2019年浙江省杭州四中高考数学仿真试卷

1、2019 年浙江省杭州四中高考数学仿真试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共 41.0分）1.已知 i 为虚数单位，则 |3+2i|=（）A.B.C.D. 32.已知 A= x|-2 x 1 ，B= x|2x 1 ，则 A（ ?R）B）为（A. （ -2， 1）B. （ -， 1）C. （0，1）D. （ -2， 03.若，则 a5=（）A. 56B. -56C.35D. -354.设函数 f（ x） =sin（ x+?）（ 0），则 f（x）的奇偶性（）A. 与 有关，且与 ? 有关B. 与 有关，但与 ? 无关C. 与 无关，且与 ? 无关D. 与 无关，但与 ?

2、有关5.已知 xR，则“ |x-3|-|x-2| 2”是“ x1”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6. 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B=30 ，ABC 的面积为 ，且 sinA+sin C=2sinB，则 b 的值为（）A. 4+2B. 4-2C. -1D. +17. 将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为（）A. 50B. 80C. 120D. 1408.已知 a，b 为实常数， ci （ i N* ）是公比不为1 的等比数列，直线ax+by

3、+ci=0 与抛物线 y2=2px（ p 0）均相交，所成弦的中点为Mi（xi， yi），则下列说法错误的是（）A. 数列 xi 可能是等比数列B. 数列 yi 是常数列C. 数列 xi 可能是等差数列D. 数列 xi +yi 可能是等比数列9. 若定义在（ 0，1）上的函数 f（ x）满足： f（ x） 0 且对任意的 x（ 0， 1），有 f（） =2f（ x）则（）A. 对任意的正数 M，存在 x（ 0， 1），使 f（ x）MB. 存在正数 M，对任意的 x（ 0， 1），使 f（ x） MC. 对任意的 x1， x2（0， 1）且 x1 x2 ，有 f （x1） f（ x2）D. 对

4、任意的 x1， x2（ 0， 1）且 x1 x2，有 f（ x1） f（ x2）10. 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是直线 CD、 AB 上的动点，点 P 是 A1C1D 内的动点（不包括边界） ，记直线 D 1P 与 MN 所成角为 ，若 的最小值为，则点 P 的轨迹是（）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分第1页，共 17页C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分二、填空题（本大题共7 小题，共21.0 分）11.比较 lg2 ，（ lg2） 2， lg（ lg2 ）的大小，其中最大的是_，最小的是 _12. 设随机变量 X 的分布列为X123Pa则 a=_

5、；E（ X） =_13. 已知函数 f（ x） =x3+ax+b 的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 2x-y-5=0 ，则a=_； b=_ 14.若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a 的值为_15. 在数列 an 中，若存在非零整数T，使得 am+T=am 对于任意的正整数m 均成立，那么称数列 an 为周期数列， 其中 T 叫做数列 an 的周期，若数列xn 满足 xn+1=|xn- xn-1|（ n2， nN），如 x1=1 ，2=a（ aR， a0），当数列 xn 的周期最小时，该数列的前 2015 项的和是 _ 16. 若非零向量 ， 满足： 2 =（ 5 -

6、4 ）? ，则 cos ， 的最小值为 _ 17.已知实数x y z，则xyz的最小值为_；此时z=_，满足三、解答题（本大题共5 小题，共74.0 分）18.已知函数， xR（ 1）求函数 f（ x）的单调增区间；（ 2）求方程 f（ x）=0 在（ 0，内的所有解19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD ，BAD 为直角，ABCD，AD =CD =2AB，E、F 分别为 PC、 CD 的中点（ ）证明：平面 APD 平面 BEF ；（ ）设 PA=kAB（ k 0），且二面角 E-BD-C 的平面角大于 60，求 k 的取值范围第2页，共 17页20. 已知数列 an

7、与 bn 的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且对任意 nN* ，an+1-an=2（ bn+1-bn）恒成立（ 1）若， b1=2，求 Bn；（ 2）若对任意 nN* ，都有 an n及成立，求正实数=Bb1 的取值范围21. 已知动圆 E 经过点 F（ 1， 0），且和直线 l ：x=-1 相切（ ）求该动圆圆心 E 的轨迹 G 的方程；（ ）已知点 A（ 3，0），若斜率为 1 的直线 l 与线段 OA 相交（不经过坐标原点 O 和点 A），且与曲线 G 交于 B、 C 两点，求 ABC 面积的最大值22. 已知函数 f（ x） = （ a0）， e 是自然对数的底数（ 1）当 a 0

8、 时，求 f（ x）的单调增区间；b-1（ 2）若对任意的x，f （ x） 2e （ bR），求实数的最大值；第3页，共 17页（ 3）若 f（ x）的极大值为-2，求不等式f（ x）+ex 0 的解集第4页，共 17页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：|3+2i|=故选：C直接利用复数模的公式求解本题考查复数模的求法，是基 础的计算题2.【答案】 D【解析】解：A=x|-2 x1 ，B=x|2 x1=x|x 0 ，?B=x|x 0，RA（?RB）=x|-2 x 0=（-2，0故选：D解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出 A（?RB）即可本题考查了集合的定 义与运算问题，是基础题3.

9、【答案】 B【解析】项8-r r解：通 公式 Tr+1=（-1） x ，令r=5，3则 a5=（-1）=-56故选：B利用通项公式即可得出本题考查了二项式定理的 应用，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题4.【答案】 D【解析】解：函数f （x）=sin（x+）（0），则 f（x）的奇偶性与 有关，与 无关； =k，kZ 时，f（x）为奇函数； =k+，kZ 时，f（x）为偶函数；第5页，共 17页否则，f（x）为非奇非偶的函数故选：D根据正弦型函数的 图象与性质，知 f（x）的奇偶性与 有关，与 无关本题考查了正弦型函数的奇偶性 问题，是基础题5.【答案】 B【解析】解：已知xR，若“|x

10、-3|-|x-2| 2”因为：|x-3|-|x-2| |（x-3）-（x-2）|=1 2；推出x 在R 上成立；故：推不出“ x；1”已知 xR，因为|x-3|-|x-2| |（x-3）-（x-2）|=1 2 在 R 上恒成立，则当 xR，“x时1”；能推出：|x-3|-|x-2| 2；由充要条件定 义可知：已知 xR，则“|x-3|-|x-2|2”是 “x的1”：必要不充分条件；故选：B根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本 题的关键6.【答案】 D【解析】解：由已知可得： acsin30 = ，解得：ac=6，

11、又 sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得：a+c=2b，222（22，由余弦定理：b）ac=4b -12-6=a +c -2accosB= a+c -2ac-解得：b2=4+2，b=1+故选：D先根据三角形面 积公式求得 ac 的值，利用正弦定理及题设中sinA+sinC=2sinB ，可知 a+c 的值，代入到余弦定理中求得 b本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理， 应用熟练记忆这 两个定理及其 变式，属于基础题第6页，共 17页7.【答案】 B【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论： 、甲组有 2 人，首先选 2 个放到甲 组，共有 C52=10 种结

12、果，再把剩下的 3 个人放到乙和丙两个位置，每 组至少一人，共有 C32A 22=6 种结果，根据分步 计数原理知共有 10 6=60， 、当甲中有三个人时，有C53A22=20 种结果共有 60+20=80 种结果；故选：B分 2 种情况讨论， 、甲组有 2 人，首先选 2 个放到甲 组，再把剩下的 3 个人放到乙和丙两个位置，每 组至少一人， 、甲组含有 3 个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列，由分 类计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的实际应用，解题时注意对于三个小 组的人数限制，先排有限制条件的位置或元素8.【答案】 C【解析】解：由直线 ax+by+ci=0，当a=0

13、，b0时，直线 by+ci =0 与抛物线 y2=2px（p0）仅有一个交点，不合题意当 a0，b=0时线，化为：，则，直ax+cxi=-i=0x=-yi =0 xi +yi=-由 c i （iN* ）是公比不为 1 的等比数列，可得 x i 是等比数列，x i+yi 是等比数列，不是等差数列时线化为：，代入抛物线2（ ），当 a0，b0 ，直 ax+by+ci=0x=- y-y =2px p 0y2+y+=0根据根与系数的关系可得：y i 是常数列，是等比数列，是等差数列综上可得：A ，B，D 都有可能，只有 C 不可能故选：C第7页，共 17页由直线 ax+by+ci =0，对系数 a，b

14、 分类讨论，利用中点坐标公式可得 M 坐标，再利用等差数列与等比数列的定义通项公式即可判断出 结论本题考查了直线方程、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系、等差数列与等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题【答案】 A9.【解析】时 对为单调减函数，解：当x（0，1） ， 勾函数 y=x+所以 t（x）=在区间单调递增，（0，1）上令 0x1x21，则 t（x1）t（x2），x（0，1），有f（）=2f（x），+=2f0+f 0+=0当 x 0时，有 f（0）（），故（ ） ，故对任意的正数 M ，存在 x（0，1），使f（x）M对于函数 f （x

15、）的单调性不能确定，故选：A当 x（0，1）时，对勾函数 y=x+为单调减函数，可知 t（x）=在区间（0，1）上单调递增，令 0x1 x21，则 t（x1）t（x2），x（0，1），有f（）=2f（x），+）=2f+对故当 x0 时，有f （0（0 ），故f（0）=0，故 任意的正数 M ，存在 x（0，1），使f（x）M，对于函数 f（x）的单调性不能确定本题考查了函数的性质对进行分析，从而作出判定，属于，需要 函数的特征难题10.【答案】 B【解析】解：把MN 平移到面 A 1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN所成角为 ，第8页，共 17页直线 D1P 与 MN所成角的最小 值，是

16、直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角，即原问题转化为线所成角为，：直 D1P 与面 A1B1C1D1点 P在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分，点 P 是A1C1D 内的动点（不包括边界）则点 P 的轨迹是椭圆的一部分故选：B把 MN 平移到面 A 1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN 所成角为 ，直线 D1P 与 MN所成角的最小 值，是直线 D1P 与面 A 1B1C1D1 所成角，即原问题转化为：直线D1P 与面 A1B1C1D1 所成角为，求点P 的轨迹点P 在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分，则点 P 的轨迹是椭圆的一部分本题考查了空间轨迹问题，考查了转化

17、思想，属于中档题11.【答案】 lg2lg（ lg2 ）【解析】2解：lg2（0，1），0（lg2） lg2，lg（lg2）0，最大的是 lg2，最小的是 lg（lg2）故答案分 别为：lg2，lg（lg2）2由 lg2（0，1），0（lg2） lg2，lg（lg2）0，即可得出大小关系本题考查了对数函数的 单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题12.【答案】【解析】解：根据所给分布列，可得 a+=1，解得 a=，随机 变量 X 的分布列如下：X123P第9页，共 17页EX=1 +2 +3=故答案为：， 根据概率的和 为 1 求得 a 的值，再根据期望公式 计算对应的值本题主要考查了

18、离散型随机 变量的分布列与期望公式的应用问题，是基础题13.【答案】 -1-3【解析】解：由f（x）=x3+ax+b，得f （x）=3x2+a，由题意可知 y|=3+a=2，即a=-1x=1又当 x=1 时，y=-3，13-1 1+b=-3，即b=-3故答案为 -1，-3求出原函数的 导函数，由曲线在 x=1 处的切线的斜率求得 a，再由曲线和直线在 x=1 处的函数值相等求得 b本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在 该点处的导数值，是中档题14.【答案】 4【解析】解：由约束条件作出可行域如 图，若 a0，则约束条件表示的平面区域不是三角形，不

19、合题意；联，解得C（，），若 a0， 立又B（），由题意可得：，解得 a=4第10 页，共 17页故答案为：4由约束条件作出可行域， 对 a 分类可得 a0，然后求出三角形的 顶点坐标，由边长相等列式求得 a 值 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15.【答案】 1344【解析】解： 若其最小周期 为 1，则该数列是常数列，即每一 项都等于 1，此时 a=1，而该数列的项分别为 1，1，0，1，1，0，1，1，0， ，即此时该数列是以 3 为周期的数列，矛盾，舍去 若其最小周期 为 2，则有 a3=a1，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2 或 a=0，又a0，

20、故 a=2，此时该数列的项依次为 1，2，1，1，0， ，由此可见，此时它并不是以 2 为周期的数列，舍去综上所述，当数列 x n 的周期最小 时，其最小周期是 3（i）a1时，a1=1，a2=a，a3=|a-1|=a-1，a4=|a-1-a|=1，a5=|1-（a-1）|=|2-a|， ，|2-a|=a，解得a=1此时该数列的前 2 015 项和是 671（1+a+a-1）+（1+a）=1343a+1=1344（ii ）a1，a0时，a1=1，a2=a，a3=|a-1|=1-a，a4=|1-a-a|=1，解得 a=0 或 1，舍去故答案为：1344 若其最小周期 为 1，则该数列是常数列，即

21、每一 项都等于 1，此时 a=1，而该数列的项分别为 1，1，0，1，1，0，1，1，0， ，即此时该数列是以 3 为周期的数列，矛盾，舍去 若其最小周期 为 2，同理得出矛盾，舍去综上所述，当数列 x n 的周期最小 时，其最小周期是 3，即可得出本题考查 了数列的周期性、分 类讨论 方法，考查了推理能力与 计算能力，属于难题16.【答案】【解析】第11 页，共 17页解：非零向量，满足：2=（5 -4）?，可得?=（2+42）= （| |2+4| |2） ?2=|?|，即有 cos， = ?= ，当且仅当|=2|，取得最小值 故答案为： 由题意可得?=（2+42），由向量数量积的性质：向量

22、的平方即为模的平方，运用基本不等式和向量的夹角公式，即可得到所求最小 值本题考查向量的数量 积的定义和夹角公式，以及性质：向量的平方即为模的平方，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考 查运算能力，属于中档题17.【答案】2+【解析】解：由xy+2z=1，可得xy=1-2z 22222，5=x +y +z2xy+z=z -4z+2z2-4z-30，xyz=（1-2z）z=-2z2+z=-2=当 z=2+时，xyz 的最小值为故答案为：；2+由 xy+2z=1，可得xy=1-2z ，因此5=x22222，解出的范围，+y +z2xy+zz=z -4z+2再由 xyz=（1-2z）z=-

23、2z2+z 求出最小 值即可本题考查了方程与不等式的性质、二次函数的单调查转化思想，推性，考 了理能力与 计算能力，属中档题18.= sin2x+cos2x=2sin（ 2x+ ），【答案】 解：因为 2k- 2x+ 2k+， kZ第12 页，共 17页所以 k- xk+， kZ所以函数的单调增区间为k- ，k+， kZ（ 2）由 f（ x）=0 得 2sin（ 2x+ ） =0，解得： 2x+ =k，kZ，即 x=-+， kZx（ 0， ，当 k=1 时， x=，当 k=2 时， x=【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及 辅助角公式 进行化简，结合三角函数 单调递增的性质进行求解；（2）

24、解方程f（x）=0，求出 x 的解，即可本题主要考查三角函数的 图象和性质，利用辅助角公式 进行化简是解决本 题的关键19.【答案】 证明：（ ）AB CD ， AD=CD =2AB， E、 F 分别为 PC、CD 的中点EF PD， BFAD，EFBF=F， ADPD=D，平面 APD 平面 BEF 解：（ ）在四棱锥P-ABCD中， PA底面 ABCD ，BAD为直角， ABCD ，以 A 为原点， AB 为 x 轴，AD为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AD=CD =2AB=2，则PA =kAB=k，D（ 0，2，0），B（ 1，0，0），P（ 0，0， k）， C

25、（ 2，2， 0）， E（ 1，1， ），=（ -1， 2，0），=（ 0， 1， ），设平面 BDE 的法向量=（ x， y， z），则，取 y=1，得 =（ 2， 1， - ），第13 页，共 17页平面 BDC 的法向量=（ 0， 0，1），面角 E-BD-C 的平面角大于60 ，|cos|= cos60 =，由 k 0，解得 k 【解析】（）推导出 EFPD，BFAD ，由此能证明平面 APD 平面 BEF（）以A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出k 的取值范围 本题考查面面垂直的 证明，考查实数的取值范围的求法，考查空

26、间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档 题22220.【答案】 解：（ 1） An =n ， n2时， an =An-An-1=n -（ n-1） =2n-1an=2n-1an+1 -an=2（ bn+1-bn），bn+1 -bn=2=1，又 b1 =2数列 bn 是等差数列，首项为2，公差为 1Bn=2n+1=（ 2）对任意 nN* ，都有 an=Bn ，an+1 -an=Bn +1-Bn=bn+1bn+1 -bn=（ an+1-an ）= bn+1bn+1 =2bn，b1 0数列 bn 是等比数列，公比为2Bn=b1=（ 2n-1） b1另一方面：=-成立，

27、-+-+-=-=（1-），b1 3（ 1-）对任意 nN* ，都成立， b13正实数 b1 的取值范围是 3， +）【解析】第14 页，共 17页（1）A n=n2，n2时，an=A n-A n-1n=1 时，a1=1可得 an再根据 an+1-an=2（bn+1-bn），利用等差数列的通项公式求和公式即可得出（2）对任意 nN* ，都有 an=Bn，可得an+1-an=Bn+1-Bn=bn+1bn+1-bn=（an+1-an）=bn+1化为 bn+1=2bn，b1 0可得数列b n 是等比数列，公比为2可得 Bn=b1=（2n-1）b1另一方面：=-利用成立，及其数列的单调性即可得出本题考查

28、了数列递推关系、等差数列与等比数列的通 项公式求和公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题21.【答案】 解：（ ）由题意可知点E 到点 F 距离等于点 E 到直线 l 距离，所以动点 E的轨迹是以 F （1， 0）为焦点，直线x=-1 为准线的抛物线，故：曲线 G 的方程是 y2=4x（ ）设直线 l 的方程为 y=x+m，其中 -3 m 0联立方程组，消去 y，得x2+（2m-4） x+m2=0，=（2m-4） 2-4m2=16 （1-m）恒大于零，（ -3 m 0）设 B（x1 ， y1）， C（ x2， y2），由求根公式得：，|BC |=|x1-x2|

29、=4，点 A 到直线 l 的距离为点 A 到直线 l 的距离为d= ，S，（ -3 m 0），令 t=2 =2（ 1，2）， t =1- m，S=2t（ 4-t2），令 f（ t ）=8t-2t 3，（ 1t2）f（ t） =8-6 t2，函数 f（ t）在（ 1，）上单调递增，在（， 2）上单调递减当 t=时，即时取得最大值ABC 的最大面积为【解析】（）由题意可知点 E 到点 F 距离等于点 E 到直线 l 距离，动点 E 的轨迹是以 F（1，0）为焦点，直线 x=-1 为准线的抛物线，求出抛物线方程即可（）设直线 l 的方程为 y=x+m ，其中-3 m0联立方程组，消去y，通过判别式 恒大于零，设 A （x ?，y?），B（x?