2019-2020学年高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系课件 新人教A版必修1

1、1.2集合间的基本关系 一二三四 一、子集与真子集 1.观察下面实例:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5; 设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B为这个班全 体学生组成的集合; 设A=x|x是两条边相等的三角形,B=x|x是等腰三角形; A=x|x是长方形,B=x|x是平行四边形; A=x|x3,B=x|x2; A=x|(x+1)(x+2)=0,B=-1,-2. (1)上面的每个例子中的两个集合,集合A中的任何一个元素都是 集合B中的元素吗? 提示:是.称集合A是集合B的子集. 一二三四 (2)反过来,上述各对集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素 吗? 提示:两对集合中,集合

2、B中的元素也都是集合A中的元素(集 合相等);这四对集合中,集合B中有些元素不是集合A的元 素.称集合A是集合B的真子集. (3)上述集合A,B的关系能不能用图形直观形象地表示出来? 提示:能.如图,在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表 集合,这种图称为Venn图. 一二三四 (4)Venn图有什么要求?必须是椭圆形吗? 提示:表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是矩形、圆、 椭圆等,也可以是其他封闭曲线. (5)用Venn图表示集合有什么优点和缺点? 提示:优点在于易产生清晰的视觉印象,能直观地表示集合中元 素的构成以及集合之间的关系,缺点在于集合中元素的公共特征性 质不明显

3、. 一二三四 2.填空 一二三四 3.做一做 (1)已知集合P=-1,0,1,2,Q=-1,0,1,则() A.PQB.PQC.QPD.QP (2)已知集合A=x|-1x2,B=x|0 x1,则() A.BAB.ABC.BAD.AB (1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以QP. 答案:C (2)解析:由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可. 如图所示,由图可知,BA. 答案:A 一二三四 二、集合相等 1.(1)在子集的定义中,能否理解为子集A是集合B中的“部分元素” 所组成的集合? 提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素). (2)本书1.1中,我们是如何

4、定义两个集合相等的? 提示:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合 是相等的. (3)本课时“一”中提出的各对集合中,这两对集合中的元素一 样吗?它们之间存在什么样的包含关系? 提示:中,由于“两条边相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合 A中任何一个元素都是集合B中的元素,则A是B的子集;同时,集合B 中的任何一个元素都是集合A中的元素,则B也是A的子集,即A和B 两集合中的元素都是相同的.也就是说集合A与B相等.同理可以说 明中两个集合的元素也完全相同,即两集合相等. 一二三四 2.填空 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元

5、素,那么集合A与集合B相等,记作 A=B. 也就是说,若AB,且BA,则A=B. 3.做一做 已知集合A=1,-m,B=1,m2,且A=B,则m的值为. 解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1. 当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去. 故m=0. 答案:0 一二三四 三、空集 1.(1)观察下面四个集合:方程x2+1=0的实数根组成的集合; 不等式3x2+28且x4 答案:B 一二三四 四、子集与真子集的性质 1.在实数中有如下结论: (1)对于任何一个实数a,有aa; (2)对于实数a,b,c,如果ab,且bc,那么ac. 你能类比这两个结论,写出两个集合之间的类似关系吗?

6、 提示:任何一个集合是它本身的子集,即AA.对于集合A,B,C,如果 AB,且BC,那么AC. 2.上个问题中得到的第(2)条性质可以推广到真子集吗? 提示:可以.对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC. 探究一探究二探究三探究四思想方法 写出写出给定集合的子集给定集合的子集 例1 (1)写出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子 集; (2)填写下表,并回答问题: 由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是多 少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 随堂演练 探究一探究二探究三探究四思想方法 分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个

7、元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2) 由特殊到一般,归纳得出. 解:(1)不含任何元素的子集为; 含有一个元素的子集为0,1,2; 含有两个元素的子集为0,1,0,2,1,2; 含有三个元素的子集为0,1,2. 故集合0,1,2的所有子集为 ,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2. 其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集. 随堂演练 探究一探究二探究三探究四思想方法 (2) 由此猜想:含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是2n, 真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 随堂演练 探究一探究二探究三探究四思想方法 反思感

8、悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中 元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏. 2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有 (2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空 题中直接使用. 随堂演练 探究一探究二探究三探究四思想方法 变式训练1若1,2,3A1,2,3,4,5,则满足条件的集合A的个数 为() A.2B.3C.4D.5 解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同时集合A又是集合 1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和 1,2,3,4,5. 答案:B

9、随堂演练 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 已知已知集合的交集、并集求参数集合的交集、并集求参数 例例3已知aR,集合A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9,若9AB,则实 数a的值为. 分析:9AB说明9A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注 意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性. 解析:9AB,9A且9B, 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 当a=5时,A=-4,9,25,B=0,-4,9,符合题意; 当a=3时,A=-4,5,9,B不满足集合中元素的互异性,故a3; 当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,符合题意.

10、综上可得a的值为5或-3. 答案:5或-3 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 反思感悟反思感悟 已知两个有限集运算结果求参数值的方法 对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用 观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处 理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免 违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 延伸探究延伸探究 例3中,将“9AB”改为“AB=9”,其余条件不变,求 实数a的值及AB. 解:AB=9,9A. 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 当a=5时,A=-4,9,25,

11、B=0,-4,9,由于AB=-4,9,不符合题意, 故a5; 当a=3时,A=-4,5,9,B不满足集合中元素的互异性,故a3; 当a=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,且AB=9,符合题意. 综上可得a=-3.此时AB=-8,-4,-7,4,9. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 例例4集合A=x|-1x1,B=x|xa. (1)若AB=,求a的取值范围; (2)若AB=x|x1,求a的取值范围. 分析:利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件数形结合列出 参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 解:(1)A=x|-1x

12、1,B=x|xa,且AB=,如图1所示. 数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1, a-1. (2)A=x|-1x1,B=x|xa, 且AB=x|x1,如图2所示, 数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点 x=1.-1-1. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 集合集合相等关系的应用相等关系的应用 例4已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,且A=B,求实数x,y的值. 分析:根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解. 解:A=B,集合A与集合B中的元素相同, 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 反思感悟反思感悟集合相等则元素相同,但要注

13、意集合中元素的互异性, 防止错解. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 延伸探究延伸探究若将本例已知条件改为“集合A=x,xy,x-y,集合 B=0,|x|,y,且A=B”,求实数x,y的值. 解:0B,A=B,0A. 又由集合中元素的互异性,可知|x|0,y0, x0,xy0,故x-y=0,即x=y. 此时A=x,x2,0,B=0,|x|,x, x2=|x|,解得x=1. 当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾, x=-1,即x=y=-1. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 由由集合间的关系求参数的范围集合间的关系求参数的范围 例5 已知集合A=x|-5x2,B=x|2

14、a-3xa-2. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系; (2)若AB,求实数a的取值范围. 分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判 断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集 合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而 列出参数a所满足的条件. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 解:(1)若a=-1,则B=x|-5x-3. 如图在数轴上标出集合A,B. 由图可知,BA. (2)由已知AB. 当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表

15、示出两个集合, 又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 反思感悟反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事 项 (1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集 合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准 确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. (2)涉及“AB”或“AB,且B”的问题,一定要分A=和A两种 情况进行讨论,其中A=的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 延伸探究延伸探究(1)【例5】(2)中,是否存在实数a,使得AB?若存在,求

16、出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由. (2)若集合A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且AB,求实数a 的取值范围. 解:(1)因为A=x|-5x2,所以若AB,则B一定不是空集. (2)当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立. 当B时,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可知2a-32或a-2-5, 解得a 或a-3. 又因为a1,所以a-3. 综上,实数a的取值范围为a1或a-3. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用 对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数(字母),若

17、 AB或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”, 解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法. (1)分类讨论是指: AB在未指明集合A非空时,应分A=和A两种情况来讨论. 因为集合中的元素是无序的,由AB或A=B得到两集合中的元 素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论. (2)数形结合是指对A这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来 完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圈,确定两个 集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数. 特别提醒 此类问题易错点有三个:忽略A=的情况,没有分类 讨论;在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;没有 弄清包含关系,

18、以致没有正确地列出不等式或不等式组. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 (3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指: 分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足互 异性. 所求参数能否取到端点值需要单独验证. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 典题已知集合A=x|1ax2,B=x|x|1,是否存在实数a,使得 AB.若存在,求出实数a的取值范围. 分析:对参数a进行讨论,写出集合A、B,借助于数轴,求出a的取值 范围. 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练 1.集合x,y的子集个数是() A.1B.2C.3D.4 解析:(法1)集合x,y的子集有,x,y,x,y,共有4个. (法2)集合内有2个元素,子集个数为22=4个. 答案:D 2.下列正确表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0关系的Venn图是( ) 解析:由N=-1,0,知NM