2020版新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.3 方程组的解集课件 新人教B版必修1

1、2.1.3 方程组的解集 1.1.二元一次方程组二元一次方程组 (1)(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另 一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中， 从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次 方程方程. .这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入 法法. . (2)(2)加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分 别相加别相加( (减减) )

2、消去其中一个未知数，得到一个一元一次消去其中一个未知数，得到一个一元一次 方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加 减消元法，简称加减法减消元法，简称加减法. . 【思考思考】 (1)(1)解方程组的基本思路是什么？解方程组的基本思路是什么？ 提示：提示：解二元一次方程组的基本思路是消元，把解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二二 元元”变为变为“一元一元”. . (2)(2)解方程组消元时，直接把原式代入进行消元？直接解方程组消元时，直接把原式代入进行消元？直接 把原式相加进行消元吗？把原式相加进行消元吗？ 提示：提示：解方程组时常用的消

3、元方法有代入消元法和加解方程组时常用的消元方法有代入消元法和加 减消元法；代入消元时一般需要把原式化简一下再代减消元法；代入消元时一般需要把原式化简一下再代 入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某 些个转化后再进行加减消元些个转化后再进行加减消元. . 2.2.三元一次方程组三元一次方程组 (1)(1)定义：含有三个不同的未知数，每个方程中含未知定义：含有三个不同的未知数，每个方程中含未知 数的项的次数都是数的项的次数都是1 1，并且一共有三个方程，像这样的，并且一共有三个方程，像这样的 方程组叫三元一次方程组方程组叫三元一次方程组. .

4、(2)(2)解三元一次方程组的常用方法：解三元一次方程组解三元一次方程组的常用方法：解三元一次方程组 和二元一次方程组的方法一样，主要用代入消元法和和二元一次方程组的方法一样，主要用代入消元法和 加减消元法加减消元法. . 【思考思考】 解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些？解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些？ 提示：提示：解三元一次方程组的基本思想是消元，其方法解三元一次方程组的基本思想是消元，其方法 有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一 次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程

5、. . 解三元一次方程组时要特别注意：解三元一次方程组时要特别注意： 三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元， 解出每一个未知数即可；解出每一个未知数即可； 解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一 次，否则解出的结果也不正确次，否则解出的结果也不正确. . 3.3.二元二次方程组二元二次方程组 (1)(1)含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 2的整式方程，叫做二元二次方程的整式方程，叫做二元二次方程. . (2)(2)由一个二元一次方程和一

6、个二元二次方程组成的方由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方 程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，叫做二程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，叫做二 元二次方程组元二次方程组. . 【思考思考】 解二元二次方程组的基本思路是什么？解二元二次方程组的基本思路是什么？ 提示：提示：解二元二次方程组的关键是解二元二次方程组的关键是“消元消元”、“降降 次次”；消元时的方法主要还是代入消元法和加减消元；消元时的方法主要还是代入消元法和加减消元 法法. . 【素养小测素养小测】 1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”) (1)(1)方程方程1+ =-21+

7、 =-2是一元一次方程是一元一次方程. . ( () ) (2) (2) 是方程组是方程组 的解的解.(.() ) 1 x x2 y3 z3 ， ， xy2z5 2xyz4 2xy3z 10, ， ， (3)(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐 变少变少. .( () ) 提示：提示：(1)(1). .方程方程1+ =-21+ =-2是分式方程，不是一元是分式方程，不是一元 一次方程一次方程. . (2).(2).经代入验证，知经代入验证，知 是方程组是方程组 的解的解. . 1 x x2 y3 z3 ， ， xy2z5 2xyz4 2xy3z 10

8、， ， (3)(3). .解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减 消元法消元法. . 2.2.已知已知 是方程是方程2x-ay=32x-ay=3的一个解，那么的一个解，那么a a的值的值 是是( () ) A.1A.1B.3B.3C.-3C.-3D.-1D.-1 x 1 y1 ， 【解析解析】选选A.A.将将 代入方程代入方程2x-ay=32x-ay=3，得，得2+a=32+a=3， 所以所以a=1.a=1. x 1 y1 ， 3.3.用用“加减法加减法”将方程组将方程组 中的中的x x消去后得消去后得 到的方程是到的方程是( () ) A.y=8A.

9、y=8B.7y=10B.7y=10 C.-7y=8C.-7y=8D.-7y=10D.-7y=10 2x3y9, 2x4y1, 【解析解析】选选D.D.- -后得：后得：-7y=10.-7y=10. 类型一二元一次方程组类型一二元一次方程组 【典例典例】1.1.已知已知 是二元一次方程组是二元一次方程组 的解，则的解，则a-ba-b的值为的值为( () ) A.1A.1B.-1B.-1C.2C.2D.3D.3 x2 y 1 ， axby7 axby 1 ， 2.2.求方程组求方程组 的解集的解集. . xy12 2xy20 【思维思维引引】 1.1.把把 代入代入 求出求出a a，b b的值，再

10、计算的值，再计算a-b.a-b. 2.2.解方程组的常用方法为代入消元法和加减消元法，解方程组的常用方法为代入消元法和加减消元法， 选择其中一种，消元，求解选择其中一种，消元，求解. . x2 y 1 ， axby7 axby 1 ， 【解析解析】1.1.选选B.B.把解代入原方程组得把解代入原方程组得 解得解得 所以所以a-b=-1.a-b=-1. 2ab7 2ab 1 ， ， a2 b3 ， ， 2.2.方法一方法一( (代入法代入法) )：由得：由得：y=12-xy=12-x， 将代入得：将代入得：2x+12-x=202x+12-x=20， 解这个一元一次方程，得解这个一元一次方程，得x

11、=8x=8， 将将x=8x=8代入，得代入，得y=4y=4， 所以原方程组的解集是所以原方程组的解集是(8(8，4).4). 方法二方法二( (加减法加减法) )：- -得得x=8x=8，代入得，代入得y=4y=4， 所以原方程组的解集是所以原方程组的解集是(8(8，4).4). 【内化内化悟悟】 解方程组时，怎样选择消元的方法？解方程组时，怎样选择消元的方法？ 提示：提示：根据原题的形式，适当选择消元的方法根据原题的形式，适当选择消元的方法. .如果原如果原 题中有一个方程的某一未知数系数为题中有一个方程的某一未知数系数为1 1，可以选择代入，可以选择代入 消元法；若原题中将方程适当加减后能

12、消元，则选择消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择 加减消元法加减消元法. . 【类题类题通通】 1.1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤用代入法解二元一次方程组的一般步骤 (1)(1)当方程组中的未知数系数不是当方程组中的未知数系数不是1(1(或或-1)-1)时，常选择时，常选择 系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表 示这个未知数示这个未知数. . (2)(2)代入时要注意加括号代入时要注意加括号. . (3)(3)为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的 方程进行口算检验，不必

13、写检验过程方程进行口算检验，不必写检验过程. . 2.2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：用加减法解二元一次方程组的一般步骤： (1)(1)将其中一个未知数的系数化为相同将其中一个未知数的系数化为相同( (或互为相反数或互为相反数) )； (2)(2)通过相减通过相减( (或相加或相加) )消去这个未知数，得到一个一元消去这个未知数，得到一个一元 一次方程；一次方程； (3)(3)解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；解这个一元一次方程，得到这个未知数的值； (4)(4)将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程， 求得另一个未知数的值；求

14、得另一个未知数的值； (5)(5)写出方程组的解；写出方程组的解； (6)(6)检验，但不必写出检验过程检验，但不必写出检验过程. . 【习练习练破破】 解方程组解方程组(1) (1) 7x3y1, 2xy1. 2x5y7, 2 2x3y1. 【解析解析】(1)(1)由得，由得，y=2x-1y=2x-1代入得代入得 7x-3(2x-1)=17x-3(2x-1)=1，所以，所以x=-2x=-2代入得代入得y=-5y=-5， 所以原方程组的解集是所以原方程组的解集是(-2(-2，-5).-5). (2)(2)- -得：得：8y=-88y=-8，y=-1y=-1， 把把y=-1y=-1代入，得代入，

15、得2x-52x-5(-1)=7(-1)=7，解得，解得x=1x=1， 所以原方程组的解集是所以原方程组的解集是(1(1，-1).-1). 类型二三元一次方程组类型二三元一次方程组 【典例典例】1.1.三元一次方程组三元一次方程组 消去消去 未知数未知数z z后，得到的二元一次方程组是后，得到的二元一次方程组是( () ) 5x4yz0, 3xy4z11, xyz2, 4x3y2,4x3y2, A.B. 7x5y323x17y11 3x4y2,3x4y2, C.D. 7x5y323x17y11 2.2.求三元一次方程组求三元一次方程组 的解集的解集. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号 3x4z7,

16、 2x3yz9, 5x9y7z8. 【思维思维引引】 1.1.与相减，消去与相减，消去z z；乘以；乘以4 4加，也可以消去加，也可以消去z.z. 2.2.此方程组的特点是不含此方程组的特点是不含y y，而中，而中y y的系数为整的系数为整 数倍关系，因此用加减法从中消去数倍关系，因此用加减法从中消去y y后，再与组后，再与组 成关于成关于x x和和z z的二元一次方程组的解法最合理的二元一次方程组的解法最合理. .反之用代反之用代 入法运算较烦琐入法运算较烦琐. . 【解析解析】1.1.选选B.B.第一个方程减去第三个方程得第一个方程减去第三个方程得4x+3y=24x+3y=2， 再将第一个

17、方程乘以再将第一个方程乘以4 4加上第二个方程得加上第二个方程得23x+17y=11.23x+17y=11. 2.2.3+3+，得，得11x+10z=35.11x+10z=35. 与组成方程组与组成方程组 解得解得 把把x=5x=5，z=-2z=-2代入，得代入，得y= .y= . 所以原方程组的解集是所以原方程组的解集是 3x4z7, 11x10z35, x5, z2, 1 (5, , 2). 3 1 3 【内化内化悟悟】 解三元一次方程组怎样消元？解三元一次方程组怎样消元？ 提示：提示：解三元一次方程组的关键还是消元，我们要适解三元一次方程组的关键还是消元，我们要适 当选择代入消元法和加减

18、消元法，逐步将当选择代入消元法和加减消元法，逐步将“三元三元”化化 “二元二元”，再将，再将“二元二元”化化“一元一元”，进而求解，进而求解. . 【类题类题通通】 解三元一次方程组的基本步骤解三元一次方程组的基本步骤 (1)(1)观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数； (2)(2)利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数， 得到二元一次方程组；得到二元一次方程组； (3)(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值；解二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)(4)将所得的两个未知数的值代入原

19、三元一次方程组中将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中 的某个方程，求出第三个未知数的值；的某个方程，求出第三个未知数的值； (5)(5)写出三元一次方程组的解写出三元一次方程组的解. . 【习练习练破破】 1.1.已知已知x+2y+3z=54x+2y+3z=54，3x+2y+2z=473x+2y+2z=47，2x+2y+z=312x+2y+z=31，那么，那么 代数式代数式x+y+zx+y+z的值是的值是( ().). A.17A.17B.22B.22C.32C.32D.132D.132 【解析解析】选选B.B.将三个三元一次方程组成方程组，将三个三元一次方程组成方程组， 整体求法，将

20、三个式子相加，整体求法，将三个式子相加， 得得6x+6y+6z=1326x+6y+6z=132，两边都除以，两边都除以6 6，解，得，解，得x+y+z=22.x+y+z=22. x2y3z54 3x2y2z47 2x2yz31. ， ， 2.2.在等式在等式y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c中，当中，当x=-1x=-1时，时，y=0y=0；当；当x=2x=2时，时， y=3y=3；当；当x=5x=5时，时，y=60y=60，求，求a a，b b，c c的值的值. . 【解析解析】由题意得三元一次方程组由题意得三元一次方程组 - -，得，得a+b=1a+b=1， - -，得，得4a+b=

21、10.4a+b=10. 与组成二元一次方程组与组成二元一次方程组 abc0, 4a2bc3, 25a5bc60. ab1, 4ab10. 解得解得 把把a=3a=3，b=-2b=-2代入，得代入，得c=-5.c=-5. 因此因此 a3, b2, c5. a3, b2, 类型三二元二次方程组类型三二元二次方程组 【典例典例】1.1.方程组方程组 的解集为的解集为_._. 2.2.解方程组解方程组 世纪金榜导学号世纪金榜导学号 22 2xy0, 1 xy30, 2 22 22 xy5 xy , 1 xxyy432 （ ） 【思维思维引引】 1.1.由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程由于方

22、程组是由一个二元一次方程和二元二次方程 组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过(1)(1) 得得y=2xy=2x再代入再代入(2)(2)可以求出可以求出x x的值，从而得到方程组的的值，从而得到方程组的 解解. . 2.2.注意到方程注意到方程x x2 2-y-y2 2=5(x+y)=5(x+y)， 可分解成可分解成(x+y)(x-y-5)=0(x+y)(x-y-5)=0，即得，即得x+y=0 x+y=0或或x-y-5=0 x-y-5=0，则，则 可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一 个方

23、程为二元一次方程个方程为二元一次方程. . 【解析解析】1.1.由由(1)(1)得：得：y=2xy=2x(3)(3)， 将将(3)(3)代入代入(2)(2)得：得：x x2 2-(2x)-(2x)2 2+3=0+3=0，解得，解得x x1 1=1=1或或x x2 2=-1=-1， 把把x=1x=1代入代入(3)(3)得：得：y=2y=2； 把把x=-1x=-1代入代入(3)(3)得：得：y=-2.y=-2. 所以原方程组的解集是所以原方程组的解集是(1(1，2)2)，(-1(-1，-2).-2). 答案答案：(1(1，2)2)，(-1(-1，-2)-2) 2.2.由由(1)(1)得得(x+y)

24、(x-y)-5(x+y)=0(x+y)(x-y)-5(x+y)=0 (x+y)(x-y-5)=0(x+y)(x-y-5)=0， 所以所以x+y=0 x+y=0或或x-y-5=0 x-y-5=0， 所以原方程组可化为两个方程组：所以原方程组可化为两个方程组： 2222 xy50,xy0, xxyy43xxyy43 或 用代入法解这两个方程组，所以原方程组的解集是用代入法解这两个方程组，所以原方程组的解集是 (-1(-1，-6)-6)，(6(6，1)1)，( ( ，- )- )，(- (- ， ).). 43434343 【内化内化悟悟】 求解二元二次方程组的关键是什么？求解二元二次方程组的关键是

25、什么？ 提示：提示：根据题干条件将原方程组化成最简形式，消元根据题干条件将原方程组化成最简形式，消元 求解求解. . 【类题类题通通】 1.1.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的 方程组的步骤：方程组的步骤： (1)(1)由二元一次方程变形为用由二元一次方程变形为用x x表示表示y y的方程，或用的方程，或用y y表表 示示x x的方程的方程( (* *) )； (2)(2)把方程把方程( (* *) )代入二元二次方程，得一个一元二次方代入二元二次方程，得一个一元二次方 程；程； (3)(3)解消元后得到的一元二次方程；解消元后得到的一元

26、二次方程； (4)(4)把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程 ( (* *) )，求相应的未知数的值，求相应的未知数的值. . 2.2.两个注意点两个注意点 (1)(1)消消x x还是消还是消y y，应由二元一次方程的系数来决定，应由二元一次方程的系数来决定. .若若 系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如 x-2y+1=0 x-2y+1=0，可以消去，可以消去x x，变形得，变形得x=2y-1x=2y-1，再代入消元，再代入消元. . (2)(2)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次 方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一方程求另一未知数的值不能代