山东省临沂市蒙阴县实验中学2019届高三数学上学期第二次月考12月试题理2019012302115

1、蒙阴县实验中学高三上学期第二次质量检测数学试题（理科）一、选择题本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1若全集 U=R，集合 Ax x2x20，B= x log 3 (2x)1 ，则 A(Cu B) =（）A xx 2B xx1 或 x 2 C xx 2D xx1 或 x 2 2若 sin(2)3 ，则 cos2 =（）5A 7B 24C7D24252525253若非零向量a ， b 满足 ab ，(2ab) b0，则a 与 b 的夹角为（）A30B60C120D1504已知函数 f (x)2x 12, x1，且 f (a)3 ，则

2、 f (6a) =（）log 2 (x1), x 1A7B5C3D144445设 m, n 是平面 内的两条不同直线，l1,l 2 是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是（）Alm lnBCD1, 1ml1 , ml2ml1, nl2m / n,l1n6若直线 xy1与圆 x 2y21 有公共点，则（）abA a2b21B a 2b21C 111D 111a 2b2a 2b27某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 12B1336C 7D 5321 / 108在等比数列 an 中，若 a2a53，a2 a3a4a55，则1111 （）44a2a3a4a5A 1B3C5D44

3、33xy09已知 x, y 满足约束条件x3，且 z2x4 y 的最小值为2，则常数 k =（）x yk0A 2B 2C 6D310九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑 ABCD中， AB 平面 BCD ，且 BDCD ， ABBDCD ，点 P 在棱 AC 上运行，设 CP的 长 度 为 x ， 若的 面 积 为f ( x)， 则f ( x)的 图 象 大 致 是 （）P B DA11已知圆 C : ( x a2 ) 2( y 2a) 2 1, a R ，考虑下列命题：圆C 上的点到（ 4， 0）42 / 10的距离的最小值为7 ；圆 C上存在点 P到点 (

4、1 ,0) 的距离与到直线x3的距离相等；222已知点 A( 3 ,0) ，在圆 C 上存在一点 P ，使得以 AP 为直径的圆与直线x1 相切，其22中真命题的个数为（）A 0B 1C 2D 312定义在 0 ，+）上的函数 f ( x) 满足：2 f (x)f (x)xx ，f ( 1)21其中 f (x)e22e表示 f ( x) 的导函数，若对任意正数a, b 都有 f ( x 2)11ab ，则实数 x 的x4a 2e2 b232取值范围是（）A（ 0， 4B 2 ， 4C（， 0） 4 ，+）D 4 ，+）二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共20 分，把答案填在题中的横

5、线上）.13 垂 直 于 直 线 2x6y 1 0 并 且 与 曲 线 yx33x25 相 切 的 直 线 方 程是。14.已 知 Sn 为 数 列 an 的 前 n 项 和 ， a1a2a3an 1an 2, (n 2) 且234na12则 an 的通项公式为。15. 菱形 ABCD的边长为 2，且 BAD=60，将三角形 ABD沿 BD折起，得到三棱锥 A BCD，则三棱锥 A BCD体积的最大值为16. 已知锐角A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于钝角A2 B2 C2 的三个内角的正弦值，其中 A2，若 | B2 C2 | 1，则 22 | A2B2 |3 | A2C 2| 的最大值

6、为.2三解答题（共6 大题， 17 题 10 分，其余每题12 分，共 70 分）17设ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a,b, c ，且 3a cosC3b2c （ 1）求 sin A 的值；（ 2）若 a6 ，求 ABC 面积的最大值3 / 1018. 已知数列 a n 满足 a1=1， an+1=2Sn+1，其中 Sn 为 a n 的前 n 项和， n N* （1）求 an；（2）若数列 b n 满足 bn=， b n 的前 n 项和为 Tn，且对任意的正整数 n 都有 Tnm，求 m的最小值2cos2x 1(19. 已知函数 f xsin 2 x0) 的最小正周期为 6（

7、 1）求 的值及函数 f x 的单调递增区间（ 2 ）求 f x 在区间 0, 7 上的最大值和最小值1220.如图所示， 四棱锥 S ABCD中，SA底面 ABCD，ABC=90，BC=1，AS=2， ACD=60， E 为 CD的中点（1）求证： BC平面 SAE；（2）求直线SD与平面 SBC所成角的正弦值21.已知椭圆 C：=1（ a b 0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为24 / 10（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设 A， B 为椭圆 C上任意两点， O为坐标原点，且 OA OB求证：原点 O到直线 AB 的距离为定值，并求出该定值22.已知函数 f （ x） =ax2+x

8、 xlnx （ a R）（）若函数f （ x）在（ 0，+）上单调递增，求实数a 的取值范围；（）若函数f （ x）有两个极值点x1， x2（ x1 x2），证明：5 / 10蒙阴县实验中学高三上学期第二次质量检测答案一、选择题本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5B C C A B6-10 D B C B A 11-12 C C二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上.13 . 3x+y+6=014.15. 1 16.1017. 【解析】（ 1） ABC中， 3acosC=3b 2c，

9、由正弦定理得： 3sinAcosC=3sinB 2sinC ， 3sinAcosC=3sin （A+C） 2sinC ，3cosAsinC=2sinC ， sinC 0， A（ 0， ），-5分（2）由（ 1）知，可得：，由余弦定理得：，bc 9（当且仅当b=c 时取“ =”号）可得：，即 ABC面积的最大值为 -10分。18. 【解析】：（ 1）数列 a n 满足 a1=1， an+1=2Sn+1，n 2 时， an=2Sn 1+1，相减可得： an+1 an=2an，即 an+1=3an，数列 a n 是等比数列，公比为3，首项为1an=3n 1（2）数列b n满足bn=，b n 的前 n

10、 项和为 Tn=+ +=6 / 10对任意的正整数n 都有 Tn m， mm， m的最小值为19. 【解析】：（1） fxsin 2x2cos2x 16sin2cos2x3 sin2 x1 cos2 xxcoscos2 xsin6622sin 2 x T2 ，1在 2k 2x62k中，6222即 x | k x k 为单调递增区间36（ 2 ）由（ 1）得 fx sin 2x，6 0 x7，12 462x6，3当 fx2x时，即 x时，626 47fx当2x3时，即 x时，612maxmin1 ，3220.【解析】证明： （ 1）因为， BC=1， ABC=90，所以 AC=2， BCA=60

11、，在 ACD中， AC=2， ACD=60，由余弦定理可得：222AD=AC+CD2AC?CDcos ACD解得： CD=4222所以 AC+AD=CD，所以 ACD是直角三角形，又 E 为 CD的中点，所以又 ACD=60，所以ACE为等边三角形，所以 CAE=60= BCA，所以 BC AE，又 AE? 平面 SAE， BC?平面 SAE，7 / 10所以 BC平面 SAE解：（ 2）由（ 1）可知 BAE=90，以点A 为原点，以 AB， AE， AS 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 S（ 0， 0， 2），所以，设为平面 SBC的法向量，则，即设 x=1

12、，则 y=0，即平面SBC的一个法向量为，所以所以直线SD与平面 SBC所成角的正弦值为21.【解析】：（ 1）由题意知， e=， a=2，又 a2=b2+c 2，所以 a=2，c=，b=1，所以椭圆C的方程为+y 2=1；（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为 x=；此时，原点 O到直线 AB的距离为；当直线 AB的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y=kx+m， A（ x， y）， B（ x ， y ）1122代入椭圆方程22222x +4y =4，得（ 1+4k） x+8kmx+4m 4=0，则 =（222228km） 4（ 1+4k）（ 4m4） =16（1+4k m

13、） 0，x1+x2 =， x1x2=，则 yy =（ kx2）21+m）（ kx +m） =k x x +km（ x +x+m12212122+km（）2，=k ?+m=由 OA OB得 kOAkOB= 1，即 x1x2+y1y2=0，所以=0，即 m2=（ 1+k2），8 / 10所以原点O到直线 AB的距离为d=，综上，原点O到直线 AB的距离为定值22.【解析】：（） f （ x）=2ax+1lnx 1=2ax lnx （x 0），依题意知： f （ x） 0 在（ 0， +）上恒成立，即令，则，知 g（ x）在（ 0， e）单调递增，在（e， +）单调递减，于是，即（）证明：依题意知x1， x2（ x1 x2）是方程2ax lnx=0 （ x 0）的两个根，即 2ax1 lnx 1=0， 2ax 2 lnx 2=0，（ 0x1 x2），可得 2a（ x1+x