山东省平邑县高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4

1、2.1.1平面向量的 物理背景及其含义 教学目标教学目标 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何 表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相 等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量 和共线向量. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和 数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识 客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向 量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其平面向量数量积的物理背景及其 含义含义 2

2、.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角夹角 已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180） 叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。 O B A 当0时，a与b同向； OAB 当180时，a与b反向； OAB B 当90时，称a与b垂直， 记为ab. O Aa b 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图） F S 力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所

3、做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的 夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做 a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos 规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫 做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向 量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。 注意：向量注意：向量 的数量积是的数量积是 一个数量。一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它向量

4、的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？ ab=|a| |b| cos 当当0 90时时ab为正；为正； 当当90 180时时ab为负。为负。 当当 =90时时ab为零。为零。 设设ba 、 是非零向量，是非零向量， be 是与 方向相同的方向相同的 单位向量，单位向量，ea 与 是的夹角，则的夹角，则 cos|) 1 (aeaae 0)2(baba |;|) 3(bababa 同向时，与当 |;|bababa 反向时，与当 特别地特别地 2 |aaa aaa |或 2 a | cos)4( ba ba | )5(baba O A B a b B1

5、| cos| cosabababab 解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10 例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角 =120=120，求，求a ab b。 例例2 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。 解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2 O A B |b|cos a b B1 ba 等于等于a 的长度的长度|a 方向上的投影在ab 与与 cos|b 的乘积。的乘积。 练习：练习： 1 1若若a = =0，则对任一

6、向量，则对任一向量b ，有，有a b= =0 2若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b0 3 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =0 4 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为0 5 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c 6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立 7对任意向量对任意向量 a 有有 22 |aa 平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律：数量积的运算律： cbcacba bababa abba )(3( )()()(2( ) 1

7、 ( 其中，其中， cba 、是任意三个向量，是任意三个向量， R 注：注： )()(cbacba 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONM a+b b a c 向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3) 例例 3：求证：求证： （1）(ab)2a22abb2； （2）(ab)(ab)a2b2. 证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab) (ab)a(ab)b aabaabbb a22abb2. 例例 3：求证：求证： （1）(ab)2a22

8、abb2； （2）(ab)(ab)a2b2. 证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaab bb a2b2. 例例4、 2 ) (3 )2 ) (3 )abababab 求求（。 |6,|4,|6,|4,abababab 已已知知与与 60 ,60 , o o 的夹角为的夹角为 解解: 5.| 3,| 4,abk akbakb 例 已知当且仅当 为何值时， 向量与互相垂直？ 作业：作业： )( ,2 432, 1|1 cbacaba cba k bakbababa 求证：是非零向量，且、设 的值。互相垂直，求 也与且、若 3、用向量方法证明：直径所对的圆周、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。角为直角。 A B C O 分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向 量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 设设 则则 ， 由此可得：由此可得： , ,A AO O