2018-2019学年河南省南阳市六校高二(上)期中数学试卷(理科)

1、2018-2019 学年河南省南阳市六校高二（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.已知集合A=0，2，B=02，-2，则A B=（），A. -2 ， 0， 2B. -2 ， 0， 2， 2C. 0 ，2D. -22.若直线y=kx-1）和（x+122k 的取值范围是（）（） +y =1 有公共点，则实数A. -B. -C. 0， D. -3.已知平面向量=2m=-11），若（2），则实数m的值是（）（，），（，A.3B. -3C.2D. -24.已知等差数列 an 的前 n 项之和为Sn，若 S13=26 ，则 a7=（）A.2B

2、. 4C.6D.85.点（ a， b）为直线 y=-4x+8 的第一象限上的一点，则ab 的最大值为（）A.1B. 2C.4D.86.已知等比数列 an 满足 a3=4，且=9 ，则 a1+a19+=（）A.B.C.D.7.已知 f（x）=sinx+，则 （f x）在区间 -1，1 上的最大值和最小值之和等于（）A.0B. 1C.2D.38. 在 ABC 中， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，若 a=b= c，则 A， B， C的度数之比为（）A. 1：1：5B. 1：1：4C. 1： 1：3D. 1：1：29.在递增的等比数列 an 中，前 3 项之和等于 7，若 a1，a2

3、，a3成等差数列，则n-1 a 的公比等于（）A.2或4B. 4或C.2或D. 210.若关于 x 的不等式 -x2+ax-40的解集中只有一个元素并且该元素是正数，则直线 y=（ a-5）x+a 不经过第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四11.ABC中，内角AB，C所对的边分别为ab c，sinA 2cosB-a）=sinB在非等腰 ， ，（ 2cosA-b），则 c=（）A.B. 1C. 2D.12.已知数列的前 n 项之和为，且满足，则第1页，共 15页A. 2B. 1C.0D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.ABC中，边AB BCx2-3x+1=0的两个根，且

4、 cosB= ，则 AC=_在 ， 的长为方程14.如图，向边长为1 的正方形内随机投掷一点P，则点 P 落在阴影区域内的概率是_15.已知点 N（x， y）在不等式组，表示的平面区域中，M（ 2， -3）， O为坐标原点，则?的取值范围是 _ABC中，RABC的外接圆半径，角AB，C的对边分别为abc16. 在锐角 为 ， ，且 aR=bc，则 tanAtanBtanC的最小值为 _三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0 分）17. 已知 Sn 为正项数列 an 的前 n 项之和，且 Sn= an2+ （ ）求 an 的通项公式；（ ）求 的前 n 项和 Tn18. 某企业近五年里每年的

5、单件产品平均研发费用x（元）与销售单价增加值y（元）之间的对应关系如表：x2.42.83.23.64.0y1419242934已知 x， y 之间线性相关（ ）求 x， y 之间的线性回归方程；（ ）当年单件产品平均研发费用为6 元时，试估计销售单价增加值附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=， a=第2页，共 15页19.已知向量=（sinx， cosx）， =（ cosx，cosx）， f（ x） =（ ）求 f（ x）的单调递增区间；（ ）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（A）=1，a=1，求 ABC 面积的最大值20. 设等差数列 bn

6、的前 n 项和为 Sn，已知 b2=4， S5 =30（ ）求 bn 的通项公式；（ ）设 an=bncosn，求数列 an 的前 30 项和 T3021. 在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A，B， C 的对边，若 a， b， c 成等差数列， ABC的周长为 15，且 c2=a2+b2+ab（ ）求 ABC 的面积；（ ）设 G 为 ABC 的重心，求 CG 的长22.已知 m 是不等式2x2-2x8 的解集中的元素且m 为正整数， f（ x） =（ ）求 m 的值；（ ）若 f（ x） n 在（ ， +）上恒成立，求实数n 的取值范围第3页，共 15页答案和解析1.【答案】 A

7、【解析】解：集合 A=0 ，2 ，B=0 ，2，-2 ，A B=-2 ，0，2 故选：A利用并集定 义直接求解本题考查并集的求法，考 查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】 B【解析】题圆22的圆心为（ ， ），半径，解：根据 意， （x+1）+y =1-1 0r=1线22若直y=k（x-1）和（x+1）有公共点，+y =1则有1，解可得：-k ，即 k 的取值范围为 -，；故选：B根据题意，由圆的方程分析 圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得1，解可得 k 的取值范围，即可得答案本题考查直线与圆的位置关系，注意转化为圆心到直线的距离，属于基础题3.【答案】 D【

8、解析】解：；3+2m+1=0；m=-2故选：D第4页，共 15页先求出，根据即可得出 3+2m+1=0，解出 m 即可考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系4.【答案】 A【解析】解：S13=13a7=26，则 a7=2，故选：A由 S13=13a7，即可求出本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题5.【答案】 C【解析】解：依题意得：4a+b=8，（a 0，b0），8=4a+b2 ，ab4，当且仅当 4a=b=4，即a=1，b=4 时取等），故选：C点代入直 线后得 4a+b=8，再利用基本不等式可得本题考查了基本不等式及其 应用，属基础题6.【答案】 D【解析】解：等比数

9、列an的公比设为，且，q a3=4=9显然 q1，可得 a1q2=4，=9，解得 a1=1，q=2，a1+a19+18）+（2+8+ +2 19）+=（1+4+ +2=+ ?=故选：D设等比数列的公比 为 q，显然不为 1，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，再由数列的分 组求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和第5页，共 15页本题考查等比数列的通 项公式和求和公式的运用，考 查数列的分 组求和，考查方程思想和化 简整理的运算能力，属于中档 题7.【答案】 C【解析】展开 f （x）得f（x ）=sinx+，令 h（x）=sinx+ ，则 h（x）为一个奇函数，由于 h（x）在

10、区间-1，1 上最大值和最小值之和为 0，所以 f （x）的最大值和最小值之和为 2故选：C展开 f （x）得一个奇函数，再利用奇函数的性 质求得对复合函数求解 过程，力求分解寻求突破，是奇函数性 质的很好应用【答案】 B8.【解析】设，解：假 c=3，可求 a=b=由余弦定理可得：cosC=- ，可求 C=120，A=B=30，所以：A：B：C=1：1：4故选：B设 c=3，可求a=b= ，由余弦定理可得 cosC=- ，可求C=120，A=B=30，从而得解本题主要考查了余弦定理中的求角公式的 应用，考查了计算能力和 转化思想，属于基础题9.【答案】 D【解析】【分析】设公比为 q，根据求

11、和公式和等差数列的性 质先求出 a2=2，则可得 +2+2q=7，解得即可本题考查等比数列的通 项公式和求和公式，以及等差数列的性 质，属基础题【解答】解：设公比为 q，由题意可知，q1.第6页，共 15页由前 3 项之和等于 7，可得 a1+a2+a3=7，由 a1，a2，a3-1 成等差数列，可得 2a2=a1+a3-1，则 2a2+1+a2=7，解得 a2=2，则 +2+2q=7，即 2q2-5q+2=0，解得 q= （舍去）q=2，故选：D10.【答案】 C【解析】解：根据题意，不等式-x2+ax-40的解集中只有一个元素并且 该元素是正数，必有 =a2-16=0，解可得 a=4，当

12、a=4时，不等式-x 2+ax-40的解集为2 ，符合题意；当 a=-4 时，不等式-x 2+ax-40的解集 为-2 ，不符合题意；故 a=4，直线 y=（a-5）x+a 即 y=-x+4 ，经过第一二四象限，不经过第三象限，故选：C根据题意，分析可得 =a2-16=0，解可得 a=4，验证不等式的解集即可得a 的值，即可得直线 y=（a-5）x+a 的方程，据此分析可得答案本题考查一元二次不等式的解法，涉及直 线的方程，关键是求出 a的值，属于基础题11.【答案】 C【解析】解：在非等腰ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sinA （2cosB-a）=sinB（2co

13、sA-b），由正弦定理、余弦定理可得a（2-a）=b（2-b），第7页，共 15页-a2=-b2，=a2-b2，=a2-b2，由非等腰 ABC ，可得 ab，即有 c=2故选：C运用三角形的正弦定理和余弦定理，化简变形，即可得到所求值本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考 查化简整理的运算能力，属于基础题12.【答案】 B【解析】解：数列an 的前 n 项之和为 S （nN* ），a=1 且满足 an+an+1=sin，n1a2k+a2k+1=sink =0，可得 a1+a2+a3+a4+a2018+a2019=1+0+0=1，故选：B利用数列的关系公式，列出数列的和，求解即可本题考查数

14、列的递推关系式的 应用，数列求和，考查计算能力13.【答案】【解析】解：AB ，BC 的长为方程 x2-3x+1=0 的两个根，AB?BC=1，AB+BC=3 ，cosB=，2222由余弦定理可得：AC =AB +BC -2AB?BC?cosB=（AB+BC ）-2AB?BC-AB?BC=32=，-21-AC= 故答案为： 由已知利用韦达定理可得 AB?BC=1，AB+BC=3进， 而根据余弦定理即可解得第8页，共 15页AC 的值本题主要考查了韦达定理，余弦定理在解三角形中的 应用，考查了运算求解能力和方程思想，属于基 础题14.【答案】【解析】题意知本题是一个几何概型，解：由试验发生包含的

15、所有事件是正方形的面积S=11=1，阴影部分区域的面 积是 8-= -1，由几何概型公式得到 P= -1，故答案为： -1由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是正方形面积S=11，求出阴影部分区域的面 积，最后利用几何概型的概率公式解之即可本题主要考查了几何概型，解题的关键求阴影部分的面 积，同时考查了计算能力，属于中档题15.【答案】 -6， 【解析】解：N（x，y）的坐标 x，y 满足不等式 组不等式组M （2，-3），? =2x-3y表示的可行域如 图：由向量的数量积的几何意义可知，由解得：A（0，2），由，解得B（，），2x-3y 取得最大 值是，第9页，共 15页2x-

16、3y 取得最小 值为：-6，所以?的取值范围是-6， 故答案为：-6， 先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出 z=?，利用z 的几何意 义求最值即可本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题文科考查线性规划问题都考查的比较浅，难度不大这与理科有所区 别，本题就具备这个特点，只是目标函数稍加 变动16.【答案】 8【解析】解：aR=bc，由正弦定理可得， 2R2sinA=4R2sinBsinC，sinA=2sinBsinC，sin（B+C）=2sinBsinCsinBcosC+sinCcosB=2sinBsinCtanBtanC即 tanB+tanC=2tan

17、BtanC，因为 B，C 为锐角，tanB 0，tanC 0tanB+tanC2，2tanBtanC2，（0，1tan（B+C）=-tanA，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，则 tanAtanBtanC=-tan（B+C）tanBtanC=-?tanBtanC=-?tanBtanC=，=时，tanAtanBtanC 取得最小 值 8，第10 页，共 15页故答案为：8先用正弦定理将 边化成角，再将 A 化成 B，C，变成 tanB+tanC=2tanBtanC，将tanAtanBtanC 变形后用二次函数求最 值 本题主要考查了正弦定理及同角基本关系的简单应用，属于中档

18、题17.【答案】 解：（ ） Sn= an2+，2n=1 时， a1=S1= a1 + a1，解得 a1=2（0 舍去），22，当 n2时， an=Sn-Sn-1 = an +- an-1 - an-1化为（ an+an-1 ）（ an-an-1-2） =0 ，由 an 0，可得 an-an-1 =2，即有 an=a1+（ n-1）d=2+2 （ n-1） =2n；（）=（-），前 n 项和 Tn= （1- + - + -）（1-）=【解析】（）运用数列的递推式和等差数列的定 义、通项公式即可得到所求；（）= （ -项简整理可得所求），运用裂 相消求和，化和本题考查等差数列的定 义和通项公式，

19、考查数列的递推式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档 题18.【答案】 解：（ ）依题意， =3.2， =24 ，所以可得下表：于是，（ xi- ）（yi- ）=（ -0.8）（ -10）+（ -0.4）（ -5）+00+0.4 5+0.8 10=20，（ xi- ） 2=（ -0.8） 2+（ -0.4） 2+02+0.42+0.82=1.6，第11 页，共 15页故 b=12.5， a=-16 ，于是线性回归方程为： y=12.5x-16；（ ）当 x=6 时，销售单价增加值的估计值为y=12.5 6-16=59 ，故销售单价增加值约为59 元【解析】（）先求出

20、=3.2=24x-y - =20x -2，（=1.6 b=12.5i）（ ），（i），ia=-16，则可得回归直线方程为 y=12.5x-16；（）令x=6 解得 y=59 即为所求本题考查了线性回归方程，属中档题19.【答案】 解：（ ）向量 =（sinx，cosx）， =（ cosx， cosx），则 f（ x） = sinxcosx+cos2 x= sin2x+ cos2x+ =sin （ 2x+ ），令2x+，kZ得x，f（x）的单调递增区间为， kZ；（ ）由（ ）可得 f（ x） =sin（ 2x+ ），f（A） =1 ，即 sin （2A+ ）=1，sin（2A+ ） = ，0

21、A ，可得A=，余弦定理： cosA=，即 bc=b2+c2-1，22b +c 2bc当且仅当b=c 时取等号，bc+1 2bc即 bc1，ABC 面积的最大值S= bcsinA=故 ABC 面积的最大值为【解析】（）由f（x）=根据向量的坐标运算可得 f（x），化简，结合三角函数的第12 页，共 15页性质求 f（x）的单调递增区间（）根据f（A ）=1，求解 A ，由a=1，结合余弦定理，基本不等式即可求解ABC 面积的最大值本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质，余弦定理和基本不等式的应用20.， S5=30，【答案】 解：（ ）等差数列 bn 的公差设为 d，前 n 项和为 Sn

22、， b2=4可得 b1+d=4，5b1+10d=30，解得 b1=d=2，可得 bn=2n，nN*；（ ） an=bncosn=，则数列 an 的前 30 项和 T30=（ -2-6-2 15）+（ 4+8+230）= 15（ -2-30 ）+ 15（ 4+60）=240 【解析】（）等差数列b n 的公差设为 d，运用等差数列的通 项公式和求和公式，解方程即可得到所求通 项公式；a=，由数列的分组结求和， 合等差数列的求和（）=b cosnnn公式，即可得到所求和本题考查 等差数列的通 项 公式和求和公式的运用，考 查数列的求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基 础题21.【答案】 （本题满分为12 分）解：（ ）设 a=x，b=x+d， c=x+2d，由， ABC 的周长为15，可得： x+d=5， 1 分c222=a +b +ab，222（ x+2d） =x +（ x+d） +x（ x+d），将 d=5- x 代入到上式中，解得：x=3， d=2， 3 分a=3， b=5， c=7 ， 4 分由余弦定理可得：cosC=- ，由 C（ 0， ），可得 C=， 6分= absinC=7 分SABC（ ）延长 CG，交 AB 于 F 点，则 F 为 AB 的中点， 8 分第13 页，共