工学流体动力学基础PPT课件

1、第四章 流体动力学基础 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 4.4* 非恒定总流的伯努利方程非恒定总流的伯努利方程 4.5 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程 4.6 无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 在运动的理想流体中，取微小平行六面体 (质点)，正交的三个边长dx、dy、dz分别平行于 x、y、z坐标轴(图41)。设六面体的中心点O (x，y，z)，速度，压强p，分析微小六面体x方 向的受力和运动情况。 表面力 理想流体内不存

2、在切应力，只 有压强。x方向受压面(abcd面和面abcd)形 心点的压强为 1 2 M p ppdx x 1 2 N p ppdx x 受压面上的压力 MM Ppdydz NN Ppdydz 质量力 B x FX dxdydz 由牛顿第二定律 x B x du Fm dt dt du dxdydzdxdydzXdydzdx x p pdydzdx x p p x 2 1 2 1 dt du z p Z dt du y p Y dt du x p X z y x 1 1 1 划简得 将加速度项展开成欧拉法表达式 1 1 1 xxxx xyz yyyy xyz zzzz xyz uuuup Xu

3、uu xtxyz uuuu p Yuuu ytxyz uuuup Zuuu ztxyz 用矢量表示 1 () u fpuu t 上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第 二定律的流体力学表达式，是控制理想流体运动的基本方程式。 欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想流体动力学的理论基础。 4.1.2 粘性流体运动的微分方程粘性流体运动的微分方程 1.粘性性流体的动压强 理想流体因无粘性，运动时不出现切应力，只有法向应力，即动压强p,用类 似分析流体静压强特性的方法，便可证明任一点动压强的大小与作用面的方位 无关，是空间坐标和时间变量的函数，即 p=p(x,y,z,

4、t) 粘性流体的应力状态和理想流体不同，由于粘性作用，运动时出现切应力， 使任一点法向应力的大小，与作用面的方位有关。如以应力符号的第一个下角 标表示作用面的方位，第二个下角标表示应力的方向，则法向应力 pxx pyypzz。 进一步的研究证明，同一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，即 xxyyzz pppppp 据此，在粘性流体中，把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该点 的动压强，以p表示 1 () 3 xxyyzz pppp (, )pp x y z t 如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数，即 2.各微元面上的力 2.各微元面上的应力 abcd面（后面）上

5、的应力 2 xx xx pdx p x 法向应力 切向应力 2 xy xy dx x 2 xz xz dx x aadd面（左面）上的应力 2 yy yy p dy p y 法向应力 切向应力 2 yx yx dy y 2 yz yz dy y abba面（下面）上的应力 2 zz zz pdz p z 法向应力 切向应力 2 zx zx dz z 2 zy zy dz z 其余三个正面上的应力如图所示 作用在x轴向上的力除应力外，还有质量力Xdxdydz。 根据牛顿运动定律可得x轴向的方程式 ()() 22 xxxx xxxx ppdxdx Xdxdydzppdydz xx ()() 22

6、yxyx yxyx dydy dxdz yy ()() 22 zxzx zxzx dzdz dxdy zz x du dxdydz dt 化简上式 1 () yx xxzxx pdu X xyzdt 同理可得 1 () yyzyxyy pdu Y yzxdt 1 () yz xzzzz pdu Z zxydt 3.应力和变形速度（应变率）的关系 xx p yy p zz p 流场中某点的动压强p是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同其中 某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，以 、 、 表示。 它是流体微团在法线方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。 2 2 2 x xxx

7、x y yyyy z zzzz u pppp x u pppp y u pppp z 牛顿内摩擦定律指出，切应力与角变形速度有关，即 =2。 () () () y z yzzy xz zxxz y x xyyx u u yz uu zx u u xy 把上式及 2 2 2 x xxxx y yyyy z zzzz u pppp x u pppp y u pppp z 代入 1 () 1 () 1 () yx xxzxx yyzyxyy yz xzzzz pdu X xyzdt pdu Y yzxdt pdu Z zxydt () () () y z yzzy xz zxxz y x xyyx

8、u u yz uu zx u u xy 把 2 2 2 x xxxx y yyyy z zzzz u pppp x u pppp y u pppp z 代入 1 () 1 () 1 () yx xxzxx yyzyxyy yz xzzzz pdu X xyzdt pdu Y yzxdt pdu Z zxydt 得 2 2 2 1 1 1 xxxx xxyz yyyy yxyz zzzz zxyz uuuup Xuuuu xtxyz uuuu p Yuuuu ytxyz uuuup Zuuuu ztxyz 2 2 2 1 1 1 xxxx xxyz yyyy yxyz zzzz zxyz uuu

9、up Xuuuu xtxyz uuuu p Yuuuu ytxyz uuuup Zuuuu ztxyz 上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程，又称为纳维斯托克斯方程 (简写为NS方程) 用向量表示 2 1 () u fpuuu t 222 2 222 xyz 为拉普拉斯算子 0d d d d),cos(ddV t u VYApAp y nnyy yn dx dy dz py pn n y z x o M 0d),cos(ddVYApAp nnyy yn静止流体静止流体 运动理想流体运动理想流体 静止流体和运动理想流体中的静止流体和运动理想流体中的 四面体微元运动方程中质量力四面体微元运动方程

10、中质量力 （含惯性力）比起表面力是高阶（含惯性力）比起表面力是高阶 无穷小，当四面体微元趋于一点，无穷小，当四面体微元趋于一点， 即可得证即可得证 yn pp 例：证明无粘性流体，任一点动压强的大小与作用面的方位无管。 例例1：证明过水断面上动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，证明过水断面上动水压强分布规律与静水压强分布规律相同， 即在同一过水断面上各点的测压管水头相等，但不同流程的过水断面上即在同一过水断面上各点的测压管水头相等，但不同流程的过水断面上 的测压管水头不相同。的测压管水头不相同。 0 z p p+dp n dA dn p g 0 z+dz dA 证证 明明 ： 从运动的液体

11、中从运动的液体中 沿过水断面方向沿过水断面方向 取一个微元柱体取一个微元柱体 惯性力有重力、惯性力有重力、n 方向无惯性力方向无惯性力 动水压力、重力在垂直于水流方向动水压力、重力在垂直于水流方向 n 的投影为的投影为 0 z p p+dp n dA dn p g 0 z+dz dA 动水压力、重力在垂直于水流方向动水压力、重力在垂直于水流方向n的投影为的投影为 0dd)dd(d ddcosddcosd zAAppAp zAnAG 0 z p p+dp n dA dn p g 0 z+dz dA 动水压力、重力在垂直于水流方向动水压力、重力在垂直于水流方向n的投影为的投影为 dcosddcos

12、ddGAnAz 0 z p p+dp n dA dn p g 0 z+dz dA 动水压力、重力在垂直于水流方向动水压力、重力在垂直于水流方向n的投影为的投影为 )( 0dd)dd(d ddcosddcosd sC p zzAAppAp zAnAG 0 z p p+dp n dA dn p g 0 z+dz dA 4.2 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程 4.2.1 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分 对于恒定流 0 t p t u t u t u z y x 无粘性流体运动微分方程式简化为 1 (a) 1 (b) 1 (c) xxx xyz yyy

13、xyz zzz xyz uuup Xuuu xxyz uuu p Yuuu yxyz uuup Zuuu zxyz dxdydz 上式中分别乘以流线上微元线段的投影 、 、 ，式（a）为 1 xxx xyz uuup Xuuu xxyz 1 yyy xyz uuu p Yuuu yxyz 1 zzz xyz uuup Zuuu zxyz (a) (c) (a)(b) 1 () xxx xyz uuup Xdxdxuuudx xxyz 在流线上由流线微分方程式 xyz dxdydz uuu 得 yx u dxu dy zx u dxu dz zy u dyu dz 则 ()() xxxxxx x

14、yzxxyzxx uuuuuu uuudxuudxudyudzu du xyzxyz 故 1 1 yy zz p Ydydyu du y p Zdzdzu du z 同理 将上式三个式子相加，其中 11 () ppp dxdydzdp xyz 222 2 ()() 22 xyz xxyyzz uuu u u duu duu dudd 得 2 1 () 2 u XdxYdyZdzdpd 1 xx p X dxdxu du x (,)Ux y z U X x U Y y U Z z 质量力有势，以 表示质量力的势函数，于是 UUU X dxYdyZdzdxdydz xyz 不可压缩流体密度 =常数

15、 1 () p dpd ， 将以上条件带入 2 1 () 2 u XdxYdyZdzdpd 得 2 ()0 2 pu d U 2 2 pu UC 2 ()0 2 pu d U 沿流线积分 在重力场 中，质量力只有重力，则质量力得势函数 Ugz 则上式为 2 2 pu zC gg 对同一流线上得任意两点1，2，则 22 1122 12 22 pupu zz gggg 22 1122 12 22 pupu zz gg 或 g式中 ，为单位流体体积的重量。 理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，即 由于元流的过流断面面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就是元流的伯努利 方程。推导该方程引入的

16、限定条件，就是理想流体元流伯努利方程的应用条件。 归纳起来有：理想流体；恒定流动；质量力中只有重力；沿元流(流线)，不可压缩 流体。 2 2 pu UC 2 2 pu zC gg 重力场中不可压缩流体的伯努利积分式称为伯努利方程，即 物理意义：物理意义： 2 2 z p g p z g u g 单 位 重 量 流 体 的 位 能 （ 重 力 势 能 ） 。 单 位 重 量 流 体 的 压 能 （ 压 强 势 能 ） 。 单 位 重 量 流 体 的 总 势 能 单 位 重 量 流 体 的 动 能 。 422 伯努利方程的物理意义和几何意义伯努利方程的物理意义和几何意义 2 2 p z p g p

17、 Hz g u g 位 置 高 度 ， 又 称 高 度 水 头 或 位 置 水 头 。 测 压 管 高 度 ， 又 称 压 强 水 头 。 测 压 管 水 头 是 流 速 高 度 ， 又 称 速 度 水 头 。 三项之和三项之和 称为总水头，称为总水头， 则表示无粘性流体的则表示无粘性流体的 恒定流动，沿同一元流（沿同一流线）各断面的总水头相等，总水头线是水恒定流动，沿同一元流（沿同一流线）各断面的总水头相等，总水头线是水 平线。平线。 2 2 pu Hz gg + 2 2 pu zC gg + 几何意义：几何意义： 伯努利方程又称为能量方程。 求求: 流速流速u 已知已知:高度差读数高度差读

18、数 hu 。 解解: 沿流线沿流线 A B A B u h u A uu0 B u u p 2 0 2 AB ppV ggg 静态方程静态方程: BAu ppgh 22 u pp ucgcgh g 伯努利方程伯努利方程: 皮托管 c 修正系数，数值接近于修正系数，数值接近于1， l 毕托管测流速毕托管测流速 () 2 12 12 2 22 u hh g ucg hhcgh h1 动压管动压管 静压管静压管 h h2 A A A-A 1 2 速 喷雾器、淋浴器 求求: 液体喷出量液体喷出量Q 解解: 已知：已知：高度高度H, ,喷管直径喷管直径 , ,活塞直径活塞直径D、活塞速度、活塞速度 ,

19、, 液体重度液体重度 、空气重度、空气重度 ; ; 液管直径液管直径 。 2 1 1 d 2 d 0 V 1 V 1 d 2 d H 0 V D 2 V 0 p 0 2 2 0 2 1 2 1 p g Vp )(1051.9 2 42 101 PaVpp 高速气流形成低压，将流体高速气流形成低压，将流体“吸吸”进来，与气体混合后喷出。进来，与气体混合后喷出。调节活塞速度或液柱高度，可调节液调节活塞速度或液柱高度，可调节液 体的流量。体的流量。 B点点： 12 pp 0 2 1 0 2 2 1 1 p g Vp H)(1007.1 4 1 34 2 2 2 smVdQ 1 2 10 2 4 1

20、4 1 VdVD 孔口出流 水钟 求求: 出流速度出流速度V 已知：已知：大容器小孔口，液面大容器小孔口，液面高度高度 h 。 图4.3.6 孔口出流 A B h p0 p0 解解: 液面下降速度极小，准定常。液面下降速度极小，准定常。 取沿流线：取沿流线： A B 伯努利方程伯努利方程: g Vpp h 2 00 2 00 ghV2 423 粘性流体元流的伯努利方程粘性流体元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力做功，使流体的一部分机 械能不可逆地转化为热能而散失。因此，粘性流体流动时，单位重量流体具有的机 械能沿程不是守恒而是减少，总水头线不是水平线，而是沿程下降线

21、。 自19世纪30年代以来，人们从大量经验事实中，总结出一个重要结论，能量 可以从一种形式转换成另一种形式，但不能创造，也不能消灭，总能量是恒定的， 这就是能量守恒原理。因此，设 为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1 1运动至过流断面22的机械能损失，称为元流的水头损失。根据能量守恒原理， 便可得到描性流体元流的伯努利方程 w h 22 1122 12 22 w pupu zzh gggg 水头损失 也具有长度的量纲。 w h 4.3 4.3 总流的伯努利方程总流的伯努利方程 流体质点的迁移加速度很小， 的流动，或者说流线的曲率半径很 大，流线近似于平行直线的流动定 义为渐变流，否则是急变流

22、 。 ()0uu 渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，对于渐变流都近似成立。 (1)渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； (2)恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布如图。即 p zC g 由定义可知，渐变流和急变流没有准确的界定标准，流动是否按渐变流处理，以所得结果 能否满足工程要求的精度而定。 4.3.2 总流的伯努利方程总流的伯努利方程 在工程实际中要求我们解 决的往往是总流流动问题。如 流体在管道、渠道中的流动问 题，因此还需要通过在过流断 面上积分把它推广到总流上去 。 设恒定总流，过流断面11、22为渐变流断面，面积为A1、A2。在总流内任取 元流，过

23、流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别为d A1、z1、p1、u1； d A2、 z2、p2、u2。 由元流伯努利方程式 22 1122 12 22 w pupu zzh gggg 以重量流量 乘上式，得单位时间通过元流两过流断 面得能量关系 1122 gdQgu dAgu dA 22 1122 12 ()() 22 w pupu zgdQzgdQhgdQ gggg 总流是由无数元流构成得，上式对总流过流断面积分，便得到单位时间通过 总流两过流断面得能量关系 11 22 2 11 11111 2 22 22222 () 2 () 2 AA w AAQ pu zgu dAgu dA gg p

24、u zgu dAgu dAhgdQ gg （a） 分别确定式中三种积分 （1）势能积分 () A p zgudA g 因所取过流断面是渐变流断面，面上各点单位重量流体得总势能相 等， ，于是 p zc g ()() A pp zgudAzgQ gg （2）动能积分 23 22 AA uu gudAgdA gg （b） （2）动能积分 23 22 AA uu gudAgdA gg 面上各点得速度u不同，引入修正系数，积分按断面平均速度计算，则 32 22 A uv gdAgQ gg 式中 是为修正以断面平均速度计算得动能，与实际动能得差值而引入得修正系 数，称为动能修正系数 3 3 33 2 2

25、 AA A u gdAu dA g vv A gdA g 值取决于过流断面上速度得分布情况，分布较均匀得流动 1.051.10， 通常取 1.0。 （c） 积分 是单位时间总流由1-1至2-2断面的机械能损失。现在定义为 总流单位重量流体由1-1至2-2断面得平均机械能损失，称为总流的水头损失，则 w Q hgdQ （3）水头损失积分 w Q hgdQ ww Q hgdQhgQ 将（b），（c），（d）带入式（a） 2 111 111 2 222 222 () 2 () 2 w pv zgQgQ gg pv zgQgQhgQ gg （d） 两断面间无分流和汇流， ，并以 除上式，得 12 QQ

26、QgQ 22 111222 12 22 w pvpv zzh gggg 式(419)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方程推广为总流的 伯努利方程，引入了某些限制条件，也就是总流伯努利方程的适用条件。包括：恒 定流动；质量力只有重力，不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程)； 所取过流断面为渐变流断面；两断面间无分流和汇流。 总流伯努利方程的物理意义和几何意义同元流伯努利方程类似，不需详述， 需注意的是方程的“平均”意义。 4.3.3 总流伯努利方程的物理意义和几何意义总流伯努利方程的物理意义和几何意义 z总流过流断面上某点(所取计算点)单位重量流体的位 能，位置高度或位置 水

27、头； 总流过流断面上某点(所取计算点)单位重量流体的压能，测压管高度或 压强水头； p g 总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或流速水； 2 2 v g 总流过流断面间单位重量流体平均的机械能损失； w h 因为所取过流断面是渐变流断面，面上各点的势能相等，即 是上单位 重量流体的平均势能，而 是过流断面上单位重量流体的平均动能，故三项之和 是过流断面上单位重量流体的平均机械能。 p z g 2 2 v g 2 2 pv z gg 是能量守恒原理的总流表达式。 式 22 111222 12 22 w pvpv zzh gggg 4.3.4 水头线水头线 水头线是总流沿程能量变化

28、的几何图示 总水头线是沿程各断面 总水头 的连线。粘性流体的总水头 线沿程单调下降，下降的快 慢用水力坡度J表示 2 2 pv Hz gg w dhdH J dldl 因 恒为负值，在 前加“-”号，使J为正值。 dH dl dH 测压管水头线使沿程各断面测压管水头 的连线，此线沿程可升可 降，也可不变，其变化情况用测压管水头线坡度 表示 P p Hz g p J p p dH J dl 在 前加“-”号，使测压管水头线下降时 为正值。上升时为负值。 p dH dl p J 例题例题一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图39。泵出口压力（A点压力）为2 个大气压（表压），泵排出管断面直径为50m

29、m；喷嘴出口C 的直径20mm；水龙带的水 头损失设为0.5m；喷嘴水头损失为0.1m。试求喷嘴出口流速、泵的排量及B点压力。 泵 A B C 0.2m 3m 图 39 解解 取A、C两断面写能量方程： CA CC C AA A h gg p z gg p z 22 22 通过A点的水平面为基准面，则 ； （在大气中）；水的重度 重力加速度 ； 水柱，即 m2.3,0 CA zz 0,Pa1096.12 8 cA patp 3 9800, m g 2 m/s8.9gm6.01.05.0 CA h CCC A C CA dA dc A A 16.0 50 20 22 将各量代入能量方程后，得 6

30、.0 8.92 02.3 8.92 16.0 9800 108.92 0 2 2 4 CC 解得喷嘴出口流速为 。 m 18.06 s C 而泵的排量为 2 3 0.02 ml 18.060.005685.68 4ss CC QA 为计算B点压力，取B、C两断面计算，即 CB CC C BB B h gg p z gg p z 22 22 通过B点作水平面基准面，则 m 0,0.2m ;0.160.1618.062.89;0.1m ; s BCBACBC zzh 代入方程得 1.0 8.92 06.18 02.0 8.92 89.2 9800 0 22 B p 解得压力 1 .6 5a t B

31、 p 例题4-6 文丘里流量计，进口 直径d1=100mm，喉管直径 d2=50mm，实测测压管水头差 h=0.6m（或水印压差计的水 印面高差hp=4.76cm），流量计 的流量系数=0.98，试求管道 输水的流量。 选水平基准面0-0，选1-1和2-2 两个计算断面，两者均为渐变流断 面，计算点取在管轴线上，由于收 缩短的水头损失很小去动能修正系 数1 = 2= 1.0，列伯努利方程 22 1122 12 22 pvpv zz gggg 22 2112 12 ()() 22 vvpp zz gggg 上式含有v1和v2两个未知量，补充连续性方程 1122 v Av A 2 11 211 2

32、2 Ad vvv Ad 代入前式，解得 12 112 4 1 2 1 2()() 1 pp vgzz gg d d 流量 2 1 12 1112 4 1 2 1 4 2()() 1 d pp Qv Agzz gg d d 流量 2 1 12 1112 4 1 2 1 4 2()() 1 d pp Qv Agzz gg d d 12 12 ()() pp Kzz gg 2 1 4 1 2 1 4 2 1 d Kg d d 式中有流量计结构尺寸d1、d2而定的常数， 称为仪器常数，本题 2.5 0.009m/ sK ； 12 12 ()() pp zzh gg 12 12 ()()(1)12.6

33、p pp pp zzhh gg 或 将K、 12 12 ()() pp zz gg 值代入，并考虑到流量计 有水头损失，并乘以流量系数，便得实测流量 0.980.0090.66.83L / sQKh 12.60.980.00912.60.04766.83L / s p QKh H 1 1 c c 00 d 2 A A v0 vc 恒定孔口出流恒定孔口出流 00 0 0 0 2 0 1 22 0 0 22 1 2 1 2 22 gHAgHAAvQ A A AvQgHv g v hh h g v g v HH cc c c cc c c c c ww w cc ， 收缩系数 流量系数 流速系数 孔

34、口流量基本公式孔口流量基本公式 根据试验研究，对于小孔口根据试验研究，对于小孔口 不同孔口形式的流速系数、收缩系数、流量系数是不同的，可参考不同孔口形式的流速系数、收缩系数、流量系数是不同的，可参考 有关手册。有关手册。 0.970.98 0.600.62 0.630.64 4.3.5 总流伯努利方程应用的补充论述总流伯努利方程应用的补充论述 伯努利方程是古典流体动力学应用最广的基本方程。应用伯努利方程要重视方 程的应用条件，切忌不顾应用条件，随意套用公式，又要对实际问题做具体分析， 灵活运用。 1、气流的伯努利方程 总流的伯努利方程式，是对不可压缩流体导出的。气体是可压缩流体， 但是对流速不

35、很大，压强变化不大的系统，如上业通风管道、烟道等，气流在 运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流(见 第11章11.2.3)。由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相 对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。 设恒定气流，气流的密度为， 外部空气的密度为，过流断面上 计算点的绝对压强为p1abs、 p2abs 列1-1和2-2断面的伯努利方程 22 1abs2 abs12 1212 1 22 w ppvv zzh gggg 进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式，即 22 12 11abs22 abs 22 w vv gzpgzpp 22

36、12 11abs22 abs 22 w vv gzpgzpp 式中pw为压强损失，pw=ghw。 将上式中的压强用相对压强p1、p2表示 1abs1a ppp 2abs121 () aa pppgzz 式中，pa为高程z1处的大气压， pa-ag（z2-z1） 为高程z2处的大气压，带入上式整 理得 22 12 1212 ()() 22 aaw vv ppgzzpp 22 12 1212 ()() 22 aaw vv ppgzzpp 这里 、 称为静压， 、 称为动压。 为单位体积气体所受有 效浮力， 为气体沿浮力方向升高的距离，乘积 为1-1断面相对2-2断面单位体积气体的位能，称为位压。

37、1 p 2 p 2 1 2 v 2 2 2 v () a g 21 ()zz 21 ()() a gzz 22 12 1212 ()() 22 aw vv pgzzpp 式 就是以相对压强计算的气流伯努利方程。 22 12 1212 ()() 22 aaw vv ppgzzpp 当气流的密度和外界空气的密度相同 ，或两计算点的高度相同 时，位压为零，式 a 12 zz 22 12 12 22 w vv ppp 划简为 式中动压和静压之和称为总压。 22 12 1212 ()() 22 aaw vv ppgzzpp 当气流的密度远大于外界空气的密度( )，此时相当于液体总流， 可忽略不计，认为各

38、点的当地大气压相同。式 a 划简为 a 22 12 1212 () 22 w vv pgzzpp 除以 ，即 g 22 1122 12 22 w pvpv zzh gggg 由此可见，对于液体总流来说，压强 、 不论是绝对压强，还是相对 压强，伯努利方程的形式不变。 1 p 2 p 2有能量输人或输出的伯努利方程 总流伯努利方程式是在两过流断面间除水头损失之外再无能量输入或输出 的条件下导出的。当两过流断面间有水泵(图414)、风机或水轮机(图415)等 流体机械时，存在能量的输入或输出。 1 1 2 2水泵水泵 吸水管吸水管 压水管压水管 吸水池吸水池 v 1 1 2 2 发电机发电机 水轮

39、机水轮机 尾水渠尾水渠 1 1 2 2水泵水泵 吸水管吸水管 压水管压水管 吸水池吸水池 v 1 1 2 2 发电机发电机 水轮机水轮机 尾水渠尾水渠 此种情况，根据能量守恒原理，在式(419)中，计人单位重量流体经流体机械获 得或失去的机械能，便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式 22 111222 12 22 mw pvpv zHzh gggg 22 111222 12 22 mw pvpv zHzh gggg 获得的机械能，又称为水泵的扬程； 式中 表示单位重量流体通过流体机械(如水泵) m H m H 表示单位重量流体给予流体机械(如水轮机) 的机械能，又称为水轮机的作用水头。 3两

40、断面间有分流或汇流的伯努利方程 总流的伯努利方程式(4l9)， 是在两过流断面间无分流和汇流 的条件下导出的，面实际的供水、 供气管道，沿程大多都有分流和 汇流。 对于两断面间有分流的流动，设想11断面的来流，分为两股(以虚线划分)， 分别通过22、33断面。对11(11断面中的一部分)和22断面列伯努利 方程，其间无分流 22 1 122 1212 22 w pvpv zzh gggg 因11断面为渐变流断面，面上各点的势能相等，则 11 11 pp zz gg 如11断面流速分布较为均匀， 22 11 22 vv gg 于是 22 1 111 11 22 pvpv zz gggg 故 22

41、 1122 1212 22 w pvpv zzh gggg 故 22 1122 1212 22 w pvpv zzh gggg 近似成立，同理 22 3311 1313 22 w pvpv zzh gggg 由以上分析，对于实际工程中沿程有分流的总流，当所取过流断面为渐变 流断面，断面上流速分布较为均匀。并计入相应断面之间的水头损失。式(4 19)可用于工程计算。 对于两过流断面间有汇流的情况，可做类似的分析。 4.5 4.5 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程 设恒定总流，取过流断面、 为渐变流断面，面积为A1、A2， 以过流断面及总流的侧表面围成的空 间为控制体。控制体内的流体，经dt

42、时间，由运动到位置。 1 dA 1 u 1 2 在流过控制体的总流内，任取元流12，断面面积为dA1、dA2，点流速 为 、 。dt时间元流动量的增量为 2 u 1 u 121212221 112 ()() tdtt dKKKKKKK 一一 动量方程动量方程 1 dA 1 u 1 2 121212221 112 ()() tdtt dKKKKKKK 因为是恒定流， 前后 无变化，则dt 12 K 221 1 dKKK 22221111 u dtdA uu dtdA u 时间总流动量的增量，因为过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，按平 行向量和的法则，定义 为 方向的基本单位矢量， 为 方向的

43、基本单位矢量 dt 2 i 2 u 1 i 1 u 21 2222211111 AA dKu dtdA uiu dtdA ui 21 2222211111 AA dKu dtdA uiu dtdA ui 对于不可压缩流体， ，并引入修正系数，以断面平均流速v代替点流速 u，积分得 12 22 22221111 dKdtv dAidtv dAi 2211 =()dtQvv 22221111 dtv dA vdtv dA v 式中 是为校正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差值而引人的校正系 数称为动量修正系数 2 2 A u dA v A 值取决于过流断面上的速度分布，速度分布较均匀的流动，

44、， 通常取 。 1.02 1.051.0 由动量定理，质点系动量的增量等于作用于该质点系上的外力的冲量 2211 ()F dtQ dtvv 2211 ()FQvv 2211 2211 2211 () () () xxx yyy zzz FQvv FQvv FQvv 得 投影式 上式就是恒定总流的动量方程。方程表明，作用于控制体内流体上的外力， 等于控制体净流出的动量。综合推导公式规定的条件，总流动量方程的应用条件 有：恒定流，过流断面为渐变流断面；不可压缩流体恒定流，过流断面为渐变流断面；不可压缩流体。 2211 ()FQvv 2211 2211 2211 () () () xxx yyy z

45、zz FQvv FQvv FQvv 投影式 总流动量方程是动量原理的总流表达式，方程给出了总流动量变化与作用 力之间的关系。根据这一特点，求总流与边界面之间的相互作用力问题，以及 因水头损失难以确定、运用伯努利方程受到限制的问题，适于用动量方程求解。 一一 动量矩方程动量矩方程 上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤，对动量矩定理也完全适用， 而所得结果与动量定理完全相似，将动量换成动量矩就成为动量矩定理；这里不 作重复的推导。 恒定流动的动量矩定理为： outin 222111nnii AA rvvdArvvdArF 上式表明，在流出面上的流出动量矩与流入面上的流入动量矩之差等于外力 矩

46、之和。 b0、V0，p0，不计粘性。，不计粘性。 流体对平板的作用力。流体对平板的作用力。 伯努利方程：伯努利方程： 连续性方程：连续性方程： 221100 bVbVbV 210 bbb 210 VVV npp n 111222000 000 ()(cos)0 00(sin) V bVV bVV bV V bVP 取坐标系及控制体：端面足够远；取坐标系及控制体：端面足够远； 设设P为流体对平板的冲击力如图；为流体对平板的冲击力如图； 列动量方程列动量方程( (表压力表压力) )： 0 V 2 V 1 V 1 b 2 b 0 b e P y x o 02 01 0 2 0 2 cos1 2 co

47、s1 sin bb bb bVP PeVb Vb Vb Vb 22 22 11 11 22 ctg b e 2 0 （“”表示表示 f 在在 x 轴轴正正方向）方向） 求冲击力求冲击力P 的的作用点作用点 f 的位置的位置 e ： 对坐标原点对坐标原点 o 取矩：取矩： 0 V 2 V 1 V 1 b 2 b 0 b e P y x o 例例 水流对弯管的作用力。已知流量 断面尺寸 和转角 解解 取坐标和控制体如图。 1 P 2 P x R y R Q 21 , AA x 方向动量方程： y 方向动量方程： x RApApQVQVcoscos 221112 sinsin 222 ApRQV y

48、 )cos()cos( 122211 VVQApApR x 1 V 2 V sinsin 222 QVApR y 利用连续方程： 2211 AVAVQ x y 利用能量方程： g V g p z g V g p z 22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 必须知道一点的压强 例例 求水流对溢流坝坝体的作用力。以知 解解 对控制体内流体列出动量方程 x z BghP 2 11 2 1 BghP 2 22 2 1 1 P 2 P 连续性方程 沿表层的流线列伯努利方程 消去 V1, V2 后得到 21 , hh )( 2 1 2 1 12 2 2 2 1 VVQBghBghF 2211 AVA

49、VQ 22 1122 12 22 VV hh gg 21 3 21 )( 2 1 hh hh gBF 例题例题49 一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直径由 dA200 mm 变 为 dB150 mm ，在流量 时，压强 ，求水流对 AB 段弯管的作 用力。不计弯管段的水头损失。 o 60 sQ/m1.0 3 2 KN/m 18 A p 解：解：求解流体与边界的作用力问题，一般需要联合使用连续性方程，能量方程和动 量方程。 2 2 1 4 3.18 m /s 4 5.66 m /s AB A A B B VV Q V d Q V d （ ） 用 连 续 性 方 程 计 算和 A y x

50、o Q x R y R B 例题 49 附图22 2 2 ()7.03 K N /m 22 B AB BA p VV ppg gg （） 用 能 量 方 程 计 算 22 2 cos(cos) 44 sin(sin0) 4 AABBxBA BByB pdpdRQ VV pdRQV 3 () () xy xBxAx yByAy AB RRxy FQ VV FQ VV （ ） 将 流 段作 为 隔 离 体 取 出 ， 规 定 坐 标 正 方 向 ， 假 定 弯 管 反 力和的 方 向 ， 写和两 个 坐 标 方 向 的 动 量 方 程 ： 221 , tan y xy x R RRR R 。相反，

51、即 方向弯管的反力大小相等，流体对弯管的作用力与结论：）（ 4 RR 代 入 题 中 的 外 力 和 流 速 ， 注 意 力 和 流 速 的 正 负 性 0.538 K N , 0.598 K N xy RR代 入 已 知 数 据 可 求 得 例题例题 410 求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式。 解解: （1）对于喷嘴和叶片均为固定的情况： 射流的压强等于周围气体的压强，根据能量方程式，如 果不计水头损失，各断面流速值应保持不变。 (cos) (1cos) AvQ RQ vv FRQ v 设 射 流 断 面 为， 流 速 为， 流 量 为， 叶 片 转 角 为， 根 据 动 量 方 程 式

52、 ， 叶 片 的 反 力 为 故 射 流 的 推 力 为 ： u d 例题 410 附图 2 2 o (2) ()(1cos) () (1cos) ()(1cos) 3 180 u FQ vu A vu NF uA vuu 对 喷 嘴 固 定 ， 叶 片 以 速 度向 后 退 的 情 况 ， 可 用 相 对 于 叶 片 的 流 量 和 流 速 计 算 ： 这 时 ， 叶 片 运 动 输 出 的 功 率 为 ： （ ） 结 论 ： 由 推 导 出 的 射 流 推 力 公 式 可 以 看 出 ， 叶 片 的 转 角对 推 力 影 响 很 大 ，为时 射 流 产 生 的 推 力 是 o 0 90 2

53、 90 , 时 射 流 推 力 的倍 。 因 此 在 工 程 中 有 许 多 叶 片 的 转 角 都 大 于以 提 高 射 流 的 推 力 ， 如 汽 轮 机 的 叶 片 形 状 就 是 依 此 原 理 进 行 设 计 的 。 4.64.6无粘性流体的无旋流动无粘性流体的无旋流动 在微团运动分析的基础上，将流体的运动分为有旋流动和无旋流动。理论 研究证明，只有不可压缩理想流体，运动初始无旋，将继续保持无旋。严格 地说，粘性流体的运动都是有族流动，但在实际流动中，多有粘性的影响很 小，从静止转人流动(初始无旋)的情况，诸如通风车间，用吸风装置抽气，工 作区内形成的气流,水库中的静水，因闸门开启形

54、成的闸孔出流或堰流，以及 空气或水织物体流动时，在边界层见第6章68)外面，广阔区域内的流 动等，都可视为无旋流动。 4.6.1无粘性流体的无旋运动无粘性流体的无旋运动 由无粘性流体恒定流动的运动微分方程式（4-10）， 1 xxx xyz uuup Xuuu xxyz 1 yyy xyz uuu p Yuuu yxyz 1 zzz xyz uuup Zuuu zxyz 各式分别乘以流场中任意两邻点（不限于同以流线上）间距离的投影dx、dy、 dz，然后相加，得 1 () ppp XdxYdyZdzdxdydz xyz 1 () ppp XdxYdyZdzdxdydz xyz ()( ) yy

55、y xxx xyzxyz uuu uuu uuudxuuudy xyzxyz () zzz xyz uuu uuudz xyz 以无旋条件式（3-33） y x y z xz u u yx u u zy uu xz 代入加速度项，其中 222 2 ()() ()() 22 y xxxxz xyzxyz xyz u uuuuu uuudxuuudx xyzxxx uuu u dxdx xx 同理 2 ( )() 2 yyy xyz uuu u uuudydy xyzy 2 ( )() 2 zzz xyz uuuu uuudzdz xyzz 则 2222 ()()()() 2222 uuuu dx

56、dydzd xyz 2222 ()()()() 2222 uuuu dxdydzd xyz 又流动为不可压缩流体，质量力只有重力，将以上条件代人前式整理得 2 ()() 2 pu gdzdd 积分 2 2 pu zc gg 或 22 1122 12 22 pupu zz gggg 上式为无粘性流体无旋运动的伯努利方程，其物理意义是无粘性流体恒定无旋 流动全流场单位重量流体的机械能守恒。 对比无粘性流体无旋流动的伯努利方程式与重力场场中质量力只有重力作用时 的形式完全相同，但含义和应用范围不同，重力场中是在同一条流线上成立，而无 旋运动的伯努利方程式全流场成立。 2 2 pu zc gg cpV

57、 2 2 1 4.6.2 速度势函数速度势函数 根据曲线积分定理，无旋条件式 y x y z xz u u yx u u zy uu xz 是使表达式 成为某一函数 的全微分的必要和充 分条件 xyz u dxu dyu dz(,)xy z xyz du dxu dyu dz xyz du dxu dyu dz 比较 ddxdydz xyz 得 x u x y u y z u z 即 ugrad 函数 仿照引力场势函数、静电场势函数的定义，称为速度势函数。由 此得出，无旋流动是有速度势的流动，简称势流；反之，有速度势的流动即是无 旋流动，两者含义相同。 (,)xy z 将 x u x y u

58、y z u z 代入 0 y xz u uu xyz 得 222 222 ()()() 0 xxyyzz xyz 即 2 0 222 2 222 xyz 式中 222 222 0 xyz 上是著名的拉普拉斯(Laplace，SM1749一1827)方程，满足拉普拉斯方 程的函数是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也是流速势函数具有的性 质。 由以上分析可知，不可压缩流体无旋流动的问题，归结为在给定的边界条件 下，求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是二阶线性偏微分方程，已有各种理论方 法求得解析解，即使边界条件复杂，其数值求解也较为简单。一旦求得速度势函 数，就可求得流速，进而解得压强p，问题得到

59、解决。 证 l uulul zl z yl y xl xdl dz zdl dy ydl dx xl cos ,cos,cos,cos l u l 其中 l 证明： 对于任意方向 的方向导数等于该方向的分速，即 该方向的单位矢量； 与梯度 的夹角； 速度在 方向的分量。 l u l l l u 证明：证明：流速势函数沿流线流速势函数沿流线 s 方向增大。方向增大。 ds d s uu s 从而得 udsd 由上题可知沿流线方向的速度为 沿流线方向速度 ，所以 ，即说明 值增大的方向与 s 方向相 同。 0u 0,0dds 故 解： 积分 于是 则 例：已知速度场 ux=-2ay，uy=-2ax

60、， uz=0，求速度势函数。 y yf 0 ax y yf ax 22 Caxy 2 y yf axyfaxy yy u y 22 yfaxy 2 ay x u x 2 Cyf()(常数） 4.6.3 平面流和流函数平面流和流函数 对于平面运动，有连续性微分方程 ，移项得 ，根据曲 线积分定理，前者是表达式 成为某一函数 的全微分的必要和充分 条件 0 y x u u xy y x u u xy xy u dyu dx (,)x y xy du dyu dx 比较 ddxdy xy 得 x u y y u x 函数 称为流函数。由流函数的引出条件可知，凡是不可压缩流体的平 面流动，连续性微分方