高等数学（上）：D3习题课

1、二、二、 导数应用导数应用 习题课习题课 一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用 第三章第三章 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )()(bfaf 一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理 0)(f x y o a b )(xfy )( )( )()( )()( F f aFbF afbf ab afbf f )()( )( )()( )( bfaf xxF 1 0 ) 1( ! ) 1( 1 )( nn n xxf 柯西中值定理柯西中值定理 xxF)( x

2、 y o a b )(xfy 泰勒中值定理泰勒中值定理 )()()( 000 xxxfxfxf nn n xxxf)( 00 )( ! 1 0n 2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论 3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法 利用利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数设辅助函数 . 一般解题方法一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数若

3、结论中涉及到含中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数 . 多用多用罗尔定理罗尔定理, 可考虑用可考虑用 柯西中值定理柯西中值定理 . 必须必须多次应用多次应用 中值定理中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式 , (5) 若结论为不等式若结论为不等式 , 要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧. 有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 . 例例1. 设函数设函数在在)(xf),(ba 内可导内可导

4、, 且且 ,)(Mxf 证明证明在在)(xf),(ba内有界内有界. 证证: 取点取点, ),( 0 bax 再取异于再取异于 0 x的点的点, ),(bax对对 xxxf,)( 0 在以为端点的区间上用拉氏中值定理为端点的区间上用拉氏中值定理, 得得 )()()( 00 xxfxfxf)( 0 之间与界于xx )()()( 00 xxfxfxf 00 )()(xxfxf )()( 0 abMxfK(定数定数) 可见对任意可见对任意 , ),(bax,)(Kxf即得所证即得所证 . 例例2. 设设 在在 )(xf 1 ,0 内可导内可导, 且且 ,0) 1 (f证明至少存在一点证明至少存在一点

5、 )(f , ) 1 ,0( 使使 上连续上连续, 在在) 1 ,0( )(2 f 证证: 问题转化为证问题转化为证.0)(2)(ff 设辅助函数设辅助函数 )()( 2 xfxx 显然显然)(x在在 0 , 1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件, 故至故至 , ) 1 ,0( 使使 0)()(2)( 2 ff 即有即有)(f )(2 f 少存在一点少存在一点 例例3. ,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf 且且 ,0ba 试证存在试证存在).( 2 )( f ba f 使, ),(,ba 证证: 欲证欲证, 2 )()( f ba f 因因 f ( x ) 在在 a , b 上

6、满足拉氏中值定理条件上满足拉氏中值定理条件,故有 故有 ),(, )()()(baabfafbf ,)( 2 上满足柯西定理条件在及又因baxxf ),(, 2 )()()( 22 ba f ab afbf 将将代入代入 , 化简得化简得 故有故有 ),( 2 )( f ba f ),(,ba 即要证即要证. 2 )()( 22 f ab abf 例例4. 设实数设实数 满足下述等式满足下述等式 n aaa, 10 0 12 1 0 n aa a n 证明方程证明方程在在 ( 0 , 1) 内至少有一内至少有一 个实根个实根 . 0 10 n nx axaa 证证: 令令,)( 10 n nx

7、 axaaxF则可设则可设 12 1 0 12 )( n n x n a x a xaxF , 1,0)(,上连续在显然xF 且且 )0(F 由罗尔定理知存在一点由罗尔定理知存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(F 即即.100 10 内至少有一个实根），（在 n nx axaa ,) 1,0(内可导在 ,0) 1 (F 例例5. 设函数设函数 f (x) 在在0, 3 上连续上连续, 在在(0, 3) 内可导内可导, 且且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0( . 0)(f 分析: 所给条件可写为1)3(, 1 3 )2() 1 ()0( f fff (03考研

8、考研) 试证必存在试证必存在 想到找一点 c , 使 3 )2() 1 ()0( )( fff cf 证证: 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在所以在0, 2上连续上连续, 且在且在 0, 2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m, 故故 Mfffm)2(),1 (),0(Mm fff 3 )2() 1 ()0( 由由介值定理介值定理, 至少存在一点至少存在一点 使, 2, 0c 3 )2() 1 ()0( )( fff cf 1 , 1)3()( fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf 由由罗尔定理罗尔定理知知, 必存在必存在 . 0)(, )3, 0

9、()3,(fc使 ,2)( x f 例例6. 设函数设函数 在)(xf 1 ,0上二阶可导上二阶可导, , ) 1 ()0(ff 且且证明证明. 1)( x f 证证: , 1,0 x 由泰勒公式得由泰勒公式得 )0(f ) 1 (f 两式相减得两式相减得 2 2 1 2 2 1 )()1)()(0 xfxfxf 2 2 1 2 2 1 )()1)()(xfxfxf 2 2 1 2 2 1 )()1 ()(xfxf 22 )1 (xx)1 (21xx 1,0,1x )(xfxxf) ( 2 2 1 )(xf ) 10( ) 10()1)()1)()( 2 2 1 xfxxfxf 二、二、 导数

10、应用导数应用 1. 研究函数的性态研究函数的性态: 增减增减 , 极值极值 , 凹凸凹凸 , 拐点拐点 , 渐近线渐近线 , 曲率曲率 2. 解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立与简化目标函数的建立与简化 最值的判别问题最值的判别问题 3. 其他应用其他应用 :求不定式极限求不定式极限 ;几何应用几何应用 ; 相关变化率相关变化率;证明不等式证明不等式 ;研究方程实根等研究方程实根等. 4. 补充定理补充定理 (见下页见下页) 设函数设函数)(, )(xgxf在在上具有上具有n 阶导数阶导数, ,),(a 且且) 1,2, 1 ,0()()() 1 ( )()( nkagaf kk )()

11、()()2( )()( axxgxf nn 则当则当ax 时时. )()(xgxf 证证: 令, )()()(xgxfx 则则 ; ) 1, 1 ,0(0)( )( nka k )(0)( )( axx n 利用利用)(x在在ax 处的处的 n 1 阶泰勒公式得阶泰勒公式得 )(x )(xa 因此因此ax 时时 . )()(xgxf 0 n n ax n )( ! )( )( 定理定理. 的连续性及导函数的连续性及导函数 例例7. 填空题填空题 (1) 设函数设函数上连续，在),()(xf 的则)(xf其导数图形如图所示其导数图形如图所示, 单调减区间为单调减区间为 ; 极小值点为极小值点为

12、; 极大值点为极大值点为 . )(x f ),0(),( 21 xx ),(),0,( 21 xx 21, x x 0 x 提示提示: )(xf根据 的正负作的正负作 f (x) 的示意图的示意图. 单调增区间为单调增区间为 ; o 2 x 1 x y x ox )(xf 1 x 2 x o )(xf x . 在区间在区间 上是凸弧上是凸弧 ; 拐点为拐点为 ),0(),( 21 xx )0(, 0( ,)(,( ,)(,( 2211 fxfxxfx 提示提示: )()(xfxf 的可导性及根据 的正负作的正负作 f (x) 的示意图的示意图. 形在区间形在区间 上是凹弧上是凹弧; 则函数则函

13、数 f (x) 的图的图 (2) 设函数设函数上可导，在),()(xf 的图形如图所示的图形如图所示, ),(),0,( 21 xx )(x f o2 x 1 x y x 2 x )(x f 1 x ln)1ln()( )( 1 xxxf xf 例例8. 证明证明 在在 x x xf)1 ()( 1 ),0(上单调增加上单调增加. 证证:)1ln()(ln 1 x xxf ln)1ln(xxx 1 1 ln)1ln() 1 1()( x xx x xf x 令令 ,ln)(ttF 在在 x , x +1 上利用拉氏中值定理上利用拉氏中值定理, 1 1 1 xx x ) 10( 1 ln)1ln

14、(xxxx x 1 1 故当故当 x 0 时时, ,0)( x f 从而从而)(xf在在),0(上单调增上单调增. 得得 例例9. 设设 在在)(xf ),(上可导上可导, 且且 证明证明 f ( x ) 至多只有一个零点至多只有一个零点 . 证证: 设设)()(xfex x 则则 )()()(xfxfex x 0 ,0)()(xfxf 故故)(x在在),(上连续单调递增上连续单调递增, 从而至多只有从而至多只有 一个零点一个零点 . 又因又因,0 x e因此因此 )(xf也至多只有一个零点也至多只有一个零点 . 思考思考: 若题中若题中0)()(xfxf改为改为,0)()(xfxf 其它不变

15、时其它不变时, 如何设辅助函数如何设辅助函数?)()(xfex x 例例10. 求数列求数列 n n 的最大项的最大项 . 证证: 设),1()( 1 xxxf x 用对数求导法得用对数求导法得 )ln1()( 2 1 xxxf x 令令,0)( x f 得得 , ex x )(x f )(xf e), 1e),(e 0 e e 1 因为因为)(xf在在 ),1 只有唯一的极大点只有唯一的极大点 ,ex 因此在因此在 ex 处处)(xf也取最大值也取最大值 . 又因又因 ,32 e 4 42 且,3 3 n n为数列故 3 3 中的最大项中的最大项 . 极大值极大值 列表判别列表判别: 例例1

16、1. 证明证明. )0( 1 arctan )1ln( x x x x 证证: 设设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则则0)0( 2 1 1 )1ln(1)( x xx )0(0 x 故故0 x时时, )(x单调增加单调增加 , 从而从而0)0()(x 即)0( 1 arctan )1ln( x x x x 思考思考: 证明证明) 10( arcsin )1ln( 1 1 x x x x x 时时, 如何设辅助如何设辅助 函数更好函数更好 ? xxxxxarcsin1)1ln()1 ()( 2 提示提示: 例例12. 设设 ,0)0(f且在且在),0上上)(x f 存在存在 ,

17、且单调且单调 递减递减 , 证明对一切证明对一切0,0ba 有有 )()()(bfafbaf 证证: 设设, )()()()(xfafxafx 则则0)0( )()()(xfxafx)0(0 x 所以当所以当时，0 x)(x0)0( 令令,bx 得得 0)()()()(bfafbafb 即所证不等式成立即所证不等式成立 . 例例13. ,10:时当证明 x. 1 1 2 x x e x 证证: 只要证只要证) 10(01)1 ( 2 xxex x ,1)1 ()( 2 xexxf x 设0)0(f则 , 1)21 ()( 2 x exxf 0)0( f ) 10(04)( 2 xexxf x

18、利用一阶泰勒公式利用一阶泰勒公式, 得得 2 !2 )( )0()0()(x f xffxf ) 10(02 22 xxe 故原不等式成立故原不等式成立. 例例14. 证明当证明当 x 0 时时,.) 1(ln) 1( 22 xxx 证证: 令令,) 1(ln) 1()( 22 xxxxf则则0) 1 (f xxxfln2)(0) 1 ( f xxfln2)( ,1 2 1 x 02) 1 ( f 3 2 ) 1(2 )( x x xf x x 1 , ) 1(2x 法法1 由由 )(xf在在1x处的二阶泰勒公式处的二阶泰勒公式 , 得得 )(xf 2 ) 1( !2 ) 1 ( x f 3

19、) 1( !3 )( x f 2 ) 1( x 3 3 2 ) 1( 3 1 x xx在, 0( 0 故所证不等式成立故所证不等式成立 . 与与 1 之间之间) 法法2 列表判别列表判别: ,) 1(ln) 1()( 22 xxxxf0) 1 (f 2ln2)( 1 x xxxf0) 1 ( f ,1ln2)( 2 1 x xxf 02) 1 ( f 3 2 ) 1(2 )( x x xf x )(x f )(x f )(x f )(xf 1 )1,0(), 1( 0 0 2 0 ,0)(0 xfx时故当即即.) 1(ln) 1( 22 xxx 法法3 利用利用极值第二判别法极值第二判别法.

20、,0)(1的唯一根是易知xfx 的唯一为)(1xfx 故故0) 1 (f也是最小值也是最小值 , 因此当因此当0 x时时,0)(xf即即 22 ) 1(ln) 1(xxx ,) 1(ln) 1()( 22 xxxxf0) 1 (f 2ln2)( 1 x xxxf0) 1 ( f ,1ln2)( 2 1 x xxf 02) 1 ( f ，极小点 ,0) 1 ( f 且 1 y ox 2 2 ) 1( ln) 1( x xxy 例例15. 求求 )0() 1 arctan(arctanlim 2 a n a n a n n 解法解法1 利用中值定理求极限利用中值定理求极限 原式原式) 1 ( 1

21、1 lim 2 2 n a n a n n 之间）与在 1 ( n a n a 2 2 1 ) 1( lim a nn n n a 解法解法2 利用泰勒公式利用泰勒公式 令令,arctan)(xxf则则 , 1 1 )( 2 x xf 22 )1 ( 2 )( x x xf )()0()0()0()( 22 !2 1 xoxfxffxf )( 2 xox 原式原式 2 lim n n )0() 1 arctan(arctanlim 2 a n a n a n n 2 2 1 1 2)( ) 1( lim n n n o nn na a ) 1 ( 2 n o n a ) ) 1( 1 ( 1

22、2 n o n a 解法解法3 利用罗必塔法则利用罗必塔法则 )0() 1 arctan(arctanlim 2 a n a n a n n 原式原式 2 1 arctanarctan lim x x b x a x x t 1 令 2 0 arctanarctan lim t t bt a t P182 5 ; * *7 ; * *8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 ; 20 作业作业 备用题备用题 1. 设函数设函数 ), 0()(在xf上具有二阶导数，且满足上具有二阶导数，且满足 证明序列证明序列)(nf发散发散. 证：证：单调递增，)(,0)(xfxf )2,

23、 1 (,0)() 1 ()2(, )2() 1 ( 11 fffff 11 ,0)()(xfxf ), 2()2( ! 2 )( )2)(2()2()( 2 nn f nffnf )2)(2()2(nff n 故序列故序列)(nf发散发散. , )2() 1 (,0)(ffxf (2007 考研）考研） 保号性保号性 定理定理 2. 设设)(xf 在区间在区间 ,ba 上连续上连续 , 且且, 0)()(bfaf , 0)()(bfaf试证存在试证存在 , ),(ba 使使 . 0)(f 证证: 不防设不防设. 0)(,0)( bfaf 0lim)( )()( ax afxf ax af 必

24、有必有 1 x, ),( 2 ba a 使使,0 1 1) ( ax xf 故故 0)( 1 xf 0lim)( )()( bx bfxf bx bf 保号性保号性 定理定理 必有必有 2 x, ),( 2 b ba 使使 ,0 2 2) ( bx xf 故故0)( 2 xf 又在又在, 21 baxx上上)(xf连续连续, 由零点定理知由零点定理知, 存在存在 , ),(),( 21 baxx使使 . 0)(f 3. 已知函数已知函数) 1 , 0(, 1, 0)(在上连续在xf内可导内可导, 且且 证证: (1) 令令且上连续，在则1 , 0)(xg, 1)()(xxfxg 01) 1 (, 01)0(gg 证明, 1) 1 (, 0)0(ff 使得存在1)(),1, 0() 1 (f ) 1 , 0( 故存在故存在 01)()(fg 使使 即即1)(f (2005 考研）考研） 01 1)()(),1, 0(,)2(ff使得存在两个不同的点 ) 1 , 0(, 1, 0)(在上连续在xf内可导内可导, 且且 (2) 根据拉各朗日中值定理根据拉各朗日中值定理, 存在存在),1 , 0(), 0( 0 )0()(