，求 bn 的前 n 项和 Tn【分析】（ ）利用 2Sn=3n+3，可求得 a1=3；当 n 1 时， 2Sn 1=3n 1+3，两式相减 2an=2Sn2Sn 1，可求得 an=3n 1，从而可得 an 的通项公式；（ ）依题意， anbn=log3an，可得 b1 = ，当 n 1 时， bn=31 n?log33n 1=（n1） 31n，于是可求得 T1=b1= ；当 n 1 时，Tn=b1+b2+ +bn= +（13 1+2 3 2+ +（ n 1） 31 n），利用错位

34、相减法可求得 bn 的前 n 项和 Tn 【解答】 解：（）因为 2Sn=3n+3，所以 2a1=31+3=6，故 a1=3，当 n1 时， 2Sn 1=3n 1+3，此时， 2an =2Sn 2Sn 1=3n 3n1=23n 1，即 an=3n 1 ，所以 an=（ ）因为 anbn=log3an，所以 b1= ，当 n1 时， bn=31 n ?log33n 1=（n1） 31 n，所以 T1=b1= ；当 n1 时， Tn=b1+b2+ +bn = +（13 1+2 3 2+ +（n1） 31 n），所以 3Tn=1+（130+231+33 2+ +（ n 1） 32 n），两式相减得：

35、 2Tn=（ 0+31 +3 2+ +32 n（n1）31 n ）= +（n+ 3 1） 31 n= ，所以 Tn= ，经检验， n=1 时也适合，综上可得 Tn=【点评】 本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法 ”求和，考查分析、运算能力，属于中档题21（ 2008?全国卷 ）设数列 an 的前 n 项和为 Sn已知 a1=a，an+1=Sn +3n， n N* 由（ ）设 bn=Sn3n，求数列 bn 的通项公式；（ ）若 an+1 an，nN* ，求 a 的取值范围【分析】（）依题意得 Sn+1=2Sn+3n，由此可知 Sn+13n+1=2（ Sn3n）所以 bn=Sn 3n=（ a 3） 2n1，nN* （ ） 由题 设条 件知Sn=3n +（ a 3 ） 2n 1 ，