湖南省郴州市2021届高三数学上学期第二次质检试题

1、湖南省郴州市2021届高三数学上学期第二次质检试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。4.本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则（ ）A.B.C.D.2.若复数Z满足，则下列说法正确的是（ ）A. Z的虚部为iB. Z的共轭复

2、数为C. Z对应的点在第二象限D.3.已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图1所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（ ）A.B.C.D.5.已知单位向量，满足等式，则与的夹角为（ ）A.120B.9

3、0C.60D.306.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ）A.12贝克B.贝克C.24贝克D.贝克7.如图2，设椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点为，将，的离心率分别记为，点A是，在第一象限的公共点，若点A关于的一条渐近线的对称点为，则（ ）A.2B.C.D.48.已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.二、多选题：本题共

4、4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图3.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A.根据该超市这8个月折线图可知，线下收入的平均值在内B.根据该超市这8个月折线图可知，线上收入的极差比线下收入的极差大C.根据该超市这8个月折线图可知，每月总收入与时间呈现负相关D.根据该超市这8个月折

5、线图可知，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费10.已知函数（，）的最小正周期为.把函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数，则（ ）A.B.是的图象的对称中心C.在上单调递增D.在上的值域为11.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A. C的准线方程：B.若直线过点F，则C.若，则线段的中点M到y轴的距离为D.若，则12.已知，则（ ）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，第15题第一问2分，第2问3分，共20分。13._.14.已知圆O的半径为5，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则公

6、差_.15.定义：在等式中（）中，把，叫做三项式的n次系数列（如三项式的1次系数列是1，-1，-2）.则（1）三项式的2次系数列各项之和等于_；（2）_.16.如图4，已知球O是直三棱柱的外接球，E，F分别为，的中点，过点A，E，F作三棱柱的截面，若交于M，过点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是_.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）设为等差数列，是正项等比数列，且，.在，这三个条件中任选一个，求解下列问题：（）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；（）在（）的条件下，若（），求数列的前n项和.18.（本小题满分12分

7、）如图5，在平面四边形中，.（I）若，求四边形的面积；（）若，求.19.（本小题满分12分）如图6，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，M为的中点，.（）求证：平面平面；（）求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：（）的离心率为，直线与椭圆C有且只有一个公共点.（）求椭圆C的标准方程（）设点，P为椭圆C上一点，且直线与的斜率乘积为，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且满足，求证：的面积为定值.21.（本小题满分12分）已知函数（）当，讨论函数的单调性；（）若不等式（），对恒成立，求实数a的取值范围.22.（本小题满分12分）垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投

8、放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率

9、均为p（），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.（）当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；（）若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.郴州市2021届高三第二次教学质量监测试卷数学参考答案及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-5 BCDAC6-8 CDA二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个

10、选项中，多项是符合题目要求的。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分。9.AD 10.BCD 11.ACD 12.ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分，第2问3分，共20分。13.1 14. 15.（1）4 （2）-80 16.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（）选择：设的公差为d，的公比为q（）.则根据题意有，（2分）解得（4分）所以， （5分）选择：设的公差为d，的公比为q（）.则根据题意有，（2分）解得（4分）所以，.（5分）选择：由，得 （2分）的公比为又 （4分）所以，.（5分）（）由（）可知（6分）

11、 （7分）得（8分）（9分）（10分）18.（）连接，在中由勾股定理得：，所以 （1分）在中，由余弦定理知： （3分） （4分）所以， （5分）所以的面积（6分）（）由得（7分）在中，由正弦定理知：所以（8分）因为，所以， （9分）在中，所以 （10分）所以 （12分）19.（）因为，.可得，又，.又是直四棱柱，平面.，平面，.（2分）法一：取中点N，连接，四边形为平行四边形，又，.（4分）又，平面.（5分）又平面，所以平面平面.（6分）法二：连接，可计算得，所以，由勾股定理的逆定理得：，余同法一（）以为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的坐标系，则，（7分）设平面的法向量为，由得可求得一个法

12、向量（8分）同理可得平面的一个法向量（10分）设二面角的大小为所以（11分）则，即二面角的正弦值为.（12分）20.解：（）直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆C：（）相切，（3分）又，椭圆C的方程为.（5分）（）证明：由题意M、N是椭圆C上不同于A，B的两点，由题意知，直线，斜率存在且不为0，又由已知.由，所以（6分）设直线的方程为，代入椭圆方程得 （7分）设，则，（8分）又（9分）得（10分）所以即的面积为定值 （12分）21.解：（）的定义域为，（1分）令，则，（2分）当时，单调递减，当时，单调递增，（3分）时，取得极小值即最小值，在恒成立，（4分）在单调递增；（5分）（）不等式等价于，（6分）设，即（*）（7分）当，在是减函数，在是增函数 （8分）， （9分）当时，且在是减函数则（*）式令（），则，（10分）当时，单调递减，当时，单调递增，（11分） 又 （12分）22.（）设某个时间段在需要开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的