高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

1、排列组合复习巩固1. 分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有n 类办法，在第1 类办法中有m1 种不同的方法，在第2 类办法中有m2 种不同的方法， ，在第n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2Lmn 种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法， ，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1 m2 L mn 种不同的方法3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每

2、步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列.三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插

3、入中间和两端四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4. 7 人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理五. 重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生分配到7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为mn 种六. 环排问题线排策略例 6. 8人围桌而坐 , 共有多少种坐法?一般地 ,n 个不同元素作圆形排列,共有 (n-1)! 种排法 .如果从 n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1A

4、 nmn七. 多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人 , 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法一般地 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 ,再分段研究 .八. 排列组合混合问题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装法 .解决排列组合混合问题 ,先选后排是最基本的指导思想 .此法与相邻元素捆绑策略相似吗 ?九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 在两个奇数之间, 这样的五位数有多少个？十. 元素相同问题隔

5、板策略例 10. 有 10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？1将 n 个相同的元素分成 m 份（ n， m 为正整数） ,每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 Cnm 11十一 .正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数 , 不同的取法有多少种？有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面 ,再从整体中淘汰 .十二 . 平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成3

6、堆, 每堆 2 本共有多少分法？平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以Ann ( n 为均分的组数 )避免重复计数。练习题：1 将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队 , 其它两组 4 个队 , 有多少分法？3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为_十三 .合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个2 人唱歌 2 人伴舞的节目, 有多少选派方法解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分

7、类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题：十四 . 构造模型策略例 14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其中的3 盏 , 但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏 , 也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种？一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决十五 . 实际操作穷举策略例 15. 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个

8、球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果十六 .分解与合成策略例 16. 30030能被多少个不同的偶数整除分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七 . 化归策略例 17. 25人排成 55 方阵 , 现从中选3 人 , 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种？处理复杂的排列组合问题时

9、可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题十八 . 数字排序问题查字典策略例 18由 0， 1， 2，3，4， 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数？数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。十九 . 树图策略例 19 3 人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5 次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有 _对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用2二十 . 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球

10、各 5 只, 分别标有 A、B、C、D、E 五个字母 , 现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备 , 则共有多少种不同的取法一些复杂的分类选取题 ,要满足的条件比较多 , 无从入手 ,经常出现重复遗漏的情况 , 用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件 ,能达到好的效果 .二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.排列组合易错题正误解析1 没有理解两个基本原理出错排列组合

11、问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例 1从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取5 台 , 其中至少有原装与组装计算机各两台, 则不同的取法有种.例 2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种 .（A） A 43（B） 43（C） 34（D） C432 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例 3 有大小形状相同的3 个红色小球和5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？3 重复计

12、算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例 45 本不同的书全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）（A）480 种（ B）240 种（ C）120 种（ D）96 种例 5某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2 天，其不同的排法共有（）种 .（A）5040（B） 1260（C） 210（D）6304 遗漏计算出错01，3在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例 6 用数字 0，1，2， 3， 4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（）2（A）3

13、6 个（ B）48 个（C） 66 个（D）72 个15345 忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例 7如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 .（以数字作答）例 8 已知 ax2b0 是关于 x 的一元二次方程，其中a 、 b1,2,3,4 ，求解集不同的一元二次方程的个数.6 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9 现有 1角、 2角、5角、 1元、 2元、 5元、 10元、 50元人民币各一张，

14、100元人民币 2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(A)1024 种(B)1023 种 (C)1536种 (D)1535 种7 题意的理解偏差出错例 10现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种 .（A） A3A5（B） A8A6A3（C） A3A3（D） A8A46586353868 解题策略的选择不当出错例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.（A）16 种（B） 18 种（ C）37 种（D）48 种3排列与组合习题1 6 个人分乘两辆不同的汽车，

15、每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为()A 40B50C60D 702有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A 36 种B48 种C72 种D 96 种3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6 个B9个C18 个D36 个4男女学生共有8 人，从男生中选取2 人，从女生中选取1 人，共有30 种不同的选法，其中女生有()A2人或 3人B3人或 4人C3人D4人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级， 也可以一步上两级， 若规定从二楼到三楼用8 步走完，则方法有

16、 ()A45 种B36 种C28 种D25 种6某公司招聘来8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A 24 种B36 种C38 种D 108 种7已知集合A5 ，B 1,2 ，C 1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ()A 33B 34C35D 368由 1、2、3、4、 5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ()A 72B 96C108D1449如果在一周内(周一至周日 ) 安排三所学校的学

17、生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A50 种B60 种C120 种D 210 种10安排 7 位工作人员在 5月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有 _种 (用数字作答 )11今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列有 _种不同的排法 ( 用数字作答 )12将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各2人，另两个组各 1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 _种 (用数字作答 )13要

18、在如图所示的花圃中的5 个区域中种入4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法 (用数字作答 )14.将标号为1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12 种（ B）18 种（C） 36 种（D）54 种15. 某单位安排7 位员工在10月 1日至 7日值班，每天 1 人，每人值班1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有A.504 种B.960 种C.1008 种D.1108 种16. 由 1、2、

19、 3、4、5、6 组成没有重复数字且1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A） 72（B） 96（ C） 108（ D） 144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m17. 在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作

20、，则不同安排方案的种数是A 152B.126C.90D.5419. 甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有(D)（A）150 种（ B）180 种（C） 300 种(D)345 种420. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.3621.2 位男生和3 位女生共5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C.

21、 42D. 3622.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位为（）A85B 56C 49D 2823.3 位男生和3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360B. 188C. 216D. 9624.12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成3 个组（每组4 个队），则 3个强队恰好被分在同一组的概率为（）1B 311AC4D5555325.甲、乙、丙3人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）26.锅中煮有芝麻馅汤圆6 个，花生馅汤圆5 个，豆沙馅汤圆 4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（）8B254860AC91D91919127.将 4 名大学生分配到3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答） 28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的