圆锥曲线和导数

1、锥曲线和导数 锥曲线 1位置关系的判定方法一般有两种： （1）代数方法：转化为方程根个数的判定 （2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置 关系，列等量（不等）关系式. 2.直线与椭 （双曲线）的综合 (1) 设:设交点 A (XI, yi) , B (XI, yi)，设直线 I : y=kx+b, mnv6双曲线）； 椭圆（双曲线）C： mx2+ny2=l （mn0椭圆 联（硬解定理）= 联立直线方程与椭 (双曲线)方=mx2+ny2=l,去y得: y=kx+b （nk2+m） x2+2kbnx+nb2-l=O =nk2-mnb2+mO, xi+x2=-2kbn / nk2+

2、m, yi+y2=2mb / nk2+m, xix2=nb-l / nk2+m yiy2=mb2-k2/ nk2+m 根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其 目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一 （3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐 1 ZrA 标迈算 弦长公式，止FI二V(X1+X2)2+ (yl-y2)2=VI+k2lXl-X21 =VI+k2 Vnk2- mnb2+m/ | nk2+m | (硬解定理) 以AB为直径的圆经过原点0二0E丄OFJ%oX2+yiy2=OOnb2V l+mb2 k2/nk2+m=O,g卩(n+m) b2=l+

3、k2 (硬解定理) 整:抓住元，将结论表示成某参(一般为斜率或点坐标等) 的函数式； 根据结论不同问法选取不同的求解策略 求解取值范围一般有两种解题策略 利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围； 选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题对于比较复 杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系. 3.般性质结论 在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA二 (XI, Y 2)，向量 CB二(X2, Y 2),则 SA ABC=l/21Xly2-X2yll. 在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐 标分别为 A (XI, y2) ,B

4、(x2, Y 2),C (xo, y0) ,0 为坐标原点,贝(| SSAOB=1/2lXly2-X2y 11, SOABC=1 / 2 | (XI-XO) (y2-y0)(x20) (yi-yo) 对椭圆x2/a2+y2/b2=l,ii原点的两条直线I】和丨2分别与椭圆交于A、 B和C、D,记得到的平行四边形ACBD的面积为S,若直线h与| 2的斜 率之积为-b2/a2 (在X轴)或心J (在y轴)，则 (1)Xi2+x22=a2; (2) yi2+y22=b2;(3) S=2ab.(在 X 轴)或 (1) xi2+x22=b2; (2) yi2+y22=a2;(3) S=2ab.(在 y

5、轴) 4 焦点三角形的相关结论 以椭圆 X2/a2+y2/b2=l(ab0)一点 P (xo, yo) (yo匍)和焦点 Fl (-c, O), F2(C, 0)为顶点的PIPFIF2 (焦点三角形)中，若ZFIPF2=0,则IPFII+ PF2 =2a. (2) 4c2= IPFII2+ PF2 I 2-2IPFIH | PF2 | cose. (3) IPFII IPF2 =2b2/l+oose (4) SSPFlF2=l/2 IPFII IPF21 sin0=b2tan (0/2). 以双曲 x2/a2-y2/b2=l (a, b0)上一点 P (xo, yo) (yoHO)和焦点 Fl

6、 (-c, 0), F2 (c, 0)为顶点的PIPFIF2 (焦点三角形)中，FiPF2=0,则IIPF.MPF2 H =2a. (2) 4c2= IPFir+lPF2r-2IPFII I PF21* cos0. (3) IPFII* PF2 I =2b2/l-cos0 (4) S0PFiF2=I/2IPFII IPF21 sin0=b%an1 (0 / 2)- 与椭圆 4.结论:抛物线E： x2=2Py第一象限上一动点P的切线, x2/a2+y2/b2=l(ab0)交于不同的两点A、B线段AB中点为D,直线OD 与过点P且垂直于X轴的直线交于点M,则点M在定直线y二.pb2/a2, 当且仅

7、当amF时，SVS2的最大值为定值9/4 ; 5曲线一般性质总结: 锥曲线: 锥曲线E: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=O 上任 点P (x0, yo)引两条弦 双曲线，30抛物线), PA、PB,若 kpAkpB=k 或 kpA+kpB二k (ka / c 椭 则直线AB经过定点. 曲线过定点题型方法归纳： 参数元关法探索定点关系法 6答题模板 第步：假设结论存在. 第二步：以存在为条件，进行推理求解 第三步：明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯 定正确；若推出矛盾，即否定假设. 第四步:反思回顾，査看关键点、易错点及解题规范. 与双曲线焦点弦性质总结: 锥曲线上的

8、一点P (Xo,Yo)到焦点的线段称为焦半径. 焦半径常考公式； 焦半径公式：对左、右焦点分别为Fi(c,O),F2(c,0)的椭 x2 / a2+y2 / b2=l(ab0)或双曲线 x? / a2-y2 / b2=l(a, bO)_t点 P(xo, yo),有 IPFII = la+exo | , | PF2 | = | a-exO | . 焦半径公式(U): x2 / a2+y2 / b2=l(ab0)或双 对左、右焦点分别为Fl(-c, O), F2(c, 0)的椭 曲x2/a2-y2/b2=l(a, b0)上一点 P (xo, yo),有 IPFII=b2/a- CCOSa (椭圆)

9、 或 IPFII=b2/ a+ccosa (双曲 线),I PF2 | =b2/a+ccosp (椭 I PF2 I =b2/ | a-ccosp | (双曲线),其中 a、0 为焦半径 PFU PF2% X轴正半轴所成的角 焦点弦长公式: 若椭圆 x2/a2+y2/b2=l(ab0)或双曲线 x2/a2-y2/b2=l (a, b0)的焦 点弦 AB,设其倾斜角为 a,有 IAB I =2ab71a2-c2* cos2a|. 焦点弦定理 已知焦点在X轴上的圆锥曲线G经过其焦点F的直线交曲线于A、 B两点,直线AB的倾斜角为 xr x2=P2/4; (2) k2=2p/yi+y2; (3) I

10、AFI =xi+p / 2=p / l-cos0, BF =xi+p / 2=p / l+cos0 (4) IAFI +1 BFI =2/p ; (5) IABI=2p / sin20(6)SA 6AB=p2 / 2sin0; 在直角梯形APQB中; 0PFQ=9O (以PQ为直径的 AB 相切)，0ARB=9O (以 AB 为 直径的 与准线相切)； | AF | , | RF | , IBFI成等比数列; I AF | , | AR | ,IABI成等比数列; | BF | , | BR | ,IABI成等比数列； (8) 直角梯形APQB对角线过原点0 ; (9) 以AF (或BF)为直

11、径的圆与y轴相切； 若过焦点作直线I的垂线n交抛物线于C、D两点，倾斜角为ex (10) lABr+l CDI =l/2p ; (11) IABI +1 CD I =8p / sin22a(ZI8p, +oo)； (12) IABI I CD I =16p2/sin22cd2116p2, +); (13) SAPF的面积,SPFQ的面积的一半，3BQF的面积，成等比数 列； (12)若向量 AF二入向量 FB,则 cose二 | A-I / 入+1 | , Vl+ki2= I A+l | / | A- H 9曲线性质总结: 曲线c: x2=2Py与直线I： y=kx+b(b0)交于M、N两点.

12、结论1 :曲线c在点M、N处的切线的交点Q的横坐标与两点的横坐 标成等差数列，即2XQ=Xm+XN. 结论2：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的轨迹为ynb; 结论3 :过直线y=-b士任一点做曲线C的切线，切点分别为M、N,则 直线MN恒过定点T(0, b); 结论4:当直线I经过曲线C的焦点时，有MQ丄NQ. 10结论已知椭 X2 / a2+y2 / b?三 1 或 y2 / a2+x2 / b2=l (ab0),直线 I 不 过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A、B,线段AB的中点 为M. (1) 直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值-b2/a2%-a2/b2; (2) 若I过点

13、(a, b),延长线段OM与C交于点P,当四边形OAPB为平行 四边形时，则直线I的斜率k | = (4V7) /3 b/a或k | =(4V7) / 3 a / b 11.般性结论: 已知椭 C : x2 / a2+y2 / b2=l (ab0), A为椭圆上的动点, 点B为直 x2+y2=b2相切导数 线y二ab/c上的动点，若OA丄OB,则直线AB与 1 求过某点处的切线方程 解题过程1确定切点P g yo)；：求导f (x)； 3 求斜率 k=f (xo)；点斜式 y-yo=k (X-XO) (*) 将点P代入切线;将求得的切点代入(*) 三次函数切线条数： 过三次函数f (x) =a

14、x3+bx2+cx+d (aHG)图象的对称中心作切线I,则坐标平 面被切线I和函数f(X)的图象分割为四个区域，有以下结论： (1) 当定点P在中心N或在I和In区域时，过点P的切线有1条； (2) 当定点P在函数f(X)或切线I上且不在N时，过点P的切线 有2条； (3) 当定点P在II或在IV区域时，过点P的切线有3条. 记法：内一，上二，外三 2 隐零点估值与代换解法 (1) 分而治之寻找充分条件，逐个求解不等式； (2) 找点过程中放缩的出发点是使不等式能解，易解； (3) 结合“点所在的区间，以及各部分的“阶，进行放缩. 3极值点偏移 对数不等式 lnXI-lnx22(Xl-X2) /xl+x2 偏移. 4构造法的经验总结有两点： 因为图象y”变化递增的速度比y=inx快，所以才去“分家”构造新 函数的形式，而此时的关键是构造怎样的函数形式. 联想到常见幕函数、指数函数、对数函数两两组合构成的新函数. (1)幕函数与指数函数的组合： y=x+ex, y=x-ex, y=xex, y=ex / x, y=x / ex, y=xnex, y=ex / xn, y=xn / ex; 幕函数与对数函数的组合: y=x+ln