高中数学必修4人教新课标a版2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教案

1、2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（ 1）理解平面向量的坐标的概念；（ 2）掌握平面向量的坐标运算；（ 3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：平面向量基本定理：如果e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1， 2 使 a =1 e1 + 2 e2(1) 我们把不共线向量 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 在给出基底 、 的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分

2、解形式惟一 . 1， 2 是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量二、讲解新课：1平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、 j 作为基底 .任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得a xi1yj 1我们把( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a ( x, y) 22其中 x 叫做 a 在 x轴上的坐标， y 叫做 a 在 y2轴上的坐标， 2式叫做向量的坐标表示. 与 a 相等的向量的坐标也为( x, y) .特别地， i (1,0)， j(0,1) ， 0(0,0) .如图，在直角坐标

3、平面内，以原点O为起点作 OA a ，则点 A 的位置由 a 唯一确定 .设 OA xi yj ，则向量 OA 的坐标 (x, y) 就是点 A 的坐标；反过来，点A 的坐标 (x, y) 也就是向量 OA 的坐标 . 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2平面向量的坐标运算（1） 若 a (x1 , y1 ) ，b(x2 , y2 ) ，则 a b ( x1 x2 , y1y2 ) ，a b ( x1 x2 , y1 y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为 i 、 j ，则 ab ( x1i y1 j )( x2 iy2 j

4、 )( x1x2 )i ( y1 y2 ) j即 a b (x1 x2 , y1y2 ) ，同理可得a b(x1x2 , y1y2 )（2） 若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 ABx2x1 , y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2， y2)(x 1， y1)= (x 2x 1， y 2y 1)（ 3）若 a ( x, y) 和实数，则 a( x, y) .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为 i 、 j ，则 a( xiyj )xiyj ，即a( x, y)三、讲解范例

5、：uuur例 1 已知 A(x 1， y1) ， B(x2， y2) ，求 AB 的坐标 .rrr r rrr r例 2 已知 a =(2 ，1) ， b =(-3 ，4) ，求 a + b ，a - b ，3 a +4 b的坐标 .例 3已知平面上三点的坐标分别为A( 2， 1) ， B(1， 3)，C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由 ABDC 得 D1=(2 ， 2)当平行四边形为ACDB时，得 D2=(4 ， 6)，当平行四边形为DACB时，得 D3=(6， 0)例 4已知三个力 F1(3 ， 4)，F2 (2 ，5) ， F3(x ， y) 的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ，求 F3 的坐标 .解：由题设 F1 + F2+ F3= 0得： (3 ， 4)+ (2 ，5)+(x， y)=(0 ， 0)32x0x5 F3 (即：5y0y15，1)4四、课堂练习 ：1若 M(3， -2)N(-5， -1)且 MP1MN ，求 P 点的坐标22若 A(0 ， 1)， B(1， 2)， C(3， 4)， 则 AB 2 BC = .3已知：四点