概率论第三章第四章习题及答案（经典实用）

1、概率论第三章第四章习题及答案 9.以XY记其中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为 (1)求边缘分布律 (2)求条件分布律 (3)写出X=20时,Y的条件分布律 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0 , )!( ! )86. 6()14. 7( , 14 nnm mnm e mYnXP mnm 概率论第三章第四章习题及答案 解: 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 n m mYnXPnXP 0 ,) 1 ( n m mnm mnm e 0 14 )!( ! )86. 6()14. 7( n m mnm mnm n n e 0 14 )8

2、6 . 6 ()14. 7( )!( ! ! ! n n e )86. 614. 7( ! 14 , 2 , 1 , 0, ! 14 14 n n e n ., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0 , )!( ! )86. 6()14. 7( , 14 nnm mnm e mYnXP mnm 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 mn mYnXPmYP, mn mnm mnm e )!( ! )86. 6()14. 7( 14 mn mn m mnm e )!( )86. 6( )14. 7( ! 14 ., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0

3、 , )!( ! )86. 6()14. 7( , 14 nnm mnm e mYnXP mnm 0 14 ! )86. 6( )14 . 7 ( ! k k m km e 86. 6 14 )14. 7( ! e m e m , 2 , 1 , 0, ! )14. 7( 14 . 7 m m e m 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 , | , 2 , 1 , 0)2( mYP mYnXP mYnXP m 时当 ! )14. 7( )!( ! )86. 6()14. 7( 14. 714 m e mnm e mmnm ., 2 , 1 , 0;, 2 ,

4、 1 , 0 , )!( ! )86. 6()14. 7( , 14 nnm mnm e mYnXP mnm , 1, )!( )86. 6( 86. 6 mmn mn e mn 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 , | , 2 , 1 , 0 nYP mYnXP nXmYP n 时当 ! 14 )!( ! )86. 6()14. 7( 1414 n e mnm e nmnm ., 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0 , )!( ! )86. 6()14. 7( , 14 nnm mnm e mYnXP mnm mnm m n C 14 86. 6

5、 14 14. 7 nmC mnmm n , 2 , 1 , 0,49. 051. 0 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 |nXmYP nmC mnmm n , 2 , 1 , 0,49. 051. 0 20|)3(XmYP .20, 2 , 1 , 0,49. 051. 0 20 20 mC mmm 概率论第三章第四章习题及答案 11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数. 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 0 ,0 , ),( 其他 yxcxe yxf y . 11),() 1 ( cdx

6、dyyxf可解得由 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 .0 0 其他, , ),( yxxe yxf y dudvvufyxF xy ),(),()5( 0;),(,00i)yxFyx时或当 . 2 1 ) 1(1 ),( ,0ii) 2 0 00 yxyu x y u v xxy u v exexdueeu dveduududvueyxF xy 时当 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 .0 0 其他, , ),( yxxe yxf y .1 2 1 1 2 1 ) 1(1lim),(lim),( 2 2 y yx y

7、xyx eyy exexyxFyyF 则 .1 2 1 1),(),( ,0iii) 2y eyyyyFyxF yx 时当 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 .0, 2 1 ) 1(1 ,0,1 2 1 1 , 00, 0 ),( 2 2 yxexex xyeyy yx yxF yx y 或 则 概率论第三章第四章习题及答案 25.设随机变量(X,Y)服从区域 上的均匀分布,试求: 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ayaxyxD0 ,0: ),( .,max)2(的概率密度YXM ).()( :(2) zfzF M 和为 分别的分布函数和概率密度

8、设解 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 0 ,0 ,0 ,1 ),( ),( 2 其它 的联合密度函数为由题意知 ayaxa yxf YX 0;)(,0i)zFz时当 ,0iii)时当az zZPzF)(zYzXP,zYXP,max zz dxdyyxf),( 1;)(,ii)zFaz时当 . 1 )( 2 2 00 2 a z dxdy a zF zz 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 1 ,0, , 0, 0 )( 22 az azaz z zF 即 ., 0 ,0,2 )()( 2 其它 因此 aza

9、z zFzf 概率论第三章第四章习题及答案 26.设随机变量X与Y相互独立,X的分布律为 Y的概率密度为 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 0 , 10, 1 )( 其他 y yfY ,1 , 0 , 1 3 1 iiXP 记Z=X+Y,试求: (2)Z的概率密度. ).()( :(2) zfzF Z 和分别为 的分布函数和概率密度设解 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 0;)(,1i)zFz时当 ,01iii)时当z zZPzF)( XzYP zYXP 1;)(,2ii)zFz时当 11)(zYPXPzF ,10iv)时当 z zYPXPz

10、YPXPzF011)( , 3 1 3 1 3 1 0 z dy z , 3 1 3 1 1 0 z dy z 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 XzYPzF)( ,21v)时当 z 11 011)( zYPXP zYPXPzYPXPzF , 3 1 3 1 3 1 3 1 1 0 z dy z . 2 , 1 , 21,3) 1( , 1, 0 )( z zz z zF 即 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 0 , 21,31 )()( 其它 因此 z zFzf 概率论第三章第四章习题及答案 28.设随机变量(

11、X,Y)服从区域 上的均匀分布,定义随机变量U,V如下: 求 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 1, 0: ),( 22 yxyyxD .0,),(UVPVU并计算的联合概率密度 .3, 1 ,3, 0 , 2 ,0 , 1 , 0, 0 YX YX V YX YX X U 概率论第三章第四章习题及答案 解:随机变量(X,Y)的联合概率密度为 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 0 , 1, 0, 2 ),( 22 其他 yxy yxf , 0 YXXPVUP3, 01, 0 , 03,00, 1YXYXPVUP , 4 1 3,01, 1YXYXPVUP YXXPVUP3

12、, 00, 0 , 2 1 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 ., 0 , 1, 0, 2 ),( 22 其他 yxy yxf YXYXPVUP3,0, 2 dxdy x x 1 0 1 1 2 3 3 2 方法 方法二 YXP3 )sin( 3 3 1 2 1 0 2 txdx x x 令 则令事件,3,1, 0 2 YXXYYA ) 6 ( , 6 1 2 0, 2 扇形角度为 的面积 A VUP 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 第三章 多维随机变量及其分布 . 12 1 2 1 6 1 4 1 11, 2VUP 0UVP 1, 21, 1V

13、UPVUP . 3 1 12 1 4 1 概率论第三章第四章习题及答案 2 设随机变量 服从几何分布,其分布律为X ,11 1 1 2 xxxx x n 1 1 1 k k pkpXE)( ,211 1 kppkXP k 解: 由于 第四章 随机变量的数字特征 ).(),(XDXEp求为常数其中,10 1 1 1 k k pkp 两边对x求导得 11321 1 1 12 2 , xnxxx x n 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 .)( pp ppkpXE k k1 11 1 1 2 1 1 因此 (1)式两边对x求导得 2113221 1 2 2 3 ,)( xnxnx x n .

14、 )( 23 1 1 1 1 2 11 2 11 111 pp ppkkp pkkpXXE k k k k 则 第四章 随机变量的数字特征 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 . )()( )()( )()()( 2 22 2 2 2 2 1 112 1 1 p p ppp XEEXXXE XEXXXE XEXEXD 因此 第四章 随机变量的数字特征 概率论第三章第四章习题及答案 8（2）设随机变量 相互独立且 都服从0,1上的均匀分布. 返回主目录 n XXX, 21 .0, , 1 , 0, 1 )( 否则 x xf ., 2 , 1nk .,min ,max 21 21 的数学期望

15、 和求 n n XXXV XXXU 解:由题意知 ( )的密度函数为 k X 则 第四章 随机变量的数字特征 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 . 1, 1 , 10, , 0, 0 )( x xx x xF ), 2 , 1(nk 的分布函数为故相互独立因UXXX n , 21 第四章 随机变量的数字特征 的分布函数为 k X . 1, 1 , 10, , 0, 0 )( u uu u uF n U 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 的分布函数为V duuufUE U )()( 第四章 随机变量的数字特征 的密度函数为U . 1, 1 , 10,)1 (1 , 0, 0 )(

16、 v vv v vF n V .0, , ) 1 , 0(, )( 1 其他 xnu uf n U 1 0 1du nuu n 1 0 duun n . 1 n n . 1, 1 , 10, , 0, 0 )( u uu u uF n U 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 dvvvfVE V )()( 第四章 随机变量的数字特征 的密度函数为V .0, , ) 1 , 0(,)1 ( )( 1 其他 vvn vf n V 1 0 1 )1 (dvvnv n 1 0 1 0 )1 ()1 (dvvvv nn . 1 1 n 1 1 1 1 )1 ( n n v . 1, 1 , 10,)

17、1 (1 , 0, 0 )( v vv v vF n V 概率论第三章第四章习题及答案 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录 9.将n个球随机地放入N个盒子,并且每个球放入各 个盒子是等可能的,求有球的盒子数的数学期望. 解解： ., , 个盒子中有球第 个盒子中没有球第 i i X i 1 0 .,Ni21 易见 . N XXX 1 . N i i EXEX 1 .,Ni1 ,)( n i N N XP 1 0 以X表示有球的盒子数。设 ,)( n i N N XP 1 11 概率论第三章第四章习题及答案 10.若有n把看上去形状相同的钥匙，其中只 有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上

18、的锁，设取到每只钥匙是等可能的。若每把 钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求 试开次数X的数学期望。 （2）不写出X的分布律。 返回主目录 第四章 随机变量的数字特征 概率论第三章第四章习题及答案 （2）令 返回主目录 , 1 1 X 次试开有一次成功前 次试开都不成功前 10, ,1, 1 k k X k ., 2nk . 21n XXXX则 令 表示事件“第k次试开成功”。 k A 则 第四章 随机变量的数字特征 概率论第三章第四章习题及答案 返回主目录 , 1)( 1 XE ) 1(1)( kk XPXE ., 2nk )2( ) 1( 1 21 kn kn n n n n . 2 1

19、 )(1)( 2 n XEXE n k k 因此 第四章 随机变量的数字特征 )( 121 k AAAP )|()|()( 2211121 kk AAAAPAAPAP , 1 n kn 概率论第三章第四章习题及答案 第四章 随机变量的数字特征 24. ;,(1) ,00 . 2 2 的相关系数求均为常数 又 相互独立，设随机变量 VU, ,YXV,YXU) ,(NY ), ,(NXY ,X 解：解： .VU相互独立与为何值时当,)2( 返回主目录 ),(Cov),(Cov ),(Cov),(Cov 2 2 YYXY YXXX ),Cov(),Cov( (1) YXYXVU )()( 22 YD

20、XD .)( 222 概率论第三章第四章习题及答案 第四章 随机变量的数字特征 . )( )(),(Cov 22 22 222 222 DVDU VU UV 所以 返回主目录 故相互独立与时当,0VU UV .)( ,)( , 22222 22222 DYDXDV DYDXDU YX则相互独立与由于 , ),( 正态分布 服从二维知由二维正态分布的性质YX 所以也服从二维正态分布,),(VU .相互独立与时当VU 概率论第三章第四章习题及答案 第五章 大数定律及中心极限定理 7. 概率论第三章第四章习题及答案 第五章 大数定律及中心极限定理 ,29. 15 . 05 . 12 . 02 . 1

21、3 . 01 k XE .713. 15 . 05 . 12 . 02 . 13 . 01 2222 k XE 所以所以 .0489. 029. 1713. 1 2 2 2 kkk XEXEXD 概率论第三章第四章习题及答案 第五章 大数定律及中心极限定理 故量是独立同分布的随机变而, 30021 XXX 300 1 300 1 300 1 300 1 300 1 300 1 400 1400 k k k k k k k k k k k k XD XE XD XEX PXP 0489. 0300 29. 1300400 0489. 0300 29. 1300 1 300 1k k X P .0

22、003. 09997. 0139. 31 xt n k k n dtex n nX P 2 1 2 2 1 lim 概率论第三章第四章习题及答案 2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 8(1) 设一个系统由设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，个相互独立起作用的部件组成， 每个部件的损坏率为每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常。为了使整个系统正常 工作，至少必须有工作，至少必须有85个部件正常工作，求整个系个部件正常工作，求整个系 统正常工作的概率。统正常工作的概率。 解：解：设设X是损坏的部件数，则是损坏的部件数，则 XB(100,0.1)。则整个。则整个 系统能正常工作当且仅当系统能正