2019-2020学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共 60.0 分）1. 为了了解某地区参加数学竞赛的1003 名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则每个学生被抽到的概率为( )5011D.1A. 1003B. 20C. 5010032. 在 ?中，“ ?是直角三角形”是“ ?”的 ( )?= 0A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 某车间为了规定工时定额， 需要确定加工零件所花费的时间， 为此进行了 5 次试验，收集数据如表经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对

2、于加工零件的个数 x 与加工时间y 这两个变量，下列判断正确的是()加工零件数 ?(个 )1020304050加工时间 ?(分钟 )6469758290A. 成正相关，其回归直线经过点(30,75)B. 成正相关，其回归直线经过点(30,76)C. 成负相关，其回归直线经过点(30,76)D. 成负相关，其回归直线经过点(30,75)4. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查， 为此将他们随机编号为 1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的 32 人中，编号落入区间 1,450 的人做问卷 A，编号落入区间 451,750 的人做问卷 B，

3、其余的人做问卷 ?则.抽到的人中，做问卷 B 的人数为 ( )A.7B.9C.10D.155. 下列命题错误的是 ( )A. 对于命题2，则 ?为?2 0p：?，使得 ? + ?+ 1 2 ”是“ ? - 3?+ 2 0”的充分不必要条件C. 若 ?是假命题，则 p， q 均为假命题D. 命题“若 2 - 3?+ 2 = 0 则 ?= 1 ”是正确的?6. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 ?(3,0)，离心率等于3，则 C的方程是 ( )222222222A.?B.?C.?D.?4 -5 = 1-= 1-= 12- 5=145257. 已知平面 ?的一个法向量 ?= (-2, -2,1)

4、 ，点 ?(-1, 3，0) 在 ?内，则 ?(-2, 1，4) 到 ?的距离为( )A. 10B. 3810C. 3D. 38. 如图，在平行六面体 ?-?中，M 为 ?111111与 ?的交点，若 ? ， ? ?，? ，则1 1=?=1=?下列向量中与 ?相?等的向量是()11?+ ?A. - 2?+ 2第1页，共 15页B.11?2+ 2+? ?C. -1?-1?+ ?22D. 1 ?- 1 ?+ ?229.已知点 ?(2,0)，抛物线2C： ? = 4?的焦点为 F ，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点N，则 |?|： |?|=( )A. 2：B.1： 2C.1：

5、D.1： 355221(? ? 0) 的右焦点为 ?(30) ，过点 F 的直线交椭圆10.已知椭圆 E： ?E于A、?2 + ?2 =,B 两点 .若 AB 的中点坐标为(1 ,-1) ，则 E 的方程为 ()22222222?= 1A. 45+ 36=1B. 36+ 27=1C. 27+18=1D.18+911.一张储蓄卡的密码共有6 位数字，每位数字都可从0- 9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2 次就按对的概率是 ()4321A. 5B. 5C. 5D. 512.20) 上一定点 ?(?0,?0)(?0 0)

6、 ，作两条直线分别交抛物线于过抛物线 ? = 2?(?(?,?11 )?(?,2 ?)2. 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，?1 +?2的值为 ()?0A. -1B. -2C. 2D. 无法确定2二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的众数是 _- 14. 在长为5cm的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为_15. 二面角 ?- ?- ?为 60 ，A、B 是棱 l 上的两点， AC、BD 分别在半平面 ?、?内，?，?，且 ?= ?= ?， ?= 2?，则 C

7、D 的长为 _ 第2页，共 15页223?16. 已知线段AB 为双曲线C：?-?= 1的实轴，点 D 在双曲线上，且 ?=224，?若 ?= 4， ?= 42，则双曲线 C 的离心率是 _ 三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）p2q2217. 已知命题?表示双曲：?，使得 ? - 2?+ ? 0) 经过点 (0, 3) ，离心率已知椭圆 2+2 =?为 1，左右焦点分别为?1(-?, 0) ， ?(?,0)22( ) 求椭圆的方程；l?=-1AB( ) 若直线：?+ ?两点，2与椭圆交于、与以 ? 为直径的圆交于C、D 两点，且满足|?|53，求直线 l 的方程1?2=4|?|21

8、. 如图所示，四棱锥 ?- ?的底面 ABCD 为等腰梯形，?/?，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ?= 3 ， ?= 1，?= 2 ， ?底面 ABCD (1) 求证： ?；(2) 若四棱锥 ?- ?的体积 ?= 8 ，求二面角 ?- ?- ?的平面角的正弦值22. 已知抛物线 C： 2 = 2?(? 0) 的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点?A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有 |?|= |?|当.点 A 的横坐标为 3 时， ?为正三角形第4页，共 15页(1) 求 C 的方程；(2) 若直线 ?/?，且 ?和 C 有且只有一个公

9、共点E，11 证明直线AE 过定点，并求出定点坐标 ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由第5页，共 15页答案和解析1.【答案】 A【解析】 解：无论哪种抽样方法，每个学生被抽到的概率相同，即?= 50 ，1003故选： A根据抽样的定义和性质进行求解即可本题主要考查抽样的应用， 结合抽样方法中， 每个学生被抽到的概率相同是解决本题的关键比较基础2.【答案】 B【解析】 【分析】本题考查了简单逻辑用语中的充分必要条件的判断，平面向量的数量积的几何意义，还考查了逻辑推理能力，属于基础题在 ?中，?是直角三角形， 则角 A，B，C 中有且只有一个直角， 未必有?= 0

10、? ?A成立；反之，?= 0，则?为直角， ?是直角三角形；再根据充，角分必要条件的定义判断即可【解答】解：在 ?中，?是直角三角形， 则角 A，B，C 中有且只有一个直角，未必有 ?= 0 成立；反之，?，则 ? ?，角 A 为直角， ?是直角三角形；?= 0?所以“ ?是直角三角形”推不出“ ?= 0 ”；“ ?= 0 ” ? “ ?是直角三角形”；所以在 ?中，“ ?是直角三角形”是“?= 0 ”的必要不充分条件故选 B3.【答案】 B【解析】 解：由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关；-1-1又 ?(64+69+ 75+ 82+ 90) = 76，=5(

11、10 +20+30+ 40+50) =30， ?= 5回归直线过样本中心点(30,76) 故选： B根据表中所给的数据，得到两变量为正相关，求出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，进而得到结论本题考查线性相关及回归方程的应用， 明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键， 是基础题4.【答案】 C【解析】 解： 960 32 = 30，故由题意可得抽到的号码构成以9 为首项、以 30 为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为?1)30= 30?- 21 ?= 9 + (?-由 451 30?- 21 750 解得 15.7 ? 25.7 再由 n 为正整数可得16 ? 25 ，且 ?，故做问卷B

12、 的人数为 10，故选： C由题意可得抽到的号码构成以9 为首项、以 30 为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为 ?= 30?-21 ，由 451 30?-21 750 求得正整数 n 的?= 9 + (?- 1)30第6页，共 15页个数本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题5.【答案】 D【解析】 解： A、对，符合全称命题和特称命题的否定格式；B、对， 2-?2? 2?-3?+ 2 0 ?(?- 2)(? - 1) 0 ? 223?+ 2 0成立，但 ? - 3?+ 2 0 ? ? 2不成立C、对， ?的真假判断是“见真为真，全假为假”D 、不对，解方程

13、2? - 3?+ 2 = 0得到 ?= 1或 ?= 2故选： DA、按全称命题和特称命题的否定格式看；B、看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；C、看复合命题的真假判断；2D 、解方程 ? - 3?+ 2 = 0 ，即可判断本题主要考查了命题、条件的有关知识， 与其它部分的知识联系密切，所以综合性较强6.【答案】 B22【解析】 解：设双曲线方程为?1(?0, ? 0) ，则2 -2 =?3双曲线 C 的右焦点为 ?(3,0)，离心率等于 2，?= 3222 ? 3 ， ?=53， ?= 2， ?= ?-? =?= 222双曲线方程为 ?4- 5= 1故选 B设出双

14、曲线方程，利用双曲线的右焦点为?(3,0)，离心率为 3，建立方程组，可求双曲2线的几何量，从而可得双曲线的方程本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7.【答案】 D【解析】 【分析】本题给出平面的法向量和平面上的一点， 求平面外一点到平面的距离 着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题由题意算出 ?，根据向量 ?= (-2,-2,1) 是平面 ?的一个法向量，算出向?= (-1, -2,4)量在 ?上的投影的绝对值，即可得到P 到?的距离，由此可得本题答案?【解答】解：根据题意，可得?(-1, 3， 0) ， ?(-2, 1， 4) ， ?=

15、(-1, -2,4)，又 平面 ?的一个法向量 ?=(-2, -2,1)，点 A 在 ?内，在 ?上的投影的绝对值，?(-2, 1， 4) 到 ?的距离等于向量 ?|-1 (-2)+(-2) (-2)+4 1|10|?|?即?= ?=4+4+1=3|?|故选： D8.【答案】 A第7页，共 15页【解析】 【分析】本题考查了空间向量的加法，三角形法则，属较易题利用空间向量的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答【解答】解：由题意，?=?+ ?+?11?=?+?+11 ?2 1 1?-1(?+?= ?+?)12= -11?+2?+?12= -1 ?+1?+ ?12211?=- 2?+2?+ ?

16、故选 A9.【答案】 C【解析】 解： 抛物线 C：2? = 4?的焦点为 ?(0,1)，点 A 坐标为 (2,0)抛物线的准线方程为l： ?= -1 ，直线 AF 的斜率为?= 0-1 = - 1，2-02过 M 作 ?于 P，根据抛物线物定义得|?|= |?|1?中， tan ?= -? = 2，|?|=1，可得 |?|= 2|?|，得22|?|2|?|= |?|+ |?| = 5|?|?|1因此， |?| = 5，可得 |?|： |?| = 1：5故选： C求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标，从而得到AF 的斜率 ?= -1.M作 ?于P2过，根据抛物线物定义得 |?|= |?|.?中，

17、根据tan ?=1，从而得到 |?|= 2|?|，2进而算出 |?|= 5|?|，由此即可得到|?|： |?|的值本题给出抛物线方程和射线 FA ，求线段的比值着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题10.【答案】 D【解析】 【分析】本题考查椭圆方程的求法，考查“点差法”和中点坐标公式，属于中档题22?+?11设 ?(?22，?(?,?)22，代入椭圆方程得?1 ,?)122?+?2222?= 1，利用“点差法”可得= 1? +?-?1 22 +12?-?21? +?= 0.?+?= 2?+ ?= -212利用中点坐标公式可得，利用斜率计算公式可得212，

18、 12?第8页，共 15页? =?-?-1-0=122222212=，于是得到?=?1-?21-32? =2?，再利用3 = ?-?，即可解得 ?，?，进而得到椭圆的方程【解答】解：设 ?(?1, ?)1 ， ?(?,?)22 ，22?+?= 12121代入椭圆方程得?，22?+?= 12222?2222? -?2? -?2= 0，相减得 12+12?+?-? +? 1 22 +12?1 22=0，?-?2?1?+ ?= 2，?+ ?= -2 ，1212?1-?2-1-01?= ?-?2=1-3=2 ，1 2 +1 -2= 0，222?223 =2222化为?=2?，又 ?=?-?，解得?=

19、18，? = 922椭圆 E 的方程为?18 +9= 1 故选： D11.【答案】 C【解析】 解：根据题意，密码的最后一位数字是偶数，所以此人在按最后一位数字时，有“2， 4， 6，8， 0”5 种可能，由此可得此人在按前两次，所有的基本事件有?=2?5= 54= 20个若此人不超过2 次就按对，说明前2 次所按的数字含有正确数字12相应的基本事件为 ? = ?2= 42= 8个42 次就按对的概率是?=?82因此，此人不超过?= 20= 5故选： C由于该密码的最后一位数字是偶数，应该在“2， 4， 6， 8， 0”中选数，所以此人前两次所按数字的所有基本事件有212? = 20个，含有正

20、确数字的基本事件为?= ? ? = 8542个，结合古典概型计算公式即可算出此人不超过2 次就按对的概率本题以按密码的事件为例，求某人按密码不超过两次就正确的概率着重考查了基本事件的概念和古典概型及其计算公式等知识，属于基础题12.【答案】 B【解析】 解： ? =?1-?0=2?，? =?2-?0=2?(? ?,? ?) ，? -?0? +?-?0?+?1020110220由 PA， PB 倾斜角互补知 ?即2?+2?= 0，?+? +?= -?1020可得 ? + ? = -2?012?+?故 1?2= -20故选： B由题意写出PA ，PB 的斜率，PA 与 PB 的倾斜角互补， 可得

21、?=?+?-?化简出， 12 = -2?0第9页，共 15页即可本题考查抛物线的应用，直线的斜率，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题13.【答案】 75【解析】 解：根据频率分布直方图知，这些同学成绩的众数是21 (70 + 80) = 75故答案为： 75在频率分布直方图中，众数是条形图中最高的小矩形底边中点本题考查了利用频率分布直方图求众数的问题，是基础题314.【答案】 5【解析】 解：记“两段的长都不小于1cm”为事件 A，则只能在距离两段超过1cm 的绳子上剪断，即在中间的3cm 的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1cm，由几何概型的公式得到事件A 发生的概率 ?(?)=35

22、故答案为： 3 5由题意可知，在中间的3cm 的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，由测度比是长度比得答案本题几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题15.【答案】 2a【解析】 解： 二面角 ?-?-?为 60， A、B 是棱 l 上的两点，AC、 BD 分别在半平面 ?、 ?内， ?， ?，?， ?，且? ?，?，=60 2?2? = (?+ ?+ ?)?22?2? ?=?+?+?+ 2? ?222= ? + ? + (2?) + 2?2?120 2= 4?，?的长2= 4?= 2?故答案为： 2a由已知条件推导出2? ?2?= (? ?+ ?)?22?2? ? ，由此能求

23、?+= ?+?+ 2? ?出 CD 的长本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用16.【答案】 62【解析】 解：由 ?= 4 ，则 2?= 4，即 ?= 2，3?由 ?=4 ，?= 4 2，可知 D 在双曲线的右支上，?设 D 为第一象限的点，则D 为 (2 + 42cos 4 ,4 2sin 4) ，即 ?(6,4)，3616代入双曲线方程可得2 -2 = 1，?第10 页，共 15页由 ?= 2，解得 ?= 2，22，则 ?= ?+ ?= 6即有?6?= ?=2故答案为： 62由题意可得 ?= 2， D 在双曲线的右支上，设D 为第一象限的点，求出?(6,4

24、) ，代入双曲线方程，解得b，求出 c，再由离心率公式，计算即可得到本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力， 运用三角函数的定义求得D 的坐标是解题的关键17.命题 p 的否定形式：【答案】 解： (1)2： ?，使得 ?- 2?+ ? 0 ， ?22?+ ? 0为假命题，(2) 命题 p： ?，使得 ? -4 -4? 0，? 1， 22命题 q：方程?+1 + 2-? = 1表示双曲线为真命题，(? + 1)(2-?) 2实数 m 的取值范围 (2, +)【解析】 (1) 首先，根据所给的命题p 为特称命题， 存在量词改为全称量词，2将 ? - 2?+22?+ ? 0 即可；? 0改为?-

25、(2) 先化简命题 q，然后，得到实数 m 的取值情况，再结合命题p 为假，命题 q 为真，得到实数 m 的取值范围本题重点考查了命题的真假判断，命题的否定等知识，属于中档题18.【答案】 解： (1) 证明：连接ED，三棱柱 ?- ?1 ?11中，侧棱 ?1?底面 ABC，且各棱长均相等，D ，E，F 分别为棱AB， BC，?1 ?1的中点? ?/?且 ?= ?，?是平111行四边形，?/?1?，又 ? 平面 ?1?，?1 ?平面 ?，1?/平面 ?1(2) 解：以 C 为原点，过 C 作 BC 的垂线为 x 轴， CB 为 y 轴， ?为 z 轴，建1立空间直角坐标系，设 ?= 2，则 ?(0,2， 0) ， ?(0,0， 0) ，1133，? (，, ,0)3,