2020版高考数学总复习 第四篇 平面向量（必修4）第2节 平面向量基本定理及其坐标表示课件 理

1、第第2 2节平面向量基本定理及其坐标表示节平面向量基本定理及其坐标表示 考纲展示考纲展示 1.1.了解平面向量的基本定理及其意义了解平面向量的基本定理及其意义. . 2.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标掌握平面向量的正交分解及其坐标 表示表示. . 3.3.会用坐标表示平面向量的加法、会用坐标表示平面向量的加法、 减法与数乘运算减法与数乘运算. . 4.4.理解用坐标表示的平面向量共理解用坐标表示的平面向量共 线的条件线的条件. . 知识链条完善知识链条完善 考点专项突破考点专项突破 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 知识梳理知识梳理 1.1.平面向量基本定理平

2、面向量基本定理 如果如果e e1 1, ,e e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向量向量, ,那么对于这个平面内任意向量那么对于这个平面内任意向量a a, , 有且只有一对实数有且只有一对实数1 1,2 2, ,使使a a= = . . 其中其中, ,不共线的向量不共线的向量e e1 1, ,e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. . 2.2.平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向量的向量, ,叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解. . 不共线不共线 1 1e e1 1+2 2e e2 2

3、 互相垂直互相垂直 单位向量单位向量 3.3.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 (1)(1)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,分别取与分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个轴方向相同的两个 i i, , j j作为基底作为基底, ,对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a a, ,由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知, ,有且只有一对实有且只有一对实 数数x,y,x,y,使得使得a a=xi+yj,=xi+yj,这样这样, ,平面内的任一向量平面内的任一向量a a都可由都可由x,yx,y唯一确定唯一确定, ,我们把我们把 叫做向量叫做向量a a的坐标的坐标, ,记作记作

4、 , ,其中其中x x叫做叫做a a在在x x轴上的坐标轴上的坐标,y,y叫做叫做a a 在在y y轴上的坐标轴上的坐标. . (x,y)(x,y) a a=(x,y)=(x,y) (2)(2)若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 =(x =(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1).). AB 4.4.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(1)若若a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则a ab b= = . . (2)(2)若若a a=(x,y),=(x,y),则

5、则a a=(x,y).=(x,y). 5.5.向量共线的充要条件的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示 若若a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则a ab b . . (x(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2) ) x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0 对点自测对点自测 1.1.已知已知e e1 1, ,e e2 2是表示平面内所有向量的一组基底是表示平面内所有向量的一组基底, ,则下列四组向量中则下列四组向量中, ,不能作为不能作为 一组基底的是一组基底的是( ( ) ) (A)(A)e e1 1+

6、+e e2 2和和e e1 1- -e e2 2 (B)3 (B)3e e1 1-2-2e e2 2和和4 4e e2 2-6-6e e1 1 (C)(C)e e1 1+2+2e e2 2和和e e2 2+2+2e e1 1 (D) (D)e e2 2和和e e1 1+ +e e2 2 B B 解析解析: :因为因为4 4e e2 2-6-6e e1 1=-2(3=-2(3e e1 1-2-2e e2 2),), 所以所以3 3e e1 1-2-2e e2 2与与4 4e e2 2-6-6e e1 1共线共线, , 又作为一组基底的两个向量一定不共线又作为一组基底的两个向量一定不共线, , 所

7、以它们不能作为一组基底所以它们不能作为一组基底. .故选故选B.B. 2.2.若向量若向量a a=(2,3),=(2,3),b b=(-1,2),=(-1,2),则则a a+ +b b的坐标为的坐标为( ( ) ) (A)(1,5)(A)(1,5)(B)(1,1)(B)(1,1) (C)(3,1)(C)(3,1)(D)(3,5)(D)(3,5) A A 解析解析: :因为向量因为向量a a=(2,3),=(2,3),b b=(-1,2),=(-1,2), 所以所以a a+ +b b=(1,5).=(1,5).故选故选A.A. 3.3.(2018(2018湖南省永州市一模湖南省永州市一模) )已

8、知已知a a=(1,-1),=(1,-1),b b=(1,0), =(1,0), c c=(1,-2),=(1,-2),若若a a与与m mb b- -c c平平 行行, ,则则m m等于等于( ( ) ) (A)-1(A)-1 (B)1 (B)1 (C)2 (C)2 (D)3 (D)3 A A 解析解析: :由题由题m mb b- -c c=(m-1,2),=(m-1,2), 又因为又因为a a与与m mb b- -c c平行平行, , 所以所以1 12=-(m-1),m=-1,2=-(m-1),m=-1, 故选故选A.A. 4.4.设设e e1 1, ,e e2 2是平面内一组基向量是平面

9、内一组基向量, ,且且a a= =e e1 1+2+2e e2 2, ,b b=-=-e e1 1+ +e e2 2, ,则向量则向量e e1 1+ +e e2 2可以表示可以表示 为另一组基向量为另一组基向量a a, ,b b的线性组合的线性组合, ,即即e e1 1+ +e e2 2= =a a+ +b b. . 答案答案: : 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 考点一平面向量基本定理及其应用考点一平面向量基本定理及其应用 答案答案: :(1)D(1)D 答案答案: :(2)6(2)6 (1)(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形应用

10、平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形 法则进行向量的加、减或数乘运算法则进行向量的加、减或数乘运算. . (2)(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是用平面向量基本定理解决问题的一般思路是: :先选择一组基底先选择一组基底, ,并运用该并运用该 基底将条件和结论表示成向量的形式基底将条件和结论表示成向量的形式, ,再通过向量的运算来解决再通过向量的运算来解决. . 反思归纳反思归纳 答案答案: :(1)1(1)1 答案答案: : (2)-3 (2)-3 考点二平面向量的坐标运算考点二平面向量的坐标运算 【例例2 2】 (1)(1)已知向量已知向量a a=(5,2),

11、=(5,2),b b=(-4,-3),=(-4,-3),c c=(x,y),=(x,y),若若3 3a a-2-2b b+ +c c= =0 0, ,则则c c等于等于( ( ) ) (A)(-23,-12)(A)(-23,-12)(B)(23,12)(B)(23,12) (C)(7,0)(C)(7,0) (D)(-7,0) (D)(-7,0) 解析解析: :(1)3(1)3a a-2-2b b+ +c c=(23+x,12+y)=(23+x,12+y)=0 0, , 故故x=-23,y=-12,x=-23,y=-12,故选故选A.A. 反思归纳反思归纳 (1)(1)向量的坐标运算主要是利用向

12、量加、减、数乘运算的法则来进行求解向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解 的的, ,若已知有向线段两端点的坐标若已知有向线段两端点的坐标, ,则应先求向量的坐标则应先求向量的坐标. . (2)(2)解题过程中解题过程中, ,常利用向量相等则其坐标相同这一原则常利用向量相等则其坐标相同这一原则, ,通过列方程通过列方程( (组组) ) 来进行求解来进行求解. . (2)(2)设向量设向量a a=(1,-3),=(1,-3),b b=(-2,4),=(-2,4),c c=(-1,-2),=(-1,-2),若表示向量若表示向量4 4a a,4,4b b-2-2c c,2(,2(

13、a a- -c c),),d d的的 有向线段首尾相连能构成四边形有向线段首尾相连能构成四边形, ,则向量则向量d d等于等于( () ) (A)(2,6)(A)(2,6) (B)(-2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6)(C)(2,-6) (D)(-2,-6) (D)(-2,-6) 解析解析: :(2)(2)设设d d=(x,y),=(x,y), 由题意知由题意知4 4a a+(4+(4b b-2-2c c)+2()+2(a a- -c c)+)+d d= =0 0, , 所以所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),(4,-12)+(-6,20)+

14、(4,-2)+(x,y)=(0,0), 解得解得x=-2,y=-6,x=-2,y=-6,所以所以d d=(-2,-6).=(-2,-6). 故选故选D.D. 答案答案: :(1)C(1)C (2)(2)(2018(2018全国全国卷卷) )已知向量已知向量a a=(1,2),=(1,2),b b=(2,-2),=(2,-2),c c=(1,).=(1,).若若c(2c(2a a+ +b b),), 则则=. . 思考探究思考探究: :若若a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则a ab b的充要条件是什么的充要条件是什么? ? 答答: :

15、x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0. 【跟踪训练跟踪训练3 3】 (1) (1)(2018(2018湖北襄阳模拟湖北襄阳模拟) )设向量设向量a a=(m,2),=(m,2),b b=(1,m+1),=(1,m+1),且且a a与与b b 的方向相反的方向相反, ,则实数则实数m m的值为的值为( () ) (A)-2(A)-2 (B)1(B)1 (C)-2(C)-2或或1 1 (D)m (D)m的值不存在的值不存在 解析解析: :(1)(1)向量向量a a=(m,2),=(m,2),b b=(1,m+1),=(1,m+1), 因为因为a ab b, ,所以所以m(m+1)=2m(m+1)=21,1,解得解得m=-2m=-2或或1.1. 当当m=1m=1时时, ,a a=(1,2),=(1,2),b b=(1,2),=(1,2), a a与与b b的方向相同的方向相同, ,舍去舍去; ; 当当m=-2m=-2时时, ,a a=(-2,2),=(-2,2),b b=(1,-1),=(1,-1), a a与与b b的方向相反的方向相反, ,符合题意符合题