高中数学平面向量知识点

1、 高考圈 - 让高考没有难报的志愿高中数学必修4 之平面向量知识点归纳一 .向量的基本概念与基本运算1 、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行单位向量：模为1 个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量相等向量：长度相等且方向相同的向量2 、向量加法：设uuurABr uuur a, BCrb，则ra +b =uuur ABuuuruuurBC = AC（ 1） 0aa0a ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律；uuuruuuruuu

2、rLuuuruuuruuurABBCCDPQQRAR ，但这时必须“首尾相连” 3 、向量的减法： 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量向量减法：向量a 加上 b 的相反向量叫做a 与 b 的差，作图法：ab 可以表示为从b 的终点指向 a 的终点的向量（a 、 b 有共同起点）4 、实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的长度与方向规定如下：（）aa ； （）当0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当0时， a 的方向与 a 的方向相反；当0 时， a0 ，方向是任意的5 、两个向量共线定理：向量b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得 b

3、 = a6、平面向量的基本定理：如果 e1 ,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1 , 2 使： a1e1 2e2 ，其中不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量rrrrra 可表示成 axiyj，记作 a =(x,y)。2 平面向量的坐标运算：rrrrx, yy(1) 若 ax , y,b x , y2，则 ab 高考圈 - 让高考没有难报的志愿uuurx2x1, y2y1(2)若 A x1, y1 , B x

4、2 , y2，则 AB(3)r=(x,y)，则rx,y)若 aa =(r(4)rrx2 , y2rx1 y2x2 y1 0若 ax1, y1 ,b，则 a / b(5)rrx2 , y2rrx1 x2y1 y2若 ax1, y1 ,b，则 a brry1 y2 0若 ab ，则 x1 x2三平面向量的数量积1 两个向量的数量积：rrrrrr已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a =b cosbarrrr叫做 a 与 b 的数量积（或内积）规定 0 a 0rrrrr2= a r向量的投影：b cosb R，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |3数量积的几何意义：

5、rrrrra b 等于 a 的长度与 b在 a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：rrr2r 2aaa| a |5 乘法公式成立：rrrrr2r2rabababarr 2r2rrr2raba2a bba2 r 2b ；2r rr 22a bb6 平面向量数量积的运算律：交换律成立：r rrra bb a对实数的结合律成立：rrrrrrRaba bab分配律成立：rrrrrrrrrrabcacbccab特别注意：（ 1）结合律不成立：rrrr rr；abca bcrrrrrr（ 2）消去律不成立 a ba c不能得到 bcr rrrrr（ 3） a b =0不能得到 a =0 或 b =

6、 07 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量rrr ry y，则a ( x1 , y1), b ( x2 , y2 )a = x x2b1 21 高考圈 - 让高考没有难报的志愿8 向量的夹角： 已知两个非零向量rruuurruuur r（ 001800r ra 与 b ，作 OA = a ,OB = b ,则 AOB=）叫做向量 a 与 b 的夹角r rr?rxxy yb22cos =cosa, ba=11rrx1 2y1 2x2 2y2 2a ? b当且仅当两个非零向量rr同方向时，rrra 与 b=00，当且仅当 a 与 b 反方向时 =1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹